張瑋萍

【摘要】在高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）教材中，證明題題型相對(duì)較多，是教材中最具有代表性的題型之一，也是解題難點(diǎn)之一.在求解這一類題型時(shí)，教師必須創(chuàng)新，教授學(xué)生多種解題方法，并確保學(xué)生能夠?qū)W以致用.本文以高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的證明題類型為基本背景，探討解題方法及其應(yīng)用的基本思路，并結(jié)合實(shí)際例題展開教學(xué)實(shí)踐應(yīng)用，豐富學(xué)生數(shù)學(xué)解題思維，提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力水平，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】證明題；高中數(shù)學(xué)；解題教學(xué)

高中數(shù)學(xué)解題方法的傳授旨在由教師培養(yǎng)學(xué)生縝密的邏輯思維，同時(shí)提高學(xué)生的理論推理論證能力與解題能力.特別是在證明題解題過程中，學(xué)生經(jīng)常面臨各種解題障礙，所以教師必須為學(xué)生明確證明題的解題流程，并為學(xué)生傳授不同解題方法，幫助學(xué)生順利求解證明題.

1? 高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中證明題的解題思路

高中數(shù)學(xué)證明題的關(guān)鍵在于題干和條件，然后就是推理方法以及書寫，這些都是學(xué)生在解決證明題時(shí)必須關(guān)注的焦點(diǎn)和必須掌握的能力.為此，下文將逐一展開論述.

1.1? 把握題干信息，提高解題準(zhǔn)確率

高中數(shù)學(xué)證明題所給出的信息量通常較大，所以容易在最開始就讓學(xué)生望而卻步，解題過程也就無從談起.為此，教師應(yīng)當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生正確梳理并總結(jié)歸納證明題題干中的關(guān)鍵信息，根據(jù)題干中所給出的條件與結(jié)論尋找新條件，以為結(jié)論成立奠定基礎(chǔ).所以，題干中的所有信息都為條件和結(jié)論服務(wù)，學(xué)生需要證明這些條件，并在已知條件基礎(chǔ)上再提出新解題思路，最后形成完整的解題流程.當(dāng)然，學(xué)生運(yùn)用逆向思維解題也是可行的，學(xué)生需要提取題干中有效信息，并且同時(shí)將某些無效或者干擾信息排除，這些對(duì)于求解證明題也是非常重要的，如此可以提高學(xué)生的證明題解題效率［1］.

1.2? 結(jié)合核心條件，選擇合理解題方法

學(xué)生在求解證明題過程中必須把握核心條件，選擇正確合理的解題方法.比如，學(xué)生可以從證明的結(jié)果方向分析題目，主要利用題目中的某些已知條件證明題目，爭(zhēng)取建立所有問題之間的聯(lián)系.在這里，順推或者逆推兩種解題方法都能使用，兩種解題方法必須做到相輔相成，圍繞問題題干核心條件解題，綜合分析題目中隱藏的某些未知條件.在高中數(shù)學(xué)的幾何證明題中，已知條件是平鋪直敘于題面之上的，如要證明“面面垂直”這一條件，教師要求學(xué)生能夠快速聯(lián)想到“線面垂直”或者“線線垂直”等多種復(fù)雜情況，然后通過正推或者逆推兩種方法解題.在整個(gè)解題過程中，學(xué)生要圍繞核心條件明確解題思路，操作解題方法，只有這樣才能完整分析條件，最終正確解題［2］.

1.3? 合理運(yùn)用推理解題方法，正確書寫解題過程

證明題的推理解題方法很多，其中歸納推理和類比推理方法都非常有用.歸納推理方法主要由點(diǎn)及面，是比較常用的推理解題方法.在歸納過程中，學(xué)生需要從局部出發(fā)，適當(dāng)轉(zhuǎn)化證明題內(nèi)已知條件，找出不同已知條件中的關(guān)聯(lián)，最后得出結(jié)論順利解題.類比推理方法則是一種特殊解題方法，它主要從不同但類似的已知條件出發(fā)解決問題，甚至還能衍生出類比演繹推理方法，在明確解題大前提、小前提基礎(chǔ)上完成推理解題過程.這里涉及證明題題目的具體情境，通過情境促進(jìn)學(xué)生理解題目?jī)?nèi)容，最后快速準(zhǔn)確得出結(jié)果.

