司緒榮

課堂教學(xué)是形成與發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一個(gè)重要載體，更是落實(shí)課改理念的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，因而課堂成為大概念視域下教學(xué)實(shí)踐的一個(gè)重要場(chǎng)所.

重視課堂例題教學(xué)是在當(dāng)前習(xí)題操作模塊的基礎(chǔ)上，合理引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)參與其中，動(dòng)口、動(dòng)手、動(dòng)腦，在課堂例題的基礎(chǔ)上進(jìn)行合理的深度學(xué)習(xí)，以典型例題為中心向外延伸與拓展，形成更加高階的數(shù)學(xué)思維能力，促進(jìn)課堂合理轉(zhuǎn)型.

1 高考真題

（2023年新高考Ⅱ卷·13）已知向量a，b滿足|a－b|=根3，|a+b|=|2a－b|，則|b|=______。

2 大概念的理論基礎(chǔ)

大概念視域下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，從具體問(wèn)題及相關(guān)基礎(chǔ)概念入手，聯(lián)系與之相關(guān)的重要概念，進(jìn)而挖掘問(wèn)題的核心概念，為問(wèn)題的解決與應(yīng)用奠定基礎(chǔ)，從而形成大概念思維，構(gòu)建良好的解題思維品質(zhì).

3 例題中的大概念建構(gòu)

基于深度學(xué)習(xí)，從大概念的建構(gòu)層面剖析對(duì)應(yīng)的平面向量及其應(yīng)用問(wèn)題.此題借助兩個(gè)平面向量之間的線性關(guān)系，以及對(duì)應(yīng)的模的數(shù)值與關(guān)系等創(chuàng)設(shè)條件，進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)向量的模.

試題體現(xiàn)的大概念是數(shù)形結(jié)合思想，這種思維方法將平面向量兼?zhèn)涞摹皵?shù)”與“形”的雙重特征體現(xiàn)得淋漓盡致，如圖1所示，從而也為問(wèn)題的數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運(yùn)算等打下基礎(chǔ).依托平面向量的數(shù)量積這一重要概念，回歸平面向量的線性運(yùn)算與模等基礎(chǔ)概念，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)合理的概念分析與應(yīng)用來(lái)解決問(wèn)題.

以大概念的指導(dǎo)為方向，基于此類平面向量的綜合應(yīng)用問(wèn)題，借助平面向量自身所兼?zhèn)涞摹皵?shù)”與“形”的雙重特征，從代數(shù)思維切入，合理數(shù)學(xué)運(yùn)算；從幾何思維切入，巧妙直觀想象.當(dāng)然還可以利用該問(wèn)題的特殊形式，從特殊值思維切入，借助特殊值加以巧妙選取與合理驗(yàn)證.這些都是解決本題的基本數(shù)學(xué)思維方式，展示紛呈多樣的技巧與方法.

4 大概念視域下的課堂教學(xué)實(shí)踐

大概念視域下平面向量的綜合問(wèn)題，可以從“數(shù)”“形”以及特殊思維等方面來(lái)展開(kāi)與應(yīng)用，從而得以分析與解決實(shí)際問(wèn)題.

4.1 代數(shù)思維

問(wèn)題1?如何從代數(shù)視角，以“數(shù)”的屬性來(lái)解題？

合理引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)來(lái)平面向量數(shù)量積的轉(zhuǎn)化，借助平方運(yùn)算等來(lái)達(dá)到目的.

問(wèn)題2?對(duì)平面向量的模的關(guān)系式兩邊進(jìn)行平方處理，有怎樣的效果？

解法1：平方轉(zhuǎn)化法.

將|a+b|=|2a－b|兩邊平方，可得（a+b）2=（2a－b）2，

整理得a2－2a·b=0.

又|a－b|=3，兩邊平方可得（a－b）2=3，則有a2－2a·b+b2=3，可得b2=3，即|b|=3.[WTBX]

設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)平面向量的模之間的關(guān)系式，通過(guò)平方處理，轉(zhuǎn)化為平面向量的數(shù)量積問(wèn)題，結(jié)合平面向量的運(yùn)算法則加以變形轉(zhuǎn)化與巧妙應(yīng)用，是解決此類平面向量問(wèn)題的“通性通法”.抓住向量的模以及模之間的關(guān)系，遇“模”平方是潛意識(shí)操作，通過(guò)平方運(yùn)算以及方程組的聯(lián)立，可以為問(wèn)題的進(jìn)一步解決指明方向，也是解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在.

