劉師妤 周龍虎

【摘 要】以問(wèn)題解決為根本手段的數(shù)學(xué)問(wèn)題教學(xué)一直都是數(shù)學(xué)教育的核心。本文通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題教學(xué)所蘊(yùn)含的以情境生發(fā)問(wèn)題、以互動(dòng)促進(jìn)問(wèn)題提出、以反思貫穿問(wèn)題解決等過(guò)程的內(nèi)涵特征的透析，突顯問(wèn)題教學(xué)獨(dú)特的育人特色。數(shù)學(xué)問(wèn)題教學(xué)的實(shí)施有助于提高學(xué)生的抽象與概括能力，增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力，提升思維品質(zhì)。在遵循學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的前提下，數(shù)學(xué)問(wèn)題教學(xué)應(yīng)遵從“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題—建構(gòu)問(wèn)題—解決問(wèn)題—反思問(wèn)題”的實(shí)施邏輯，為學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展奠基。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)問(wèn)題教學(xué)；內(nèi)涵；價(jià)值；實(shí)踐；反思

一、引言

加涅認(rèn)為，學(xué)習(xí)發(fā)展是一種循序漸進(jìn)的過(guò)程。學(xué)習(xí)應(yīng)處于有序（知識(shí)發(fā)展邏輯有序、學(xué)生認(rèn)知發(fā)展有序）且螺旋上升（知識(shí)學(xué)習(xí)的每一階段都是促進(jìn)理解的過(guò)程）的進(jìn)程中。作為知識(shí)掌握的重要階段之一，知識(shí)運(yùn)用不僅能檢驗(yàn)知識(shí)的理解與鞏固水平，還能促進(jìn)對(duì)原有問(wèn)題的理解及新問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)。運(yùn)用知識(shí)的過(guò)程一般要通過(guò)審題（建立問(wèn)題的初步表征形式，包括問(wèn)題的目的與要求、已知與未知的關(guān)系）、聯(lián)想（確定解決問(wèn)題所需的知識(shí)）、解析（尋找解決問(wèn)題的具體思路與辦法）及類(lèi)化（概括當(dāng)前問(wèn)題與原有知識(shí)的共性、本質(zhì)特征，以建構(gòu)新知識(shí)結(jié)構(gòu)）等四個(gè)環(huán)節(jié)來(lái)完成。知識(shí)運(yùn)用過(guò)程即發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析與解決問(wèn)題、理解并反思問(wèn)題的問(wèn)題研究全過(guò)程，因此本文聚焦數(shù)學(xué)問(wèn)題教學(xué)的內(nèi)涵與實(shí)踐路徑，以期通過(guò)問(wèn)題教學(xué)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

二、數(shù)學(xué)問(wèn)題教學(xué)的內(nèi)涵透析

數(shù)學(xué)問(wèn)題教學(xué)，顧名思義，是圍繞數(shù)學(xué)問(wèn)題而展開(kāi)的教學(xué)。蘇格拉底使用問(wèn)答的形式進(jìn)行教學(xué)，強(qiáng)調(diào)師生雙方共同探討，尋求問(wèn)題的正確答案，這可視作問(wèn)題教學(xué)的起源。當(dāng)下，問(wèn)題導(dǎo)向下的問(wèn)題鏈教學(xué)已成為各學(xué)科教學(xué)的重要方法之一。問(wèn)題解決過(guò)程中，通過(guò)描述思維過(guò)程的心理學(xué)行為并總結(jié)規(guī)律，以發(fā)展學(xué)生的智力和能力，與馬赫穆托夫所提出的問(wèn)題式教學(xué)理論是高度契合的。馬赫穆托夫認(rèn)為教學(xué)的關(guān)鍵在于創(chuàng)設(shè)合適的問(wèn)題情境，以達(dá)到對(duì)教學(xué)過(guò)程的有效控制；問(wèn)題的提出要經(jīng)歷分析問(wèn)題情境、“看出”問(wèn)題的本質(zhì)、用語(yǔ)言概述問(wèn)題等三個(gè)循序漸進(jìn)的階段；問(wèn)題的解決由若干環(huán)節(jié)構(gòu)成，即擬訂問(wèn)題的解決計(jì)劃，提出推測(cè)并論證假想，證明假想，檢驗(yàn)問(wèn)題的解決結(jié)果，重溫和分析解決過(guò)程。

（一）以問(wèn)題為中心：由情境生發(fā)

