張興

【摘要】本文結(jié)合實例，以參數(shù)方程、極坐標方程和普通方程之間的互化為基礎(chǔ)，探尋并研究高考坐標系與參數(shù)方程部分的考查形式與方向，總結(jié)類型，形成框架，構(gòu)建體系，引領(lǐng)高中數(shù)學(xué)教學(xué)與高考復(fù)習(xí)備考．

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；參數(shù)方程；坐標系

作為高考選考題之一，“坐標系與參數(shù)方程”模塊的考查方式以解答題為主，往往通過兩小題來設(shè)置，解答此類問題的關(guān)鍵是能夠初步理解直角坐標系與極坐標系等相關(guān)概念以及坐標系的構(gòu)建，還有對應(yīng)點的位置的表示，理解并掌握參數(shù)方程、極坐標方程與直角坐標方程的相關(guān)意義，以及不同方程之間的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，并能用來解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題等．

1? 不同方程間的轉(zhuǎn)化問題

坐標系與參數(shù)方程中，基本知識與應(yīng)用都離不開極坐標系、參數(shù)坐標系、平面直角坐標系這三個基本坐標系，對應(yīng)極坐標方程、參數(shù)方程與普通方程這三個基本方程，以及兩兩之間的聯(lián)系與等價轉(zhuǎn)化．

例1? （2022年高考數(shù)學(xué)全國甲卷·22）在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x=2+t6y=t（t為參數(shù)），曲線C2的參數(shù)方程為x=－2+s6y=－s（s為參數(shù)）．

（1）寫出C1的普通方程；

（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C3的極坐標方程為2cosθ－sinθ=0，求C3與C1交點的直角坐標，及C3與C2交點的直角坐標．

分析? （1）根據(jù)曲線C1的參數(shù)方程，消去參數(shù)t，結(jié)合關(guān)系式的變形與化簡，通過整理求得對應(yīng)的普通方程；（2）根據(jù)條件，將曲線C2所對應(yīng)的參數(shù)方程、曲線C3所對應(yīng)的極坐標方程轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的普通方程，通過聯(lián)立方程組求解對應(yīng)的解，進而確定相關(guān)曲線交點的直角坐標．

解? （1）由C1：x=2+t6y=t（t為參數(shù)），

消去t得x=2+y26，

所以C1的普通方程為y2=6x－2（y≥0）；

（2）由C2：x=－2+s6y=－s（s為參數(shù)），消去s得C2的普通方程為

y2=－6x－2（y≤0），

由C3：2cosθ－sinθ=0，

可得2ρcosθ－ρsinθ=0，

則2x－y=0，

由y2=6x－2，2x－y=0，

解得x=12，y=1，或x=1，y=2，

所以C3與C1交點的直角坐標為12，1和（1，2）；

由y2=－6x－2，2x－y=0，，

解得x=－12，y=－1，或x=－1，y=－2，

所以C3與C2交點的直角坐標為

－12，－1和－1，－2．

點評 ?此類問題以直線、圓或圓錐曲線為問題背景，借助不同的坐標系背景并加以融合，體會在極坐標系、參數(shù)坐標系、平面直角坐標系中刻畫點、曲線等的位置、聯(lián)系與區(qū)別，解答此類問題的關(guān)鍵是理解與掌握極坐標方程、參數(shù)坐標方程、直角坐標方程的互化與應(yīng)用，主要考查數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)以及化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等．

2? 參數(shù)方程及應(yīng)用問題

參數(shù)方程有著相應(yīng)的基本概念與對應(yīng)的幾何意義，特別是點、直線、圓以及圓錐曲線，借助參數(shù)的幾何意義，進一步加以簡單的綜合與應(yīng)用．

例2? （創(chuàng)新題）在極坐標系中，圓C：ρ=4cosθ．以極坐標系中的極點O為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系xOy，過點M（－1，－33）的直線l的傾斜角為α．

（1）試求直線l的參數(shù)方程，以及圓C的直角坐標方程；

（2）已知直線l與圓C交于A，B兩點，且A為線段MB的中點，求α的大小．

分析? （1）根據(jù)題設(shè)條件，由過定點的直線所對應(yīng)的傾斜角直接確定對應(yīng)直線的參數(shù)方程；結(jié)合圓的極坐標方程的等價轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，通過轉(zhuǎn)化公式來確定圓C的直角坐標方程；（2）通過對應(yīng)點的參數(shù)的設(shè)置，將直線l的參數(shù)方程代入相應(yīng)圓C的方程中去，消參得到相應(yīng)的二次方程，結(jié)合參數(shù)的幾何意義來綜合與應(yīng)用，實現(xiàn)問題的解決．

解? （1）依題可得直線l的參數(shù)方程為

x=－1+tcosαy=－33+tsinα（t為參數(shù)，0≤α<π）.

由圓C：ρ=4cosθ，

可得ρ2=4ρcosθ，

利用公式ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，

所以x2+y2=4x，

即（x－2）2+y2=4，

可得圓C的直角坐標方程為（x－2）2+y2=4；

（2）設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為tA，tB，

將直線l的參數(shù)方程中相關(guān)的坐標參數(shù)代入圓C的直角坐標方程中，

并化簡整理可得t2－6t（3sinα+cosα）+32=0，

判別式Δ=363sinα+cosα2－4×32>0①，

所以tA+tB=6（3sinα+cosα）=12sin（α+π6），

tAtB=32，

又A為MB的中點，

所以tB=2tA，

代入tA+tB=12sinα+π6

有tA=4sinα+π6，

可得tAtB=2tA2=32sin2α+π6=32，

即sin2α+π6=1，

因為0≤α<π，

所以π6≤α+π6<7π6，

從而α+π6=π2，

解得α=π3，

又α=π3滿足①式，所以所求α=π3．

點評? 涉及參數(shù)的幾何意義的構(gòu)建與應(yīng)用，往往是考查中的一個重點與難點．抓住直線、圓錐曲線中參數(shù)方程所對應(yīng)的參數(shù)的幾何意義，可以使相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題得以快速解決．

結(jié)語

“坐標系與參數(shù)方程”模塊的考查，主要考查的是極坐標方程坐標、參數(shù)以及直角坐標方程這三類方程之間的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，合理融入函數(shù)與方程、不等式、三角函數(shù)以及解析幾何等相關(guān)知識．試題難度中等，重在邏輯推理以及數(shù)學(xué)運算等方面核心素養(yǎng)的考查，以及對應(yīng)數(shù)學(xué)思想方法與技巧的應(yīng)用等．