潘妙妙

俗語有云：“授人以魚不如授人以漁.”數(shù)學(xué)教學(xué)是為了培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力與生活能力的教學(xué)，教師的課堂引導(dǎo)對學(xué)生思維的發(fā)展具有深遠(yuǎn)的影響.在新課標(biāo)的引領(lǐng)下，以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的數(shù)學(xué)教學(xué)，學(xué)生才是課堂真正意義上的主人，所有的教學(xué)活動應(yīng)基于“以生為本”的基礎(chǔ)開展[1].因此，高中數(shù)學(xué)教學(xué)不再是知識的傳授那么簡單，而應(yīng)在充分理解課標(biāo)要求與學(xué)情的基礎(chǔ)上，借助課堂教學(xué)激趣啟思、拓展學(xué)生的思維、挖掘潛能，促使每個學(xué)生都能形成良好的自主學(xué)習(xí)能力，為發(fā)展核心素養(yǎng)夯實基礎(chǔ).

1 教學(xué)過程

例1?在數(shù)列{an}中，已知a1=1，且an+1=2an+1，則該數(shù)列的通項公式是什么？

問題的條件是解決問題的基礎(chǔ).解題時，首先要讀題、審題，只有準(zhǔn)確把握問題的條件，才能明確試題究竟涉及哪些知識點，該從何處下手進(jìn)行分析.例題教學(xué)初始階段，教師可鼓勵學(xué)生自主審閱問題條件，并將條件內(nèi)容進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，盡可能“化未知為已知”，在模仿訓(xùn)練中自主探尋知識規(guī)律，在及時反思中獲得解題感悟.對于本題，教師可鼓勵學(xué)生自主觀察遞推公式，并從它的結(jié)構(gòu)特點出發(fā)，進(jìn)行變形.

生1：由an+1=2an+1可得an+1+1=2（an+1），即an+1+1an+1=2，則數(shù)列{an+1}

以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.

師：非常好！如何規(guī)范書寫？

生2：an+1=2n－1×2=2n，則an=2n－1.

在學(xué)生觀察與分析題設(shè)條件時，教師要做的是給足時間，適當(dāng)留白，舍得放手，鼓勵學(xué)生獨立思考，開拓思路，多加嘗試，通過對數(shù)列的不同變形轉(zhuǎn)化，深刻理解等比數(shù)列概念的內(nèi)涵.為了讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題中隱藏的規(guī)律，教師還可在此基礎(chǔ)上把握好引導(dǎo)時機，設(shè)計模仿訓(xùn)練.

師：在數(shù)列{an}中，已知a1=1，且an+1=2an+2，則該數(shù)列的通項公式是什么？

生3：在等式兩邊同時加上2，可得an+1+2an+2=2.

師：很好！思考至此，我們可將原問題如何轉(zhuǎn)化？

生4：若明確數(shù)列{an+2}是一個首項為3，公比為2的等比數(shù)列，則該數(shù)列的通項公式是什么？

顯然，學(xué)生的思維相當(dāng)活躍，不論是解題還是轉(zhuǎn)化都體現(xiàn)出良好的知識基礎(chǔ).為了進(jìn)一步拔高學(xué)生的思維，教師可設(shè)計一些具有挑戰(zhàn)性的問題，以逐步啟迪學(xué)生的思維，提升學(xué)生的抽象與概括能力.

師：對比以上兩題，它們在結(jié)構(gòu)上具有怎樣的共同點？關(guān)鍵性條件是什么？該怎樣靈活地將這種數(shù)列問題化歸成等比數(shù)列的問題？

生5：當(dāng)數(shù)列的首項與遞推公式明確時，可將形如an+1=2an+q（q是常數(shù)）的式子變形，轉(zhuǎn)化成an+1+k=2（an+k）的結(jié)構(gòu)，進(jìn)而得到一個以2為公比的等比數(shù)列.

為了實現(xiàn)“深度學(xué)習(xí)”的目的，教師至此并沒有結(jié)束本題的教學(xué)，而是選擇趁熱打鐵，提出變式練習(xí)，以強化學(xué)生對知識的掌握與靈活應(yīng)用程度.

變式?在數(shù)列{an}中，已知a1=1，an+1=pan+q，且p，q均為常數(shù)，則數(shù)列{an}的通項公式是什么？

設(shè)計意圖：變式具有不改變知識本質(zhì)，只變化問題形式的特征.該變式與例1相比，難度稍有增加，但考查的核心點并沒有發(fā)生變化.如此設(shè)計意在進(jìn)一步強化學(xué)生對數(shù)列通項公式的理解，為形成舉一反三的解題能力奠定基礎(chǔ).

借鑒前面兩題的解題經(jīng)驗，學(xué)生經(jīng)過觀察與思考，從問題條件特征著手進(jìn)行嘗試.巡視過程中發(fā)現(xiàn)有部分學(xué)生存在思維障礙，教師可適當(dāng)作如下點撥：an+1=pan+qan+1+k=p（an+k），怎么從p，q著手求得k的值呢？

生6：將前后兩個式子進(jìn)行對比，不難發(fā)現(xiàn)pk－k=q這個關(guān)系，因此，當(dāng)p≠1時，k=qp－1，也就是an+1=pan+qqp－1+an+1qp－1+an=p.

生7：當(dāng)p≠1時，數(shù)列{an+qp－1}是公比為p的等比數(shù)列.

師：當(dāng)p=1時，則有an+1=an+q，那么數(shù)列{an}就是公差為q的等差數(shù)列，通項公式也自然可求.

