摘 要：課題式教學要求教師從宏觀上把握某個知識模塊的整體結(jié)構(gòu)，并將這個整體結(jié)構(gòu)還原成一個邏輯嚴謹?shù)膯栴}系統(tǒng)，通過解決這個問題系統(tǒng)中的每個問題，最終完成這一知識系統(tǒng)的建構(gòu)。對于基礎(chǔ)教育數(shù)學課程中的“直線”內(nèi)容，可以采用課題式教學，將三個學段的相關(guān)內(nèi)容串聯(lián)起來形成一個知識系統(tǒng)，從而分成“直線概念”（小學）、“直線公設(shè)與平行公理”（初中）、“一次函數(shù)與一元一次方程”（初中）、“直線方程與平行向量”（高中）四個子課題，設(shè)計一系列問題，形成一個問題系統(tǒng)，來驅(qū)動教學。

關(guān)鍵詞：課題式教學；跨學段；知識系統(tǒng)；問題驅(qū)動；直線

一、概念再認：我們倡導的課題式教學究竟是什么

課題式教學并非新概念。而我們倡導的數(shù)學課題式教學與過去很多人認為的不是一個概念。以往的課題式教學大多關(guān)注的是教學形式，即以問題為起點，通過任務的設(shè)置，促使學生在解決問題的過程中，獲得知識、發(fā)展能力。它強調(diào)三個方面：問題導向、任務驅(qū)動、學生主體。我們倡導的數(shù)學課題式教學當然也與問題有關(guān)，而且把問題視為課堂教學的心臟，但更突出的是問題的有效性以及問題與知識系統(tǒng)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，這個過程強調(diào)的是以問題為內(nèi)核的探究過程而非形式化的教學過程。

課題式教學應當是一種注重整體性、結(jié)構(gòu)性的教學。它不是孤立地分析某個具體的問題，而是通過一系列具有結(jié)構(gòu)性特征的問題的提出、分析與解決，完成某個知識系統(tǒng)的建構(gòu)。換言之，課題式教學需要從宏觀上把握課程的知識結(jié)構(gòu)（必要時，可以跨越學段來把握），通過知識生成過程的溯源或合情推理，找到促使理論產(chǎn)生的本原性問題與派生性問題，形成一個與知識系統(tǒng)相對應的問題系統(tǒng)——其中的問題充分反映了學科為什么產(chǎn)生以及如何產(chǎn)生的根源。其中的課題（常可以分為多個子課題）正是由一個又一個的關(guān)鍵問題構(gòu)成的，解決了這些問題便完成了課題的研究，一門理論或理論的某個部分正是在此基礎(chǔ)上形成的。由此可見，課題式教學要求教師從宏觀上把握某個知識模塊的整體結(jié)構(gòu)，并將這個整體結(jié)構(gòu)還原成一個邏輯嚴謹?shù)膯栴}系統(tǒng)，通過解決這個問題系統(tǒng)中的每個問題（落實到問題驅(qū)動的課堂教學），最終完成該知識系統(tǒng)的建構(gòu)。

我們倡導的數(shù)學課題式教學正是在數(shù)十年的數(shù)學研究與數(shù)學教育實踐基礎(chǔ)上形成的，其本質(zhì)是將科學研究范式運用于課堂教學，將教學過程當成研究過程，通過問題的提出過程培養(yǎng)學生的直覺能力，通過問題的分析過程培養(yǎng)學生的思辨能力，讓知識在解決問題的過程中自然生成。這正是“數(shù)學教育是數(shù)學的再創(chuàng)造”（弗賴登塔爾語）在操作層面上行之有效的實現(xiàn)過程。

二、案例研究：跨越學段的“直線”課題式教學設(shè)計

（一）直線：一個有價值的研究課題

直線不僅是傳統(tǒng)歐氏幾何中的基本元素，而且是現(xiàn)代數(shù)學中向量空間概念的源頭，說它是“頂天立地”的數(shù)學概念也不為過。直線也是歐氏幾何中最抽象的概念之一，它沒有寬度；因為向兩邊無限延伸，所以也沒有長度。對于小學生與初中生而言，完成從實體的“直線段”到數(shù)學上“直線”的抽象化過程不是一件輕而易舉的事。或許正是基于上述緣故，現(xiàn)行基礎(chǔ)教育數(shù)學課程將直線概念分解到小學、初中和高中三個學段，分別從歐氏幾何、一次函數(shù)和解析幾何中的直線方程三個角度闡述。具體地，一般在四年級介紹直線的基本概念；在七年級介紹“兩點確定一條直線”“經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行”以及直線的簡單應用，并在“有理數(shù)”部分介紹數(shù)軸這個與直線有關(guān)的重要概念；在八年級介紹一次函數(shù)（包括正比例函數(shù)），這是學生最早學習的一類函數(shù)；在高二介紹基于笛卡兒坐標系建立的直線方程。