以問(wèn)題為中心的教學(xué)模式將問(wèn)題界定為一種教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施的情境，它聚焦的問(wèn)題具備四項(xiàng)特質(zhì)［1］：能統(tǒng)攝學(xué)科知識(shí)，貫穿學(xué)習(xí)全程；能促進(jìn)能力形成，培養(yǎng)學(xué)習(xí)方法；能順應(yīng)學(xué)生身心發(fā)展特點(diǎn)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣；能培養(yǎng)意志品質(zhì)，形成質(zhì)疑精神。蘇霍姆林斯基認(rèn)為，脫離情境的問(wèn)題是難以產(chǎn)生情緒高昂和智力振奮的內(nèi)心狀態(tài)的。情境，尤其是含有真實(shí)事件或真實(shí)問(wèn)題的情境，能有效影響個(gè)體的行為方式，影響他們的情感認(rèn)知傾向，對(duì)于個(gè)體自主進(jìn)行知識(shí)內(nèi)涵理解及意義建構(gòu)有特定的作用?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》著重指出，情境創(chuàng)設(shè)和問(wèn)題設(shè)計(jì)要有利于發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。在教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)任務(wù)及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)設(shè)計(jì)合適的情境（如現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境等），讓問(wèn)題能多樣化、多層次地生發(fā)出來(lái)。問(wèn)題情境要作為問(wèn)題教學(xué)的邏輯起點(diǎn)，教師創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境的根本目的在于以情境為載體連接學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)與外部經(jīng)驗(yàn)，以問(wèn)題為線索貫穿學(xué)生探究與思考的全過(guò)程。情境作為知識(shí)意義建構(gòu)、情感積極體驗(yàn)的教學(xué)場(chǎng)，實(shí)為知識(shí)學(xué)習(xí)的明線，亦是課堂演進(jìn)邏輯的暗線。因?yàn)閹熒餐H歷融入情境、轉(zhuǎn)譯情境、走出情境及反思情境的情境化步驟，認(rèn)知能在無(wú)形中得到豐富和超越。

數(shù)學(xué)教學(xué)的根本旨趣在于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。問(wèn)題情境既外顯為可遷移的學(xué)習(xí)條件，又內(nèi)蘊(yùn)問(wèn)題的可探究性，具備發(fā)展學(xué)生思維的特質(zhì)。教師從衍生性主題的設(shè)計(jì)、數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的把握、數(shù)學(xué)關(guān)系的轉(zhuǎn)化以及問(wèn)題結(jié)構(gòu)的明確等方面去創(chuàng)設(shè)情境，有助于彰顯問(wèn)題情境對(duì)學(xué)生思維發(fā)展的教學(xué)意義［2］。

（二）以問(wèn)題提出為核心：因互動(dòng)所致

問(wèn)題提出一度被視為是比解決問(wèn)題更具有創(chuàng)新價(jià)值的研究行為，問(wèn)題的提出尤其是數(shù)學(xué)問(wèn)題的提出更加強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)科的獨(dú)特屬性：?jiǎn)栴}的產(chǎn)生一定是基于真實(shí)的疑惑，具備客觀性；有價(jià)值的問(wèn)題不僅能揭示知識(shí)的發(fā)生發(fā)展規(guī)律，而且能為進(jìn)一步的研究指明方向或做出預(yù)測(cè)；問(wèn)題提出著眼的不是單一的知識(shí)情境，涉及的數(shù)學(xué)對(duì)象較多，因而具備廣泛性和聯(lián)結(jié)性。

問(wèn)題提出作為問(wèn)題學(xué)習(xí)的一種追求，它并非總能達(dá)成，因而問(wèn)題提出的另一價(jià)值便是伴隨這一過(guò)程的有效的數(shù)學(xué)交流。有效的數(shù)學(xué)交流依賴(lài)于獨(dú)到的數(shù)學(xué)眼光、縝密的數(shù)學(xué)思維以及精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。問(wèn)題提出中構(gòu)建數(shù)學(xué)交流的一般模式可分為三個(gè)階段：（1）輸入階段。表征問(wèn)題情境中元素和元素間的關(guān)系，以理解問(wèn)題情境。（2）過(guò)程階段。確定新問(wèn)題中元素與元素間的關(guān)系，以建構(gòu)新問(wèn)題的心理結(jié)構(gòu)。（3）輸出階段。表征新問(wèn)題中元素與元素間的關(guān)系，以表達(dá)新問(wèn)題［3］。因而，數(shù)學(xué)問(wèn)題的提出可視作是問(wèn)題提出者對(duì)已有問(wèn)題進(jìn)行加工、編碼所得新問(wèn)題的過(guò)程，是與問(wèn)題情境或?qū)W習(xí)同伴互動(dòng)的產(chǎn)物。