學(xué)生的思維隨著探索的深入越發(fā)完善，無需教師過多的引導(dǎo)，學(xué)生就自主總結(jié)出結(jié)論.聯(lián)系以上幾個問題，已知條件都是數(shù)列的首項和遞推公式，當(dāng)n≥1時，有an+1=pan+q，總結(jié)出解題步驟大致如下：①將原式設(shè)為an+1+k=p（an+k）.②將上式整理為an+1=pan+（p-1）k，用待定系數(shù)法，可求出未知數(shù)k.需要注意的是，當(dāng)p未知時，需進(jìn)行分類討論，若p≠1，數(shù)列可轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列，且k=qp－1；若p=1，則數(shù)列{an}為等差數(shù)列.③利用構(gòu)造的等比數(shù)列或直接應(yīng)用等差數(shù)列的通項公式，得出原數(shù)列通項公式.

2 幾點思考

2.1 思維的重要性值得關(guān)注

日常工作中，筆者常會聽到一些教師發(fā)牢騷：“這些學(xué)生怎么了？講了一遍又一遍，怎么就不開竅呢？”然而，當(dāng)教師在對學(xué)生有意見的同時，有沒有反省一下自己的教學(xué)方法呢？為什么講過的問題，學(xué)生不能靈活應(yīng)用呢？究其主要原因還在于教師只傳授給了學(xué)生正確答案，而沒有讓學(xué)生獲得學(xué)習(xí)方法，學(xué)生因為缺乏良好的思維能力而導(dǎo)致理解障礙.

數(shù)學(xué)是思維的體操，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力不僅是課標(biāo)對教師提出的要求，更是時代賦予教師的重要責(zé)任.作為教師，不僅要關(guān)注學(xué)生客觀存在的差異性，還要利用課堂教學(xué)充分發(fā)揮學(xué)生的個性特征，促使每個認(rèn)知水平層次的學(xué)生都能在課堂中獲得不同程度的發(fā)展，以從真正意義上拔高思維，提升學(xué)力[2].

如本節(jié)課，教師就借助由淺入深的問題引發(fā)學(xué)生的思考，巡視發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生出現(xiàn)思維障礙時，則適時給予點撥.不論是由淺入深的問題，還是適當(dāng)點撥，都為學(xué)生的思維搭建了“腳手架”，讓每個學(xué)生都在教學(xué)中獲得不同程度的發(fā)展.

2.2 多角度思考可拔高思維

一千個讀者就有一千個哈姆雷特.每個人看待問題的切入點與關(guān)注點都有所差異，數(shù)學(xué)解題亦不例外.同一道試題，若從不同的視角去分析，所用的解題方案也有著天壤之別.為了拓寬學(xué)生的視野，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，解題教學(xué)時，教師可引導(dǎo)學(xué)生從不同角度去審視問題，在溝通知識的基礎(chǔ)上，拓寬學(xué)生的思維，優(yōu)化解題思路，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

在本題的教學(xué)引導(dǎo)中，教師不僅教會了學(xué)生解本題，還借助變式不斷拓展學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生從不同的維度來思考與探索解決問題的辦法，促使學(xué)生通過解一道題，獲得解一類題的能力.這種教學(xué)方式，不僅凸顯了多角度思考可拔高數(shù)學(xué)思維，還借助教學(xué)過程滲透了分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法，從真正意義上實現(xiàn)了深度學(xué)習(xí).

2.3 合作學(xué)習(xí)可活化思維

合作學(xué)習(xí)是當(dāng)前課堂中的常見教學(xué)模式.合作學(xué)習(xí)可拉近師生、生生以及知識間的距離，每個學(xué)生將自己的想法與解題思路表達(dá)出來，可給其他小伙伴帶來啟迪，通過組內(nèi)討論獲得獲得更優(yōu)、更便捷的解題思路.

本節(jié)課教學(xué)的核心在于引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成從問題條件所提供的信息中提取關(guān)鍵信息的習(xí)慣，獲得融會貫通的解題能力.這一類問題的解題關(guān)鍵在于“構(gòu)造法”的應(yīng)用，即將待求的原數(shù)列，轉(zhuǎn)化成學(xué)生所熟悉的等差數(shù)列或等比數(shù)列，最后求得通項公式.解題所涉及到的k值，無需機械性記憶，只要掌握其形成原理即可獲得.

縱覽本節(jié)課的教學(xué)流程，引導(dǎo)式與合作交流式的教學(xué)方式給學(xué)生的思維提供了更大的彈性空間，學(xué)生在自主思考與探索中，汲取同伴的優(yōu)點，改正自己不當(dāng)?shù)牡胤?，不斷獲得解題能力的提升.合作交流與良好的思維習(xí)慣一旦形成，對學(xué)習(xí)任何知識或?qū)W科都具有良好的促進(jìn)作用.

總之，借助課堂教學(xué)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，值得每一位教師去探索、研究，它深刻反映了社會對教育發(fā)展的要求，揭示了教學(xué)過程與學(xué)生的成長具有辯證統(tǒng)一的關(guān)系.學(xué)生一旦獲得了良好的思維能力，在遇到問題時，就能靈活地舉一反三，從真正意義上實現(xiàn)學(xué)習(xí)能力的終身可持續(xù)性發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

[1]陶行知.陶行知文集[M].南京：江蘇人民出版社，1981.

[2]涂榮豹.數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)中的元認(rèn)知[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2002（4）：6-11.