這里不打算討論“直線”內(nèi)容分段展開的科學性。實際上，歐氏幾何中的直線與解析幾何中的直線分屬不同的幾何體系，分開并無不妥。重要的不是是否需要分開，而是如何讓學生清楚它們的內(nèi)在邏輯關(guān)系。

然而，現(xiàn)實的教學中，三種視角下的直線概念缺少內(nèi)在的邏輯關(guān)聯(lián)。例如，教學“一次函數(shù)”時，有教師僅僅通過描點法說明一次函數(shù)的圖像是直線。與一般函數(shù)圖像不同的是，直線是歐氏幾何中已有定義的概念。如果說一次函數(shù)的圖像是直線，就有必要讓學生明白它的確是傳統(tǒng)意義上的直線。僅僅憑觀察作出感性的判斷不是嚴格的數(shù)學，充其量可以幫助學生完成直覺感知的過程，但距離完成“一次函數(shù)的圖像是直線”的邏輯論證還很遙遠。這種憑感覺下結(jié)論的數(shù)學很容易讓學生形成不思嚴謹?shù)牧晳T。這違背了數(shù)學教育的初衷。另外，直線方程與一次函數(shù)是什么關(guān)系？這又是一個語焉不詳?shù)膯栴}。事實上，建立直線方程時，不少教師完全拋開了一次函數(shù)，甚至沒有將一次函數(shù)與直線方程做結(jié)構(gòu)上的比較，兩者在邏輯上是脫節(jié)的。

因此，如何在教學上做到承上啟下，將不同學段從不同角度講授的同一概念在邏輯上進行梳理，形成一個有機整體，是一線教師需要面對的重要問題。下面，我們將針對既定的內(nèi)容分布，探索如何從跨學段的視角整體把握“直線”模塊，完成“直線”的課題式教學。顯然，這不是一個教師能夠完成的任務，需要各學段的教師在教學過程中注重知識點的縱向邏輯關(guān)聯(lián)，而不是人為地將知識點割裂開來。

（二） 關(guān)于“直線”的知識系統(tǒng)分析

首先需要對三種視角下直線問題的本質(zhì)稍加分析。歐氏幾何中的直線是不加定義的直觀描述?！稁缀卧尽分惺沁@樣描述的：“直線是一條一些點均勻分布在上面的線?！钡@個描述非常難懂。一次函數(shù)的圖像并非關(guān)于直線本身的研究，而是直線的應用，即用直線描述“一次函數(shù)的圖像是什么”；直線的方程則是從代數(shù)的角度研究直線。從這個意義上說，一次函數(shù)圖像的研究與直線方程的研究屬于不同的研究領(lǐng)域：前者屬于應用研究，后者屬于方法研究。簡單回顧數(shù)學史，圓錐曲線產(chǎn)生于古希臘數(shù)學家用平面截圓錐的行為，但是由于缺少合適的工具，圓錐曲線的研究一直止步不前；直到笛卡兒坐標系建立后，代數(shù)方法被成功引入幾何學，幾何學研究在方法論上產(chǎn)生了一場革命，形成了一門完美的幾何學——解析幾何，使得圓錐曲線問題得到了徹底解決；也正是解析幾何的誕生，促使人們進一步研究代數(shù)方法在幾何上的應用，于是，又有了向量空間理論。通過笛卡兒坐標系建立直線方程，正是歐氏幾何中直線問題代數(shù)化的典型案例。正是因為直線有了代數(shù)表示，才使得與直線有關(guān)的很多問題變得異常簡單。

