吳久輝

摘要：新課程改革的進(jìn)一步深入，對高中數(shù)學(xué)的教學(xué)手段、教學(xué)方式等提出了全新的要求.將信息技術(shù)與高中數(shù)學(xué)教學(xué)相結(jié)合既能滿足學(xué)生的發(fā)展需求，也符合新課改的要求，在發(fā)展學(xué)生思維、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識、提升教學(xué)質(zhì)量等方面發(fā)揮著重要的作用.本文中展示了幾何畫板在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的優(yōu)勢，以期通過適時、適度、適當(dāng)?shù)膽?yīng)用，提升課堂教學(xué)效果，實現(xiàn)學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展.

關(guān)鍵詞：信息技術(shù)；幾何畫板；教學(xué)效果

數(shù)學(xué)是一門比較抽象的學(xué)科，有些內(nèi)容僅憑教師單方面的講授學(xué)生很難理解和掌握.基于此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師有必要更新教學(xué)方式和教學(xué)手段，將抽象的內(nèi)容生動、直觀地呈現(xiàn)出來，這樣既易于學(xué)生理解和掌握，又可以調(diào)動學(xué)生參與的積極性，有利于深度學(xué)習(xí)的達(dá)成.而將信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)相結(jié)合，可以將知識系統(tǒng)、直觀地呈現(xiàn)出來，有效淡化數(shù)學(xué)知識的抽象感，使數(shù)學(xué)課堂豐富起來、生動起來，切實提升課堂教學(xué)效果［1］.在“直線和圓的位置關(guān)系”教學(xué)中，筆者借助幾何畫板，將圓與直線的位置關(guān)系形象、直觀、準(zhǔn)確地呈現(xiàn)出來，在幫助學(xué)生理解知識的同時，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).現(xiàn)結(jié)合具體案例，談?wù)剮缀萎嫲宓慕虒W(xué)優(yōu)勢.

1 巧借幾何直觀，促進(jìn)理解

解析幾何既是教學(xué)重點，也是教學(xué)難點，許多學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時容易產(chǎn)生畏難情緒，從而影響最終學(xué)習(xí)效果.確實，對于初學(xué)解析幾何的高一新生來講，這部分內(nèi)容比較抽象，涉及層面較廣，綜合應(yīng)用比較靈活，僅憑教師講授很難讓學(xué)生將相關(guān)知識、方法等學(xué)懂、吃透.在實際教學(xué)中，為了讓學(xué)生更加直觀地感悟直線與圓的位置關(guān)系，大多教師會滲透數(shù)形結(jié)合思想，以期借助形的直觀淡化問題的抽象性，幫助學(xué)生克服畏難情緒，提高學(xué)生參與課堂的積極性.在具體實施過程中，教師若選擇課上手工繪圖，這樣不僅會浪費(fèi)寶貴的課堂時間，而且難以準(zhǔn)確表達(dá)蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)關(guān)系.而利用幾何畫板可以有效解決以上問題，快速、直觀、準(zhǔn)確地呈現(xiàn)圖形，更易于學(xué)生理解和掌握.

案例1?中點軌跡問題

教學(xué)中，教師設(shè)計了如下幾個問題：

（1）已知P是定圓O上一動點，Q為圓O外一定點，連接PQ，M是PQ的中點，當(dāng)P在圓O上運(yùn)動時，點M的軌跡是什么？

（2）已知P是定圓O上一動點，點Q在過圓心O的定直線上，且線段PQ為定長，M是PQ的中點，當(dāng)點P在圓O上運(yùn)動時，點M的軌跡又是什么？

（3）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P，Q分別為y軸和x軸上的兩動點，且線段PQ為定長，M是PQ的中點，當(dāng)動點P在y軸上運(yùn)動時，M的軌跡又是什么？

教學(xué)中，教師先讓學(xué)生思考并提出自己的猜想，然后運(yùn)用幾何畫板進(jìn)行動態(tài)演示，讓學(xué)生借助圖形進(jìn)一步觀察（如圖1～圖3），幫助學(xué)生加深對中點軌跡問題的理解.