師生間、生生間、生本間的互動(dòng)是指多感官、全方位、全過(guò)程的參與，是促使師生自覺(jué)主動(dòng)發(fā)展的有效路徑。有意義的問(wèn)題能激發(fā)互動(dòng)，互動(dòng)反過(guò)來(lái)又深化了對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的探尋，故問(wèn)題提出機(jī)制的精髓在于“問(wèn)題互動(dòng)化”。教學(xué)實(shí)踐也表明，學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的激發(fā)源于對(duì)問(wèn)題的質(zhì)疑，強(qiáng)烈的探究欲望始于問(wèn)題的提出。

（三）以問(wèn)題解決為旨趣：將反思貫穿

問(wèn)題提出后便直接指向問(wèn)題解決過(guò)程。數(shù)學(xué)問(wèn)題解決是以思考為內(nèi)涵，以問(wèn)題目標(biāo)為走向的心理活動(dòng)過(guò)程，其實(shí)質(zhì)是運(yùn)用已有的知識(shí)去探索新情境中的問(wèn)題結(jié)果，使問(wèn)題由初始狀態(tài)達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)的一種活動(dòng)過(guò)程［4］?？v觀學(xué)界對(duì)問(wèn)題解決過(guò)程的研究，較為經(jīng)典的主要有三種模型：杜威的“五步問(wèn)題解決過(guò)程”，即呈現(xiàn)問(wèn)題、定義問(wèn)題、形成假設(shè)、測(cè)驗(yàn)假設(shè)、選擇最佳的假設(shè)；波利亞的“怎樣解題表”模型，即弄清問(wèn)題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃、回顧解題的全過(guò)程；匈菲爾德的數(shù)學(xué)解題模式，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)解題的研究方向需要考慮知識(shí)基礎(chǔ)、解題策略、自我控制、信念系統(tǒng)等四個(gè)因素。具體到數(shù)學(xué)領(lǐng)域的問(wèn)題解決，除以上基本流程外，對(duì)問(wèn)題解決的后續(xù)部分和反思環(huán)節(jié)也體現(xiàn)出了強(qiáng)烈的關(guān)注。數(shù)學(xué)問(wèn)題得到解決后，一般要進(jìn)行問(wèn)題的推廣和引申，方能在“成堆成長(zhǎng)的蘑菇周?chē)业礁嗟哪⒐健?，這是波利亞生動(dòng)闡述的數(shù)學(xué)問(wèn)題間的緊密聯(lián)系性。弗賴(lài)登塔爾認(rèn)為，反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力。反思是促使思維走向完備、有序的必要環(huán)節(jié)，反思的過(guò)程不僅能提升問(wèn)題意識(shí)，同樣也是問(wèn)題解決的過(guò)程。

數(shù)學(xué)問(wèn)題教學(xué)實(shí)質(zhì)上是一種有強(qiáng)烈問(wèn)題意識(shí)、問(wèn)題導(dǎo)向思維的科學(xué)探究方式，主要包括兩個(gè)方面：（1）強(qiáng)烈的問(wèn)題意識(shí)不僅要求對(duì)問(wèn)題解決過(guò)程應(yīng)有堅(jiān)持不懈的探索精神，還應(yīng)通過(guò)觀察、對(duì)比、分析等一系列推理形式洞察問(wèn)題的生長(zhǎng)點(diǎn)并抽象出合適的數(shù)學(xué)問(wèn)題，即問(wèn)題意識(shí)支持并維持從問(wèn)題提出到問(wèn)題解決的全過(guò)程。（2）從發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題到解決問(wèn)題、反思問(wèn)題的全過(guò)程可以映射出數(shù)學(xué)思維有序推進(jìn)的過(guò)程，問(wèn)題既是有效的思維訓(xùn)練載體，又是重要的思維工具或方式。毫無(wú)疑問(wèn)，數(shù)學(xué)問(wèn)題教學(xué)的各個(gè)階段都應(yīng)看作是從問(wèn)題生發(fā)到問(wèn)題解決，從問(wèn)題意識(shí)到科學(xué)研究意識(shí)的認(rèn)知進(jìn)階過(guò)程。