進而，將小學、初中、高中三個學段與直線相關(guān)的內(nèi)容串聯(lián)起來，可以形成一個完整的結(jié)構(gòu)化知識系統(tǒng)：“線段、直線、射線”（小學）→“數(shù)軸、直線公設(shè)與平行公理”（初中）→“一次函數(shù)（正比例函數(shù)）、一元一次方程”（初中）→“平行向量、直線方程”（高中）。學生在不同學段的知識積累與能力發(fā)展不同，有關(guān)直線的知識系統(tǒng)的展開需要循序漸進，包括學習方式上的循序漸進（比如從實驗幾何到論證幾何、從直觀的形及其關(guān)系到抽象的數(shù)及其運算）。更重要的是，通過不同學段特別是中學階段（有關(guān)直線的知識點在多處出現(xiàn)）對相關(guān)知識點之間的聯(lián)系貫通，可以有效地讓學生形成對直線概念的系統(tǒng)認知。這正是課題式教學的精髓。

（三） “直線”的課題式教學設(shè)計

基于上述關(guān)于“直線”的知識系統(tǒng)分析，可以將“直線”課題分成四個子課題，設(shè)計一系列問題，形成一個問題系統(tǒng)，來驅(qū)動教學。將這些問題解決了，直線的知識系統(tǒng)也就建立起來了。

【子課題1】“直線概念”（小學）

在歐氏幾何中，直線的定義是描述性的。但是，如果采用《幾何原本》中的描述，恐怕教師都會一頭霧水，更別說讓小學生理解了?？紤]到小學生認知能力的局限，不能完全套用歐氏幾何中的定義，而要強調(diào)直觀、通俗，同時，還要讓學生意識到直線概念的重要性。為此，可以設(shè)計問題1—問題4來驅(qū)動教學。

問題1：如何用卷尺測量兩點之間的距離？

問題2：不同的卷尺寬度是不同的，會測出不同的距離嗎？

問題3：兩點間的距離有限制嗎？理論上可以測出多遠的距離？激光能射出去多遠？

這3個問題與學生的生活十分貼近，也是生活中很重要的一類問題。四年級的學生應該都經(jīng)歷過測量距離之類的事情，至少不會陌生。通過3個問題的引導，學生便可以建立起線段、直線與射線的概念。對直線，可以采用這樣的定義方法：從一點出發(fā)，向正反兩個固定的方向無限延伸的線稱為直線。因為學生對方向是比較容易理解的，教師甚至可以通過東西南北等具體的方向幫助學生理解固定方向的含義。

問題4：時間有限嗎？過去有多久？未來有多遠？

第4個問題具有一定的深度，普通學生或許尚不具備這種抽象能力，很難將時間與直線聯(lián)系起來，但教師在教學中不妨做一個嘗試。

【子課題2】“直線公設(shè)與平行公理”（初中）

初中階段，數(shù)軸的概念出現(xiàn)在直線公設(shè)與平行公理之前，雖然邏輯上有些不順暢，但也并非完全不可行，因為學生在小學已經(jīng)接觸過直線概念。對于這一子課題，可以設(shè)計問題5—問題10來驅(qū)動教學。

問題5：直尺與三角板為什么可以測量長度？

學生一開始可能對這個問題有點莫名所以，教師可以進一步啟發(fā)：卷尺是如何測量兩點之間距離的？學生便不難明白：因為直尺與三角板的邊緣是線段，線段上有刻度，所以，通過刻度的讀數(shù)便可知兩點之間的距離，也可以沿著直尺或三角板的邊緣畫出兩點的連線即線段來。

問題6：如何通過溫度計了解環(huán)境溫度？

環(huán)境溫度可能是零上，也可能是零下，所以溫度計上不僅有表示零上的刻度，也有表示零下的刻度。這就引出了正負數(shù)的表示問題。

問題7：如何直觀地表示過去、現(xiàn)在與未來？

有了問題6，回答問題7自然不會太困難。通過這些問題可以建立起數(shù)軸的概念。

問題8：如果用兩把卷尺分別去量同一對物體之間的距離，兩把卷尺拉直后是什么關(guān)系？為什么會這樣？

問題9：上述結(jié)論具有一般性嗎？即過兩個點可以畫幾條直線？

通過對上述實際問題的感知，“兩點確定一條直線”的公設(shè)也就水到渠成了。

問題10：如果不能直接測量兩個物體之間的距離，例如筆直的路邊有兩個物體，它們與道路相隔同樣的距離，但兩個物體也許位于水田中，也許中間有障礙物，無法直接測量，那么有什么辦法間接測量它們之間的距離？