問(wèn)題3?對(duì)問(wèn)題中的平面向量線性關(guān)系進(jìn)行整體代換，有何效果？

解法2：整體換元法.

設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)題中平面向量之間的線性關(guān)系，借助整體換元引入新向量，由此構(gòu)建兩個(gè)平面向量的非對(duì)稱線性關(guān)系式的模之間的恒等關(guān)系，同樣利用平方運(yùn)算來(lái)轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.整體換元的目的在于關(guān)系式的變形轉(zhuǎn)化與巧妙應(yīng)用，其關(guān)鍵在于利用了

這個(gè)基本結(jié)論.

問(wèn)題4?回歸平面直角坐標(biāo)系，如果利用坐標(biāo)運(yùn)算如何分析與解決問(wèn)題？

解法3：坐標(biāo)法.

設(shè)計(jì)意圖：建立平面直角坐標(biāo)系，合理引入平面向量的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)運(yùn)算以及模的公式合理轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，利用方程求解、等量代換等加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算達(dá)到目的.坐標(biāo)法也是平面向量中“數(shù)”的屬性的一大體現(xiàn)，利用坐標(biāo)的表示與應(yīng)用，合理通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算來(lái)處理一些相關(guān)的向量問(wèn)題，也是解決平面向量問(wèn)題的“通性通法”.

4.2 幾何思維

問(wèn)題5?如何從幾何視角，以“形”的結(jié)構(gòu)特征解題？

問(wèn)題6?合理構(gòu)建平面幾何圖形，如何基于圖形直觀來(lái)推理與運(yùn)算呢？

解法4：平面幾何法.

設(shè)計(jì)意圖：回歸平面向量自身“形”的幾何特征，構(gòu)建與題設(shè)相關(guān)的平面幾何圖形，利用平面幾何的相關(guān)知識(shí)與基本性質(zhì)，結(jié)合直觀視角來(lái)數(shù)形結(jié)合，從“形”的視角來(lái)分析與解決問(wèn)題.在解決一些平面向量問(wèn)題中，由“數(shù)”轉(zhuǎn)“形”，借助“形”的直觀，通過(guò)數(shù)形結(jié)合與邏輯推理來(lái)解決相關(guān)問(wèn)題，可以減少數(shù)學(xué)運(yùn)算.

4.3 特殊值思維

問(wèn)題7?解決問(wèn)題的“巧技妙法”往往是處理選擇題與填空題的一種特殊方法，那么該問(wèn)題能否通過(guò)特殊思維來(lái)快捷處理呢？

問(wèn)題8?如何從特殊思維視角，用一般與特殊的轉(zhuǎn)化與化歸思維來(lái)解決該問(wèn)題呢？

解法5：特殊值法1.

由|a+b|=|2a－b|，顯然當(dāng)a=0這個(gè)特殊值時(shí)，有|0+b|=|0－b|，該關(guān)系式成立，

此時(shí)有|a－b|=|－b|=|b|=3.

解法6：特殊值法2.

由|a+b|=|2a－b|，顯然當(dāng)a=2b這個(gè)特殊值時(shí)，有|2b+b|=|4b－b|=3|b|，該關(guān)系式成立，

此時(shí)有|a－b|=|2b－b|=|b|=3[WTBX].

設(shè)計(jì)意圖：特殊值思維是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中最為特殊的一種“巧技妙法”.抓住題設(shè)條件中平面向量之間的線性關(guān)系，以特殊的零向量、特殊的數(shù)乘向量關(guān)系等代入滿足的關(guān)系式，借此通過(guò)這個(gè)特殊值的應(yīng)用來(lái)技巧化解決問(wèn)題.利用特殊值法在解決一些具有確定結(jié)論的選擇題或填空題時(shí)，借助特殊值（特殊函數(shù)、特殊向量、特殊圖形等）的應(yīng)用，以特殊代替一般，又回歸到一般情況，符合辯證唯物主義思想.

大概念視域下，涉及平面向量的綜合問(wèn)題，往往可以從定義思維視角、代數(shù)思維視角、幾何思維視角、特殊值思維視角等不同角度切入，合理發(fā)散思維.

大概念視域下，借助“一題多解”的巧妙應(yīng)用，充分融合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，形成穩(wěn)定的數(shù)學(xué)知識(shí)架構(gòu)，從而脫離“題海戰(zhàn)術(shù)”，拓寬數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，切實(shí)提高數(shù)學(xué)能力，提升數(shù)學(xué)品質(zhì)與核心素養(yǎng)，真正達(dá)到舉一反三、融會(huì)貫通的效果，得以創(chuàng)新拓展.