三、數(shù)學(xué)問(wèn)題教學(xué)的實(shí)踐路徑

“問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)習(xí)”道出了問(wèn)題教學(xué)的真諦，數(shù)學(xué)問(wèn)題教學(xué)的價(jià)值伴隨著問(wèn)題的提出、分析與解決的整個(gè)過(guò)程，學(xué)習(xí)真正發(fā)生并達(dá)成目標(biāo)，具體體現(xiàn)在三個(gè)方面：（1）有助于提高學(xué)生的抽象與概括能力。問(wèn)題蘊(yùn)含在問(wèn)題情境中，需要借助抽象才能剝離出來(lái)，因而問(wèn)題情境是促進(jìn)學(xué)生在情境中將默會(huì)知識(shí)外顯化的重要途徑［5］。（2）有助于增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力。能否提出問(wèn)題尤其是提出高質(zhì)量的問(wèn)題直接制約著問(wèn)題教學(xué)的價(jià)值上限。只有對(duì)數(shù)學(xué)本原性問(wèn)題有了理性的判斷后，有一般的觀念來(lái)引領(lǐng)，有一定的數(shù)學(xué)思想作為指導(dǎo)，有一定的思維策略作為支撐，才能提出有含金量的問(wèn)題［6］。問(wèn)題作為教學(xué)過(guò)程中的主題，應(yīng)聚焦復(fù)雜的、有意義的問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)，并導(dǎo)向獨(dú)立探索或合作式的問(wèn)題解決過(guò)程［7］，能有效地組織教師、學(xué)生等一系列教學(xué)要素有機(jī)、融洽地交互。（3）有助于提升學(xué)生的思維品質(zhì)。以發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、建構(gòu)問(wèn)題、解決問(wèn)題、反思問(wèn)題為邏輯主線的問(wèn)題化學(xué)習(xí)能提升學(xué)生的思維敏捷性、深刻性、靈活性、批判性和獨(dú)創(chuàng)性等優(yōu)良思維品質(zhì)，有助于形成分析與綜合、抽象與概括、比較與分類(lèi)等科學(xué)基本思維方式?；诖?，問(wèn)題教學(xué)應(yīng)滿(mǎn)足不同層次學(xué)生的發(fā)展需求，能激發(fā)學(xué)生的質(zhì)疑、聯(lián)想能力，引導(dǎo)學(xué)生持續(xù)、多視角地理解問(wèn)題和重構(gòu)知識(shí)關(guān)聯(lián)，從而讓核心素養(yǎng)真正落地，彰顯問(wèn)題教學(xué)的診斷價(jià)值。

（一）發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

問(wèn)題，作為問(wèn)題教學(xué)的基點(diǎn)，直接決定著問(wèn)題教學(xué)的有效性。問(wèn)題的源頭一般分為四種：教學(xué)中的重點(diǎn)、難點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)；知識(shí)的銜接點(diǎn)；學(xué)生學(xué)習(xí)中的疑點(diǎn)和盲點(diǎn)；教師預(yù)設(shè)的補(bǔ)償點(diǎn)。

教學(xué)中的重點(diǎn)、難點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn)是共性的問(wèn)題，是知識(shí)內(nèi)在屬性的外在表現(xiàn)。如對(duì)函數(shù)概念的理解就是難點(diǎn)問(wèn)題，因?yàn)閷W(xué)生的思維水平（尤其是抽象思維）還不夠成熟，還不能突破由結(jié)構(gòu)分析（函數(shù)的“三要素”）到本質(zhì)揭示（特殊的對(duì)應(yīng)關(guān)系）的困境，所以需要格外關(guān)注概念的深化過(guò)程。

知識(shí)的銜接點(diǎn)同樣也是問(wèn)題教學(xué)的基點(diǎn)，相較而言，它更為隱蔽，需要做深刻的教材內(nèi)容分析。如“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”是體現(xiàn)知識(shí)應(yīng)用性較廣的一個(gè)重要內(nèi)容，主要包含導(dǎo)數(shù)知識(shí)在函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用，囿于中學(xué)生認(rèn)知水平等因素，函數(shù)極限的基本概念已從新課標(biāo)教材中剔去，旨在不增加學(xué)生的理解難度，但極限思想是問(wèn)題解決過(guò)程中不可或缺的一種重要數(shù)學(xué)思想，因此自然要進(jìn)一步追問(wèn)這些有著極限背景的高等數(shù)學(xué)知識(shí)的基本可教性和可學(xué)性。

在數(shù)學(xué)邏輯和認(rèn)知邏輯的演進(jìn)過(guò)程中，學(xué)習(xí)中的疑點(diǎn)和盲點(diǎn)不可避免。教師可以主動(dòng)傾聽(tīng)和觀察，提出引導(dǎo)性問(wèn)題幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題所在，也可以創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境或設(shè)計(jì)開(kāi)放性問(wèn)題促使學(xué)生聚焦疑點(diǎn)和盲點(diǎn)。如“二次曲線聯(lián)立后為什么會(huì)出現(xiàn)增根？”“點(diǎn)差法為什么不適用于雙曲線中的中點(diǎn)弦問(wèn)題？”等。