有了問題中的條件，相信學生憑借經(jīng)驗可以毫不費力地回答問題10，由此可以引入平行公理。如果時間允許的話，可以適當?shù)卣归_：過直線外一點，一定能且僅能作一條已知直線的平行線嗎？數(shù)學史上，圍繞這個問題出現(xiàn)了兩種新的幾何。做這種拓展的目的不僅是開拓學生的視野，更重要的是讓學生意識到，任何結(jié)論的成立都是有前提的，在特定的前提下得到的結(jié)論不能隨意推廣。雖然非歐幾何正是因為對平行公理的反思而得到的純數(shù)學理論，并無任何實際背景，然而，黎曼幾何（一種非歐幾何）最終卻成了相對論的數(shù)學基礎(chǔ)，這是非歐幾何的發(fā)明者始料不及的。之所以出現(xiàn)如此神奇的故事，是因為數(shù)學與自然科學在方法論上是相通的。因而，常常會有這樣的現(xiàn)象：一門曾經(jīng)毫無實際背景的純數(shù)學理論在自然科學與現(xiàn)實中發(fā)揮了至關(guān)重要的作用。類似的例子比比皆是。例如，圓錐曲線是純幾何的產(chǎn)物，但在光學、天文學、物理學、軍事學等領(lǐng)域卻隨處可見。通過這種拓展，在提高學生學習興趣的同時，也讓學生體會到數(shù)學的威力與無窮的潛力。

【子課題3】“一次函數(shù)與一元一次方程”（初中）

教材通常先介紹一般函數(shù)及其圖像的概念，然后給出一次函數(shù)的定義，通過描點作圖說明一次函數(shù)的圖像是一條直線，但是不給出證明。之所以不給出證明，或許緣于“相似三角形”內(nèi)容編排在后面。這里不討論為什么如此編排，僅限于在這樣的編排下如何施教。其實，即使沒有相似三角形知識做儲備，仍然可以利用平行線的性質(zhì)及面積法，得到兩個具有相同銳角的直角三角形的對應邊成比例，進而得到直線的代數(shù)表達式。這也為一般相似三角形的判定做好了前期準備。所以對于一次函數(shù)，可以從特殊到一般、從形到數(shù)再到形、最終關(guān)聯(lián)一元一次方程，設(shè)計問題11—問題15來驅(qū)動教學。

問題11：給定一條直線，在過該直線的平面內(nèi)建立直角坐標系，使得坐標原點位于給定直線上，且直線不與x軸或ｙ軸共線。將直線上的點用坐標表示，這些點的坐標應該滿足什么等式？

這個問題也可以放在高中階段直線方程的建立中，只不過初中階段沒有涉及傾斜角與斜率。既然高中階段突出向量法，初中階段不妨從這個問題開始，引導學生利用如下方法解決：

假設(shè)直線l過原點，如果在l上再取一點，那么這個點便確定了該直線。因此，不妨假設(shè)l是由坐標原點與點A（x₀，y₀）所確定的。在l上任取一點P，設(shè)其坐標為（x，y）。為避免復雜的討論，不妨假設(shè)直線過第一象限，且A、Ｐ在第一象限。

問題12：當直線上的點P（x，y）發(fā)生變化時，坐標如何變化？

問題12引導學生先不討論一般的直線，而對上述等式做進一步的分析。從上述等式可以看出，當橫坐標發(fā)生變化時，縱坐標將隨之變化，且縱坐標隨著橫坐標的確定而唯一確定。這正是函數(shù)的思想，此時引出函數(shù)的概念或許更為自然。由于y=y₀x₀x是關(guān)于橫坐標（自變量）x的一次式，所以將形如y=kx（k≠0）的函數(shù)稱為一次函數(shù)（或正比例函數(shù)）。

問題13：在直角坐標系中，所有的直線都符合上述代數(shù)式嗎？

當直線不過坐標原點且不與坐標軸平行或垂直時，代數(shù)式將發(fā)生變化。不過，證明過程無須像對問題11那樣重復一遍，教師可以視學情而定是否詳細建立代數(shù)式。當直線不過原點且不與坐標軸平行或垂直時，直線可以寫成y=kx+b（k≠0）的表示式。

