周茜

摘要：借助一道高考平面向量數(shù)量積的最值問題的求解，合理詮釋數(shù)學(xué)問題解題研究過程中的“四部曲”——來路、思路、出路、套路，挖掘問題內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，總結(jié)解題規(guī)律，嘗試為數(shù)學(xué)問題的求解與解題研究提供一個(gè)基本學(xué)習(xí)模板，指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究.

關(guān)鍵詞：平面向量；數(shù)量積；最大值

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)以及解題研究過程中，特別是在高考復(fù)習(xí)階段，教師合理選取經(jīng)典問題，多方位挖掘問題的內(nèi)涵，嘗試做到數(shù)學(xué)解題研究的“四部曲”——來路、思路、出路、套路，提升復(fù)習(xí)效率.

1 展示“來路”——立足課標(biāo)，明確主題與指向

教材典型例、習(xí)題及歷屆高考真題等典型試題，具有有效鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、合理滲透數(shù)學(xué)思想方法、精準(zhǔn)明確數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)、巧妙確定數(shù)學(xué)研究方向等基本作用，是新一屆高考命題者改編或創(chuàng)編新高考題的基本“來路”.基于典型試題的教學(xué)研究，有效明確相應(yīng)問題的主題，尋找典型問題的指向.

分析：根據(jù)平面向量數(shù)量積的幾何意義，結(jié)合投影的結(jié)構(gòu)特征與直觀分析，通過“動”態(tài)過程中的變化規(guī)律及最值問題的幾何特征，二者合理交匯與融合，通過數(shù)形結(jié)合以及圖形直觀，綜合平面幾何的結(jié)構(gòu)特征與基本性質(zhì)等來應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)問題的直觀處理.平面幾何法的關(guān)鍵就是把握圖形的結(jié)構(gòu)特征以及所求數(shù)量積的幾何意義與內(nèi)涵，合理直觀與巧妙推理.

3 尋找“出路”——目標(biāo)變式，鏈接知識與方法

目標(biāo)變式是基于原問題考查的基礎(chǔ)知識、基本思想內(nèi)涵與技巧方法，有目的、有計(jì)劃地合理改編與變式，探尋問題進(jìn)一步的“出路”，進(jìn)而凸顯不同數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本思想方法、思路技巧等之間的邏輯關(guān)系，合理鏈接數(shù)學(xué)知識與思想方法，構(gòu)建更加完善的數(shù)學(xué)知識體系與架構(gòu)，形成更加全面的知識網(wǎng)絡(luò).

3.1 延續(xù)結(jié)果變式

變式1?已知⊙O的半徑為1，直線PA與⊙O相切于點(diǎn)A，直線PB與⊙O交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若|PO|=2，則PA·PD的取值范圍為[CD#3].0，12+[JB（]22[JB）]]

3.2 改變條件變式

變式2?已知⊙O的半徑為3，直線PA與⊙O相切于點(diǎn)A，直線PB與⊙O交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若|PO|=2，則PA·PD的最大值為[CD#3].32

借助以上條件改變而得到的變式2及其對應(yīng)的解析過程，將確定最大值的問題轉(zhuǎn)變?yōu)榇_定取值范圍的問題，還可以得到對應(yīng)的變式.

變式3?已知⊙O的半徑為3，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，PB交⊙O于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若|PO|=2，則PA·PD的取值范圍為[CD#3].[JB（[]－12，32[JB）]]

4 拓展“套路”——總結(jié)反思，優(yōu)化技巧與策略

總結(jié)反思是高效、合理進(jìn)行解題研究的基本步驟，可以從知識覆蓋面廣、形式靈活的數(shù)學(xué)綜合題中挖掘蘊(yùn)含其中的多種解法與思想，合理總結(jié)并拓展解題的“套路”，有利于深化學(xué)生對知識的理解與掌握，從而優(yōu)化數(shù)學(xué)思想與技巧策略，發(fā)展數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

4.1 掌握“通技通法”，鞏固“四基”訓(xùn)練

高考中涉及平面向量的數(shù)量積及其相關(guān)的綜合應(yīng)用問題，可以巧妙融入幾何的“形”與代數(shù)的“數(shù)”這兩類基本要素，形成數(shù)形結(jié)合綜合應(yīng)用的一大典范.

解決此類問題的“通性通法”常見的有基底思維、平面幾何思維、坐標(biāo)思維、特殊公式思維（極化恒等式等）等，從“數(shù)”的運(yùn)算層面或“形”的直觀層面等視角切入，全面靈活應(yīng)用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識來綜合分析與解決問題，鞏固數(shù)學(xué)“四基”訓(xùn)練.

4.2 “一題多解”發(fā)散，“一題多變”升華

涉及平面向量的綜合應(yīng)用問題，往往可以從幾何視角、坐標(biāo)視角、基底視角等不同思維視角切入，有效發(fā)散思維，進(jìn)行“一題多解”.在解題與應(yīng)用的過程中，充分融合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與基本技能，形成穩(wěn)定的知識架構(gòu).

而充分挖掘典型問題的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，進(jìn)一步加以升華，借助“一題多變”等形式的應(yīng)用，能讓學(xué)生真正達(dá)到會解、會用、會拓展等.在此層面上，進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)“一題多得”的良好效果，達(dá)到做一題、懂一片、會一類，從而更加深入地研究數(shù)學(xué)問題，脫離“題海戰(zhàn)術(shù)”，拓寬數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，切實(shí)提高數(shù)學(xué)能力，真正達(dá)到舉一反三、融會貫通的效果.

數(shù)學(xué)解題能力是基于綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、思想方法以及技巧策略等來準(zhǔn)確解題的基本能力.縱觀整個(gè)教學(xué)活動，基于教材典型例、習(xí)題及歷屆高考真題等典型性問題，展示問題的“來路”，展開問題的“思路”，尋找問題的“出路”，拓展問題的“套路”，深入挖掘，獨(dú)立解答，分享過程與細(xì)節(jié)，使得解題知識內(nèi)化、能力優(yōu)化、數(shù)學(xué)思維生長，從而學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不僅出色地完成了解題目標(biāo)，同時(shí)解題能力也獲得了大幅的提升與拓展.

實(shí)踐證明，基于數(shù)學(xué)解題研究過程中的“四部曲”——來路、思路、出路、套路，有針對性的解題研究的教學(xué)與學(xué)習(xí)，教學(xué)意圖更加明顯，教學(xué)思路更加清晰，教學(xué)設(shè)計(jì)與教學(xué)過程更能充分調(diào)動學(xué)生解題的積極性、主動性，是有效提高高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考質(zhì)量的一種常見教學(xué)范式.