補(bǔ)償性教學(xué)立足于學(xué)生已掌握的知識(shí)與教學(xué)目標(biāo)的差異，旨在通過(guò)對(duì)典型問(wèn)題的糾偏與強(qiáng)化，在問(wèn)題解決的過(guò)程中加深理解和提高數(shù)學(xué)思維能力。以聯(lián)系的視角審視補(bǔ)償點(diǎn)，可以豐富學(xué)習(xí)內(nèi)容，擴(kuò)充學(xué)習(xí)領(lǐng)域。以對(duì)話(huà)與合作的方式實(shí)施補(bǔ)償過(guò)程，利于破解疑難，養(yǎng)成樂(lè)于探究的科學(xué)品質(zhì)。在正常教學(xué)活動(dòng)中，補(bǔ)償教學(xué)以上述問(wèn)題生發(fā)源頭作為出發(fā)點(diǎn)，也極易走向另一個(gè)極端，即完全的教師經(jīng)驗(yàn)主義。在學(xué)生沒(méi)有出現(xiàn)教師預(yù)設(shè)的錯(cuò)誤前，教師的提前預(yù)警或干擾會(huì)剝奪學(xué)生犯錯(cuò)的權(quán)利，也相應(yīng)地關(guān)閉了他們通向真知的理解之門(mén)。因此，教師應(yīng)基于實(shí)況調(diào)查（或借用大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)手段）開(kāi)展以釋疑解惑、糾偏糾錯(cuò)為主的鞏固性、補(bǔ)償性教學(xué)，促進(jìn)數(shù)學(xué)深度理解。

值得一提的是，有目的地創(chuàng)設(shè)結(jié)構(gòu)不良的問(wèn)題或開(kāi)放性的問(wèn)題更能激發(fā)學(xué)生的探知欲，幫助學(xué)生多角度把握問(wèn)題本質(zhì)，追尋知識(shí)背后的價(jià)值，形成跨學(xué)科綜合解決問(wèn)題的關(guān)鍵能力。［8］

（二）建構(gòu)問(wèn)題

確定問(wèn)題主題后，便要圍繞其建構(gòu)教學(xué)的策略。教學(xué)應(yīng)把握問(wèn)題的層次性和系統(tǒng)性，即注重從具體問(wèn)題到一般性問(wèn)題的遷移，利用結(jié)構(gòu)化的視角剖析問(wèn)題的內(nèi)涵特征。我們首先要明確教學(xué)總目標(biāo)，即培養(yǎng)學(xué)生的“三會(huì)”數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和運(yùn)用數(shù)學(xué)的自覺(jué)意識(shí)。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，每個(gè)人都應(yīng)得到不同程度的發(fā)展，因而首先要分析學(xué)生的內(nèi)在需求及發(fā)展路徑。波利亞說(shuō)過(guò)，學(xué)習(xí)任何知識(shí)的最佳途徑是由自己發(fā)現(xiàn)的。因?yàn)樽约喊l(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)途徑往往能理解得最深，也最容易掌握知識(shí)的內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系。因此，教師應(yīng)盡可能少告知學(xué)生知識(shí)，多創(chuàng)設(shè)情境激發(fā)學(xué)生探索未知知識(shí)的欲望。實(shí)踐表明，學(xué)生自主、深刻的思考與探索是形成科學(xué)有效的思維方式的重要途徑。思維方式?jīng)Q定發(fā)展上限，學(xué)生的文化知識(shí)學(xué)習(xí)中，對(duì)于知識(shí)的認(rèn)知是最重要的思維方式。知識(shí)是通過(guò)建構(gòu)的方式深入化和擴(kuò)大化的，因而正確的知識(shí)觀在本質(zhì)上蘊(yùn)含著在學(xué)習(xí)方式上對(duì)研究性學(xué)習(xí)的必然選擇。隨著知識(shí)細(xì)節(jié)的不斷補(bǔ)充，加工知識(shí)的方式和手段趨于完備化、模式化，最終奠定思維方式的雛形，發(fā)展便成為可能。