通過直觀演示可以輕松得到如下結(jié)論：問題（1）中，中點M的運(yùn)動軌跡是圓；問題（2）中，中點M的運(yùn)動軌跡是橢圓；問題（3）中，中點M的運(yùn)動軌跡是圓.

這樣借助幾何畫板就將中點軌跡的三個問題直觀、快速、準(zhǔn)確地呈現(xiàn)出來了.通過經(jīng)歷以上過程，學(xué)生可以感受軌跡的產(chǎn)生過程，有利于培養(yǎng)空間意識，提升直觀想象素養(yǎng).另外，通過動態(tài)展示，抽象的問題會變得更加直觀、簡潔、生動，便于理解和掌握.通過經(jīng)歷以上過程，還可以幫助學(xué)生積累豐富的活動經(jīng)驗，有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和核心素養(yǎng).

2 借助直觀精準(zhǔn)，促進(jìn)發(fā)現(xiàn)

直線與圓相結(jié)合的圖形運(yùn)動問題是高考的一個重要考點，該類型的題目比較抽象，具有一定難度.在日常教學(xué)中，若教師僅是就題論題式的講授，將影響學(xué)生知識體系的建構(gòu)，不利于學(xué)生解決問題能力的提升.因此在實際教學(xué)中，教師不妨借助多媒體的直觀化、系統(tǒng)化、精準(zhǔn)化，引導(dǎo)學(xué)生對相關(guān)知識進(jìn)行歸納總結(jié)，讓學(xué)生的腦海中形成清晰的知識脈絡(luò)，從而提高遷移水平[2].

對于兩個非同心圓的一般方程，若將兩圓的一般方程作差，則得到一個二元一次方程，即一條直線l的方程.該直線與已知兩圓可能會有一定的特殊的關(guān)系，這是一個值得探究的問題.兩圓的位置關(guān)系有多種，受其影響，直線l與兩圓的特定關(guān)系也會有所不同.這種不同很難單純地靠說或板書來表達(dá)，教學(xué)中可著重演示這一動態(tài)變化過程，引導(dǎo)學(xué)生在變化中逐漸抽象概括，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律.在具體實施過程中，教師不妨借助幾何畫板來動態(tài)演示，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、抽象概括等過程，提高教學(xué)實效性.

案例2?直線和兩圓的位置與方程的關(guān)系

教學(xué)中，教師以兩圓相交這一位置關(guān)系為引例，開啟探究之旅：

問題?如圖4，作兩相交圓圓O1和圓O2，其交點為M，N，令點M，N所在直線為l，在直線l上取一點P（異于點M，N），過點P分別作圓O1和圓O2的切線PE，PF，連接O1O2.結(jié)合圖形，說說你有何發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生通過直觀觀察易于發(fā)現(xiàn)：（1）在直線l上任取一點作兩圓的切線，則切線長相等；（2）直線l與兩圓的連心線垂直.基于以上發(fā)現(xiàn)，教師讓學(xué)生度量兩圓及直線的方程，觀察、猜想并驗證它們之間的關(guān)系.猜想及證明過程如下：

猜想：若圓O1和圓O2相交，則直線l的幾何意義是兩圓的公共弦所在的直線.

證明：設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2）是兩圓的交點，則有x21+y21+D1x1+E1y1+F1=0和x21+y21+D2x1+E2y1+F2=0成立，即P1（x1，y1）滿足方程（x21+y21+D2x1+E2y1+F2）－（x21+y21+D1x1+E1y1+F1）=0，整理得（D1－D2）x+（E1－E2）y+F1－F2=0.同理，P2（x2，y2）也滿足上式.所以直線l表示兩圓的公共弦所在的直線.