當(dāng)然，學(xué)生也需要正確書寫解題過程，認(rèn)真分析、思考題目已知條件，并適當(dāng)加入空間想象求解問題.書寫完成證明題解題過程后，學(xué)生還需要認(rèn)真檢查解題過程，明確解題支撐結(jié)論，確保整個(gè)證明流程都準(zhǔn)確無誤.養(yǎng)成良好的書寫習(xí)慣，學(xué)生在面對(duì)多種類型證明題時(shí)都能做到游刃有余、輕車熟路［3］.

2? 高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中證明題的解題方法實(shí)踐應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師會(huì)向?qū)W生傳授多種解題方法，特別是針對(duì)某些證明題的求解過程，能夠使用的解題方法非常豐富.

2.1? 綜合法的證明題解題實(shí)踐應(yīng)用方法

證明題在高中數(shù)學(xué)中也屬于綜合題型，它所涉獵的知識(shí)內(nèi)容非常廣泛.在解題過程中，學(xué)生必須掌握大量知識(shí)，如此才能駕馭綜合法解決證明題.教師首先要指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用綜合法分析題目中所提供的已知條件，展開順向推理過程，最終推導(dǎo)得出結(jié)論，初步證明結(jié)論真實(shí)性.

例如? 在高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修一的“不等式”一課中，教師就給出如下例題：

如果x，y，z是3個(gè)完全不同的實(shí)數(shù)，則證明x4+y4+z4＞xyzx+y+z.

這一題目中，學(xué)生要運(yùn)用不等式基本定理來求解問題，結(jié)合上述不等式來分析不等式成立條件，即：因?yàn)閤2y2+y2z2≥2xy2z，所以最終證明題目中不等式成立.

在綜合法分析過程中，分別運(yùn)用了實(shí)數(shù)知識(shí)以及不等式定理知識(shí)，即通過各種知識(shí)來綜合分析得出證明題解題結(jié)論，幫助學(xué)生順利解題［4］.

2.2? 分析法的證明題解題實(shí)踐應(yīng)用方法

分析法也能夠助力學(xué)生解題，它屬于一種典型的逆證法，要求學(xué)生具有較強(qiáng)的邏輯思維能力.換言之，學(xué)生采用分析法應(yīng)該首先分析證明題題目中的關(guān)鍵條件與假設(shè)，初步證明結(jié)論正確.然后，再進(jìn)行推理保證結(jié)論充分成立且結(jié)果正確.學(xué)生所得出結(jié)論必然是某些已知定理.

例如? 已知b＞0，請(qǐng)證明b2+1b2－2≥b+1b－2.

在求解這一證明題時(shí)，教師需要首先為學(xué)生推理證明不等式：b2+1b2+22≥b+1b+22.

在推理這一不等式成立以后，則需要化簡(jiǎn)不等式，進(jìn)一步觀察得出以下不等式：b2+1b2≥2.如此就能證明上述不等式是成立的.

在運(yùn)用分析法解決不等式證明題過程中，教師需要為學(xué)生建立縝密的邏輯思維，幫助學(xué)生一步步思考并解決問題，最后形成閉環(huán)邏輯思維，學(xué)會(huì)運(yùn)用開放條件解題［5］.

2.3? 歸納法的證明題解題實(shí)踐應(yīng)用方法

歸納法在證明正整數(shù)n相關(guān)知識(shí)點(diǎn)證明題方面最為常用，該類證明題的解題流程往往是固定的，學(xué)生可以輕松掌握解題過程.就高中數(shù)學(xué)證明題解題實(shí)踐過程，教師會(huì)與學(xué)生共同采用歸納法解題，讓學(xué)生清晰意識(shí)并驗(yàn)證正整數(shù)n求解的全過程，構(gòu)建一套完整的推理模式.在推理過程中，學(xué)生還能準(zhǔn)確找到其中隱藏的遞進(jìn)推理關(guān)系，如此對(duì)于最終得出有價(jià)值結(jié)論幫助更大.