其次，育人的具體表達(dá)便是課程的制訂與實(shí)施。依托課程標(biāo)準(zhǔn)導(dǎo)學(xué)、導(dǎo)教是培養(yǎng)學(xué)科視野、學(xué)科典型思想方法的重要舉措，這屬于分析問(wèn)題的第二層次。課程理念是教學(xué)理念的先導(dǎo)，課程理念要經(jīng)由課程設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為課程實(shí)踐，我們?cè)谡n程標(biāo)準(zhǔn)里可以找到充分的理?yè)?jù)和可行的建議。具體地，要實(shí)現(xiàn)教、學(xué)、評(píng)一致性，就應(yīng)把握好課程標(biāo)準(zhǔn)這一中軸基準(zhǔn)。如《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版2020年修訂）》在“一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”的教學(xué)提示部分指出，“學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解不可能一步到位，導(dǎo)數(shù)概念的學(xué)習(xí)應(yīng)該貫穿在一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用學(xué)習(xí)的始終”［9］，并在學(xué)業(yè)要求部分提出要求：能夠通過(guò)具體情境，直觀理解導(dǎo)數(shù)概念，感悟極限思想，知道極限思想是人類(lèi)深刻認(rèn)識(shí)和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界必備的思維品質(zhì)。因而對(duì)蘊(yùn)含極限思想的高等數(shù)學(xué)知識(shí)的初等化處理和近似詮釋就顯得合理且必要。

最后才是教，教的復(fù)雜性遠(yuǎn)甚于學(xué)。教師對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)、教材的理解作為教的開(kāi)端，后續(xù)知識(shí)的處理、教法的選用等都影響著教的效果，故而要確定教學(xué)的側(cè)重。知識(shí)的發(fā)生過(guò)程是知識(shí)介入認(rèn)知結(jié)構(gòu)的“第一印象”，也應(yīng)是教學(xué)的側(cè)重。囿于學(xué)生認(rèn)知水平與知識(shí)的難度、深度的差異，發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)也并非適用于任何數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，那么教學(xué)的側(cè)重便轉(zhuǎn)移到了“教如何理解”上。理解是通過(guò)對(duì)事物的觀察分析，將有關(guān)聯(lián)的事物相互聯(lián)系，通過(guò)自我消化、整合，形成新認(rèn)識(shí)的心理過(guò)程。理解是指能夠在給定的資訊以外有所超越，并且能夠創(chuàng)造性地去運(yùn)用自己的知識(shí)。理解可以表現(xiàn)為不同的程度，對(duì)于任何問(wèn)題，在思考、討論及將理論用于實(shí)踐的過(guò)程中，伴隨著疑問(wèn)和回答，理解程度將不斷深入。有學(xué)者對(duì)理解進(jìn)行了層次化劃分，將理解劃分為工具性理解、關(guān)系性理解、創(chuàng)新性理解［10］。因而用復(fù)雜觀念或高觀念對(duì)知識(shí)進(jìn)行深入淺出的介紹與點(diǎn)評(píng)，利用多元方法促進(jìn)學(xué)生理解是打造理解性課堂的關(guān)鍵。

（三）解決問(wèn)題

解決問(wèn)題要講究方式方法，步驟組成或階段分析尤為關(guān)鍵。解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)知過(guò)程包含問(wèn)題表征、模式識(shí)別、解題遷移和解題監(jiān)控四個(gè)步驟。［11］問(wèn)題表征形式?jīng)Q定了問(wèn)題所屬領(lǐng)域及思考的大致范疇，模式識(shí)別是對(duì)已有相關(guān)經(jīng)驗(yàn)的調(diào)用與確認(rèn)，解題遷移是對(duì)經(jīng)驗(yàn)的匹配、認(rèn)知過(guò)程的加工以及相應(yīng)解題方案的踐行，解題監(jiān)控則是對(duì)問(wèn)題解決整個(gè)過(guò)程的回顧與反思。同樣地，按“研究問(wèn)題—研究對(duì)象—研究工具”［12］的程式尋求問(wèn)題的解決策略，不僅可操性強(qiáng)，而且能加深教師對(duì)教育研究方法以及數(shù)學(xué)本身的理解。具體而言，可對(duì)照波利亞的“怎樣解題表”實(shí)踐解決問(wèn)題的全過(guò)程。

在此，本文呈現(xiàn)一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題的解決過(guò)程。

例 春運(yùn)期間，各車(chē)站通過(guò)增加售票窗口、檢票窗口、班次等方式來(lái)減少旅客的滯留量。旅客在車(chē)站排隊(duì)購(gòu)票，并且排隊(duì)的旅客可視為均勻增加。若只開(kāi)設(shè)1個(gè)售票窗口，需要40分鐘將等待購(gòu)票的旅客的車(chē)票全部售出（假設(shè)每名排隊(duì)旅客只能購(gòu)買(mǎi)1張所需車(chē)票）；若只開(kāi)設(shè)2個(gè)售票窗口，只需15分鐘將等待購(gòu)票的旅客的車(chē)票全部售出?，F(xiàn)有一班增開(kāi)客車(chē)進(jìn)站運(yùn)送旅客，因時(shí)間緊張，所有排隊(duì)購(gòu)票的旅客必須在5分鐘內(nèi)全部購(gòu)票上車(chē)（假設(shè)等待購(gòu)票的旅客都乘坐該車(chē)，并且購(gòu)票后立即上車(chē)），問(wèn)此時(shí)車(chē)站最少要同時(shí)開(kāi)放幾個(gè)售票窗口？［13］