在此基礎(chǔ)上，教師讓學(xué)生繼續(xù)思考：兩圓相離、相切或內(nèi)含時，是否有符合以上條件的直線l？這樣借助幾何畫板的直觀、快速、準(zhǔn)確，打開了學(xué)生的思維大門，讓學(xué)生對蘊(yùn)含于圖形中的一些特殊結(jié)論了然于心，有利于提升學(xué)生學(xué)習(xí)信心，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3 提供實踐機(jī)會，提升素養(yǎng)

幾何畫板是研究幾何問題的重要工具，可以將抽象的知識和復(fù)雜的問題直觀地展示出來，從而為知識的理解和問題的解決提供便利.在現(xiàn)實教學(xué)中，幾何畫板以教師操作為主，這樣雖然高效，但是學(xué)生的思路被教師牽著走，學(xué)生的發(fā)現(xiàn)局限于教師的預(yù)設(shè)中，影響學(xué)生創(chuàng)新意識的培養(yǎng).在實際教學(xué)中，教師可以提供機(jī)會讓學(xué)生自己操作，這樣既可以調(diào)動學(xué)生參與的積極性，又能激活學(xué)生的思維，提高學(xué)生的動手探究能力和創(chuàng)造力.在課堂教學(xué)中，只有真正將主動權(quán)交給學(xué)生，才能充分釋放學(xué)生的無限潛能，提升學(xué)習(xí)品質(zhì)和教學(xué)有效性[3].

案例3?和兩個定圓相切的動圓圓心軌跡

如圖5，已知兩定圓O1和O2的半徑分別為r1，r2，動圓M與兩圓相外切.

（1）如果兩定圓相離，那么圓心M的軌跡是什么？

（2）如果兩定圓外切，情況會怎樣？

（3）如果兩定圓相交、內(nèi)含、內(nèi)切，又能得到怎樣的結(jié)論？

（4）如果兩定圓內(nèi)切于動圓M，圓心M的軌跡又會怎樣呢？

對于以上問題，若直接讓學(xué)生推理分析，容易滋生學(xué)生的畏難情緒，因此教師不妨提供機(jī)會讓學(xué)生動手實踐探究，讓學(xué)生通過操作、觀察、分析、歸納等活動輕松地解決問題.另外，通過動手實踐探究形成的直觀認(rèn)識，會給后續(xù)的推理驗證提供助力，有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題能力的提升.

事實證明，適度地將幾何畫板等多媒體技術(shù)應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，可以使抽象、枯燥的數(shù)學(xué)知識變得形象、直觀、生動，可以有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，從而讓學(xué)生的學(xué)變得更加積極、主動.值得注意的是，在實際操作中，教師切勿獨(dú)攬課堂，要提供機(jī)會讓學(xué)生去操作、去發(fā)現(xiàn)，這對學(xué)生提高自主探究能力、發(fā)展直觀想象素養(yǎng)、提升數(shù)學(xué)思維能力等都是極其有益的.同時，教學(xué)中要提供機(jī)會讓學(xué)生去合作、交流，讓學(xué)生充分體會繪圖的樂趣以及體驗發(fā)現(xiàn)的喜悅，充分激發(fā)學(xué)生的主體性和主動性，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實.

總之，幾何畫板作為優(yōu)質(zhì)的教學(xué)軟件，操作簡單，功能強(qiáng)大，將其應(yīng)用于教學(xué)能發(fā)揮傳統(tǒng)教學(xué)無法比擬的作用.在實際教學(xué)中，教師要適時、適度、適當(dāng)?shù)丶右詰?yīng)用，充分發(fā)揮其直觀、生動、快捷等優(yōu)勢，加快新知內(nèi)化進(jìn)程，助力學(xué)生全面提升.

參考文獻(xiàn)：

［1］閔啟蒙.幾何畫板在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略[J].當(dāng)代家庭教育，2020（7）：97.

［2］劉衛(wèi)富.高中數(shù)學(xué)運(yùn)用《幾何畫板》輔助解題的探究[J].數(shù)理化解題研究，2020（3）：28-29.

［3］黃山.信息技術(shù)環(huán)境下的三角函數(shù)教學(xué)——淺談幾何畫板在教學(xué)中的運(yùn)用[J].考試周刊，2019（47）：86-87.