例如? 在求證（3n+1）×7n-1（n為正整數(shù)）這一式子能夠被9整除這一證明題時(shí)，教師為學(xué)生采用歸納法總結(jié)多種解題方案.首先假設(shè)n=1時(shí)，就能最終求解出（3×1+1）×7=27，27÷9=3.求解結(jié)果表示式子能夠被9整除，命題成立［6］.

其次假設(shè)n=k，則最終可以歸納假設(shè)（3k+1）×7k-1可以被9所整除，此時(shí)可進(jìn)一步推理出如果n=k+1時(shí)，該命題也是成立的.

歸納法求解證明題的好處在于師生可以考量并羅列不同條件，如此對(duì)于求解某些關(guān)鍵證明題隱藏條件更為有效，證明題的難度也會(huì)因此而降低，更有利于推動(dòng)學(xué)生解題過程，幫助學(xué)生形成良好的多元化解題思維，并讓學(xué)生懂得在日常學(xué)習(xí)過程中收集各種信息數(shù)據(jù)，做到學(xué)以致用［7］.

2.4? 函數(shù)法的證明題解題實(shí)踐應(yīng)用方法

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）中的重要知識(shí)內(nèi)容，應(yīng)用函數(shù)法就是利用函數(shù)知識(shí)求解數(shù)學(xué)問題，特別是在求解數(shù)學(xué)證明題方面，對(duì)于題目中隱藏的函數(shù)關(guān)系、概念、性質(zhì)、規(guī)律甚至是圖象解讀都非常深入，能夠做到對(duì)數(shù)學(xué)問題的有效轉(zhuǎn)化，最終得出證明題結(jié)論.為此，教師需要帶領(lǐng)學(xué)生認(rèn)真細(xì)致閱讀證明題題目信息，在這一過程中真正做到把握題干，進(jìn)而從中得出正確的函數(shù)關(guān)系.這就是應(yīng)用函數(shù)法的基本操作流程，學(xué)生能夠通過這一方法轉(zhuǎn)化原題題干部分，證明函數(shù)問題.

例如? 在證明函數(shù)最小值過程中，教師有必要將證明題目轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼夂瘮?shù)最小值的問題，并適當(dāng)給出假設(shè)，轉(zhuǎn)化形成二次函數(shù)結(jié)果，且保證二次函數(shù)的取值范圍在0～1之間，在取值范圍內(nèi)求解.教學(xué)中，教師也要為學(xué)生細(xì)致講解二次函數(shù)的基本性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合思想，最終求解得出函數(shù)最小值，順利完成證明題求解過程［8］.

2.5? 反證法的證明題解題實(shí)踐應(yīng)用方法

反證法求解數(shù)學(xué)證明題也是可行的.反證法不同于上述解題方法，它采用的是逆向思維，專門用于求解某些特殊證明題.反證法的解題過程相對(duì)復(fù)雜，操作難度較高，需要通過大量的問題假設(shè)推導(dǎo)結(jié)論.即推導(dǎo)某些已知條件之間相互重疊，如此才能間接證明結(jié)論最終能否成立.

例如? 如果0＜a＜1，0? b? 1，得到1-a＞0，要求利用不等式結(jié)論證明以下式子：1－a+b2≥1－ab＞14=12.

在這一題目中，需要將式子相加得到32＞32，這一結(jié)果是矛盾的，所以能夠證明原命題成立［9］.

3? 結(jié)語

在高中數(shù)學(xué)各種題型中，證明題題型比較常見，但是其求解過程可以相當(dāng)多樣，如此才能克服證明題求解難度較高這一現(xiàn)實(shí)困境.本文中圍繞證明題提出不同數(shù)學(xué)解題思路方法，其目的就是要求教師幫助學(xué)生穩(wěn)固夯實(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ).在日常解題學(xué)習(xí)過程中深入學(xué)習(xí)各種解題思路與方法，確保在證明題求解過程中能夠?qū)W以致用，靈活自由求解證明題題目，如綜合法、歸納法、反證法等，它們的解題流程思路不同，但都能合理解決數(shù)學(xué)證明題，這對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平的提高大有幫助，值得在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中廣泛推廣應(yīng)用.

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