鑒于本題的變量關(guān)系具有一定的隱蔽性，故搜集信息、加工信息是解決本題過(guò)程中的一大難點(diǎn)。相較于以自主發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決策略為特質(zhì)的“問(wèn)題本位”模式，以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)為活動(dòng)中心的“問(wèn)題引領(lǐng)”式更能提升學(xué)生的問(wèn)題研究意識(shí)和能力［14］。因此，在學(xué)生先行審題的基礎(chǔ)上，教師搭設(shè)必要的腳手架，提出三個(gè)輔助性問(wèn)題供學(xué)生思考：

（1）本題要解決的問(wèn)題是什么？

（2）問(wèn)題如何用文字語(yǔ)言表述？

（3）文字語(yǔ)言中的量如何用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表示？用表格呈現(xiàn)出來(lái)。

（四）反思問(wèn)題

反思問(wèn)題應(yīng)是問(wèn)題研究中最重要的一個(gè)環(huán)節(jié)。反思是促使知識(shí)類(lèi)化、知識(shí)結(jié)構(gòu)重建的實(shí)踐活動(dòng)，教師的專(zhuān)業(yè)發(fā)展及學(xué)生的認(rèn)知能力的提升都離不開(kāi)反思。

1.回歸知識(shí)教學(xué)的根本目的

問(wèn)題教學(xué)是借由對(duì)問(wèn)題的探索以實(shí)現(xiàn)知識(shí)教學(xué)的根本目的，即發(fā)展并完善認(rèn)知方式，實(shí)現(xiàn)自我全面發(fā)展。如數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，意義在于促成學(xué)習(xí)者將正確方法的盲目、不自覺(jué)的應(yīng)用向有意識(shí)、自覺(jué)的應(yīng)用轉(zhuǎn)化。某一種思想方法的領(lǐng)會(huì)與掌握，僅靠幾節(jié)課的教學(xué)往往不能奏效，要靠教師長(zhǎng)期有意識(shí)、有目的地啟發(fā)誘導(dǎo)，還要靠學(xué)生不斷體會(huì)、挖掘、領(lǐng)悟、深化。通俗地講，數(shù)學(xué)思想方法的下沉不能是直接貫穿，而應(yīng)是滲透。如何滲透？教師可對(duì)同一主題下的不同內(nèi)容進(jìn)行練習(xí)與強(qiáng)化，也可把任務(wù)投入更具針對(duì)性的作業(yè)訓(xùn)練中去。概言之，滲透的過(guò)程是思維借由訓(xùn)練得以進(jìn)階的過(guò)程。加強(qiáng)思維訓(xùn)練，要遵循以下三個(gè)基本原則。

第一，序進(jìn)原則。思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性在于思維層次一定是由低到高依次發(fā)展的。最熟悉的事物、最簡(jiǎn)單的變化是思維的開(kāi)端，高等數(shù)學(xué)知識(shí)是研究受阻、方法亟待優(yōu)化等前提下相機(jī)而生的，其背后的數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)也要經(jīng)歷潛意識(shí)階段、明朗化階段、深刻化階段等不同階段。如函數(shù)極限的學(xué)習(xí)中，學(xué)習(xí)者先是對(duì)函數(shù)極限有“朦朦朧朧”的感覺(jué)，接著能利用恰當(dāng)?shù)姆绞綄?duì)它進(jìn)行概括總結(jié)，最后能運(yùn)用它解決問(wèn)題，乃至形成方法。

第二，多思維協(xié)作原則。思維的復(fù)雜性在于思維的動(dòng)態(tài)變化及各種思維的交織。一般的數(shù)學(xué)思維方法有分析、綜合、比較、抽象、概括、聯(lián)想、想象、類(lèi)比、猜想等，在進(jìn)行有意識(shí)的思維訓(xùn)練時(shí)，它們往往是共同協(xié)作與轉(zhuǎn)換的，因而以不同視角審視研究對(duì)象的內(nèi)涵與外延是很有必要的。