問題14：所有一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像都是直線嗎？

回答了這個問題，才算徹底解決了一次函數(shù)問題。即：不與坐標軸平行或垂直的直線是某個一次函數(shù)的圖像，一次函數(shù)的圖像一定是直線。對于學情較好的班級，不妨嘗試證明問題14的結(jié)論。

問題15：回顧一元一次方程的概念，它與一次函數(shù)有何相似之處？

由于在學習“一次函數(shù)”前學過“一元一次方程”，此時可以引導學生反思一下一元一次方程與一次函數(shù)之間具有何種關(guān)系。從兩者的結(jié)構(gòu)很容看出：一元一次方程的根即對應一次函數(shù)的零點。這樣，不僅可為后面學習二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系埋下伏筆，更重要的是，可以通過這種聯(lián)系培養(yǎng)學生的幾何直觀，幫助學生了解代數(shù)與幾何的內(nèi)在關(guān)系。

【子課題4】“直線方程與平行向量”（高中）

人教A版高中數(shù)學教材中，直線方程的建立雖然用到了向量，但并不是真正意義上的向量法，本質(zhì)上還是傳統(tǒng)的解析幾何法。建立直線方程時，真正的向量法利用的是平行向量的代數(shù)表示：α=kβ。具體地說，在直線上取定兩點A、B（這兩點確定了這條直線），再在直線上任取一點P，則AB∥AP，即存在實數(shù)k使得AP=kAB。或者，如果知道直線的方向（通常用向量α表示）及直線上一點A，任取直線上一點P，則存在實數(shù)k使得AP=kα。一旦建立了直角坐標系，便得到了兩種形式的直線方程：兩點式與點向式。通過幾何上的簡單分析便可得到傾斜角與斜率的概念。教學中，可以從向量的角度建立代數(shù)方程，或從經(jīng)典解析幾何的角度建立直線方程，然后再從另一個角度進行比較，但不宜將兩種方法混在一起。事實上，向量代數(shù)是笛卡兒坐標系的推廣，在笛卡兒坐標系中建立方程是不依賴向量的。所以對于這一子課題，可以設(shè)計問題16—問題18來驅(qū)動教學。

問題16：回顧初中一次函數(shù)的定義，可以看到一次函數(shù)的圖像是直線，那么，坐標平面內(nèi)的任何直線是否都有代數(shù)表示式？如何建立這種表示式？

一次函數(shù)的圖像不可能與x軸垂直，也不可能與x軸平行（因為k≠0），可見一次函數(shù)不可能表示坐標平面內(nèi)的所有直線。如果學生在初中階段按照上述過程學習了一次函數(shù)，那么在高中階段建立直線方程就簡單很多，可以重點突出向量法。

問題17：一次函數(shù)中的k與b在幾何上分別代表了什么？當直線與x軸平行或垂直時意味著什么？它的方程具有什么形式？

建立直線方程后，賦予一次函數(shù)y=kx+b中的k與b以幾何意義。通過這個問題，可以引入斜率、傾斜角與截距的概念。

問題18：在過原點的直線上任取三個點，可以形成多少個向量？這些向量之間是什么關(guān)系？

從更高的視角看，直線就是一維的向量空間。雖然中學并不學習向量空間的概念，但是，學生所學的向量運算蘊含了一個基本事實，即直線、平面、空間中的向量關(guān)于線性運算是封閉的，這正是向量空間的定義。作為知識的拓展，中學課堂上介紹了向量的基本概念后，通過向量的代數(shù)運算進行關(guān)于向量空間的科普，不僅不會增加學生理解的障礙，還能讓學生意識到這些知識點的重要性和內(nèi)在的邏輯關(guān)系。問題18的結(jié)論便意味著過原點的直線關(guān)于向量的線性運算是封閉的，換言之，過原點的直線是一個一維的向量空間。對于向量空間，教師可以視學情決定是否進行科普。

總之，螺旋式上升的理念讓同一模塊的知識分散到了不同的學段，因此，課題式教學常常需要貫穿若干學段。教師不僅需要熟悉自己所教學段的內(nèi)容，也要熟悉與該內(nèi)容相關(guān)的其他學段的內(nèi)容。