第三，不斷變換問(wèn)題原則。實(shí)踐表明，不斷變換問(wèn)題能保持問(wèn)題間的自然關(guān)聯(lián)性，利于知識(shí)的加工、拓展與整合。此外，隨著問(wèn)題的不斷演變，方法與思想會(huì)一次次接受檢驗(yàn)或矯正，高階思維也更易形成。

歸根結(jié)底，學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平的提高要靠教師的數(shù)學(xué)教學(xué)視野來(lái)造就。教師要正確看待數(shù)學(xué)教學(xué)中過(guò)程與結(jié)論的辯證關(guān)系：不經(jīng)歷思想概括的過(guò)程，結(jié)論難以牢固；不預(yù)想可能的結(jié)論，過(guò)程也多是盲目不定。

2.學(xué)會(huì)方法的演進(jìn)、規(guī)律的總結(jié)

數(shù)學(xué)方法論作為數(shù)學(xué)教育界的一個(gè)重要內(nèi)容，在其他學(xué)科和領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。張奠宙先生認(rèn)為，應(yīng)當(dāng)將所有的數(shù)學(xué)方法做一個(gè)總體的分析，將它們分為不同的層次，判定為不同類(lèi)別，以便有一個(gè)系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)。［15］他將數(shù)學(xué)方法概括為四個(gè)層次：基本的重大的數(shù)學(xué)思想方法（概率中的偶然與必然，計(jì)算中的精算與估計(jì)等），各門(mén)學(xué)科共同使用的思想方法（如觀察實(shí)驗(yàn)、分析綜合、歸納演繹、類(lèi)比聯(lián)想等），數(shù)學(xué)特有的思想方法［如公理化方法、極限方法、近似方法（牛頓插值、泰勒展開(kāi)等）］，中學(xué)數(shù)學(xué)解題方法（適度形式化、簡(jiǎn)單化、等價(jià)變換等）。由高到低的層次劃分為學(xué)生在數(shù)學(xué)方法學(xué)習(xí)中的層次躍遷提供了可借鑒的參考，使學(xué)生能清楚了解自己掌握與理解的層次。但從學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的層面看，學(xué)生眼中的數(shù)學(xué)方法實(shí)際上更傾向于運(yùn)用邏輯方法與數(shù)學(xué)直覺(jué)所得到的后兩種層次，此種數(shù)學(xué)方法觀顯然與數(shù)學(xué)思想方法的真諦、數(shù)學(xué)的本質(zhì)相差甚遠(yuǎn)。因此教師要以學(xué)生的心理邏輯取向?yàn)槌霭l(fā)點(diǎn)，結(jié)合教材中知識(shí)的邏輯取向，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行重組或改造，試圖找到舊經(jīng)驗(yàn)與新經(jīng)驗(yàn)（這里尤指舊方法與新方法）的對(duì)接點(diǎn)，精心設(shè)計(jì)具有一定挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，在知識(shí)運(yùn)用中引導(dǎo)學(xué)生重新理解舊方法，為新方法的萌生創(chuàng)造條件，并使數(shù)學(xué)方法由低層次順利躍遷到高層次。

方法源自對(duì)經(jīng)驗(yàn)的加工與重組，這里的經(jīng)驗(yàn)指的是具有連續(xù)性和交互性的經(jīng)驗(yàn)，具體體現(xiàn)在過(guò)去經(jīng)驗(yàn)對(duì)之后經(jīng)驗(yàn)的性質(zhì)產(chǎn)生影響，且個(gè)人經(jīng)驗(yàn)與教材、教師經(jīng)驗(yàn)相互協(xié)調(diào)適應(yīng)。章建躍［16］認(rèn)為，經(jīng)驗(yàn)之中有規(guī)律，學(xué)生要養(yǎng)成從經(jīng)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力，有兩點(diǎn)很重要：第一，要養(yǎng)成“從一般規(guī)律的高度考察具體事例”的意識(shí)，逐步培養(yǎng)學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)的能力；第二，要掌握觀察事例，從經(jīng)驗(yàn)中歸納規(guī)律，把具體事例中得到的東西概括到全體中去的基本方法的能力。

四、結(jié)語(yǔ)

綜上可知，知識(shí)學(xué)習(xí)的每一階段都是完整的問(wèn)題研究過(guò)程，教師應(yīng)牢固掌握研究問(wèn)題的一般思路及方法，增強(qiáng)問(wèn)題意識(shí)，堅(jiān)持問(wèn)題導(dǎo)向，以問(wèn)題作為理解數(shù)學(xué)對(duì)象和評(píng)價(jià)教學(xué)對(duì)象的重要介質(zhì)，真正為問(wèn)題教學(xué)積累實(shí)踐素材并提供理論依據(jù)。

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（責(zé)任編輯：潘安）