摘 要：文章以2022年高考數(shù)學(xué)甲卷為例，首先對試卷特點(diǎn)進(jìn)行闡述，然后對試卷進(jìn)行分類評析，最后思考如何進(jìn)行備考與教學(xué)，以期高考復(fù)習(xí)盡可能高效且精準(zhǔn).

關(guān)鍵詞：全國甲卷；試題評析；復(fù)習(xí)備考；教學(xué)思考

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1008-0333（2024）04-0072-05

高考是高中教育教學(xué)工作中十分重要的環(huán)節(jié)，是檢驗(yàn)教育教學(xué)成果的重要手段.高考試題的命制受多種內(nèi)在與外在因素的影響.對高考試卷進(jìn)行系統(tǒng)分析研究， 可以充分把握試題的本質(zhì)、認(rèn)識試題的情景、理解試題的設(shè)問、拓寬試題的解法、加強(qiáng)試題的拓展， 同時(shí)

還可以領(lǐng)悟高考命題動(dòng)向， 把握命題規(guī)律， 從而減少復(fù)習(xí)的盲目性、隨意性，使高考復(fù)習(xí)更加具有針對性.

1 試卷的特點(diǎn)

2022年高考數(shù)學(xué)甲卷的命題堅(jiān)持以習(xí)近平新時(shí)代中國特色社會主義思想為指導(dǎo)，貫徹黨的教育方針，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，充分發(fā)揮高考命題的育人功能和積極導(dǎo)向作用，構(gòu)建引導(dǎo)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展的考試內(nèi)容體系.依據(jù)高校人才選拔要求和國家課程標(biāo)準(zhǔn)，加強(qiáng)對關(guān)鍵能力和學(xué)科素養(yǎng)的考查，減少死記硬背和“機(jī)械刷題”；突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，重視數(shù)學(xué)思維，堅(jiān)持素養(yǎng)導(dǎo)向與能力立意的命題原則；倡導(dǎo)理論與實(shí)際聯(lián)系，學(xué)以致用，體現(xiàn)高考數(shù)學(xué)的科學(xué)選拔功能和育人導(dǎo)向作用.

試卷整體過渡平穩(wěn)且勇于創(chuàng)新.試卷穩(wěn)步推進(jìn)改革，科學(xué)把握數(shù)學(xué)題型的開放性與數(shù)學(xué)思維的開放性，全面體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用型以及創(chuàng)新性的考查要求.從試卷的結(jié)構(gòu)來看，繼續(xù)延續(xù)了近年來的模式；從試卷的難度來看，簡單題注重基礎(chǔ)知識的考查，中檔題注重知識的運(yùn)用，難題則注重方法技巧的掌握.

2 試卷分類評析

從考查的知識來看，考查的知識點(diǎn)與往年比無太大變化，例如解答題部分仍考查的是數(shù)列、概率與統(tǒng)計(jì)、立體幾何、解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，選考部分仍是極坐標(biāo)與參數(shù)方程、不等式選講等六個(gè)板塊，圓錐曲線與導(dǎo)函數(shù)仍然是最難的，具體分析如下.

2.1 文理難度區(qū)分，展現(xiàn)人文關(guān)懷

2022年高考數(shù)學(xué)甲卷無論是文科還是理科試卷都具有入手較為容易、入口較寬的特點(diǎn)，第1至6題考查的是數(shù)學(xué)的基本定義和基本運(yùn)算，只需基本的數(shù)學(xué)知識與方法就能完成作答.其中理科第1題、第3題和文科的第1題、第3題位置相反，且理科較文科運(yùn)算量大；試卷通過改變知識點(diǎn)的考查以及減少運(yùn)算量等方式有意識地區(qū)別考查難度.

評注 例1與例2皆是基于函數(shù)f（x）=sin（ωx+π/3）所設(shè)置的問題，但文科第5題明顯比理科第11題無論是思維量還是運(yùn)算量上都要少許多.除此之外文理科的第12題的比大小、第13題的平面向量，第14題的圓錐曲線等都有考查知識點(diǎn)相同但明顯有難度的區(qū)分，目前全國僅甲乙兩卷還有文理科的試卷區(qū)分，從以上客觀題可以充分體現(xiàn)出高考數(shù)學(xué)命題者對高考文理科考生的人文關(guān)懷.

2.2 設(shè)置真實(shí)情境，滿足樹人要求

“立德樹人，五育并舉”是中共中央、國務(wù)院印發(fā)《關(guān)于深化教育教學(xué)改革全面提高義務(wù)教育質(zhì)量的意見》中的重要內(nèi)容，也是對解決“為誰培養(yǎng)人，培養(yǎng)什么人，怎樣培養(yǎng)人”問題最堅(jiān)定有力的回答.試題設(shè)置真實(shí)情境，命制具有教育意義的試題，發(fā)揮數(shù)學(xué)考試的教育功能和引導(dǎo)作用.

例3 （文科第19題）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖1所示：底面ABCD是邊長為8（單位：cm）的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均為正三角形，且它們所在的平面都與平面ABCD垂直.

（1）證明：EF∥平面ABCD；

（2）求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）.

評注 例3不再像以往為了考查立體幾何知識而設(shè)置考題，而是加入了具體的現(xiàn)實(shí)生活背景.包裝盒在日常生活中隨處可見，精美的包裝比比皆是，但并不是每一個(gè)人都會留意其內(nèi)涵.正是例3中“△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均為正三角形，且它們所在的平面都與平面ABCD垂直”這些特殊的圖形與位置方才構(gòu)建出如圖1所示的幾何之美.這是美育的滲透，引導(dǎo)考生善于用發(fā)現(xiàn)的眼光去發(fā)掘生活中的數(shù)學(xué).

2.3 弘揚(yáng)優(yōu)秀文化，發(fā)揮育人功能

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課標(biāo)》）指出，數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語言、方法、觀點(diǎn)，以及它們的形成和發(fā)展；還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義，以及與數(shù)學(xué)文化的人文活動(dòng)[1].《課標(biāo)》強(qiáng)調(diào)要將數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中.通過在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，認(rèn)識數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)和人類社會發(fā)展中所起的重要作用，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識和感悟數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，樹立文化自信、提升人文素養(yǎng)以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

例4 （理科第8題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖2，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，D在AB上，CD⊥AB.“會圓術(shù)”給出AB的弧長的近似值s的計(jì)算公式：s=AB+CD2/OA.當(dāng)OA=2，∠AOB=60°時(shí)，s=（）.

評注 沈括的《夢溪筆談》是我國歷史上重要的數(shù)學(xué)著作之一，英國科學(xué)史家李約瑟評價(jià)為“中國科學(xué)史上的里程碑”.絕大多數(shù)考生都知道“割圓術(shù)”，但對于“會圓術(shù)”卻少有知曉.其實(shí)無論是《夢溪筆談》還是《算經(jīng)十書》，不僅是當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)成就的體現(xiàn)，還深深地融入我們的生活之中，例4簡明扼要，應(yīng)用方便，代入計(jì)算即可得到弧長s的近似值，具有實(shí)際可操作性.

2.4 堅(jiān)持適度開放，重視能力培養(yǎng)

結(jié)論開放型試題也稱結(jié)構(gòu)不良試題，與結(jié)構(gòu)良好的試題相比，其條件不再是不多不少，需要解決的問題目標(biāo)不再是明確的，因此其沒有固定的思路和解法.結(jié)構(gòu)不良問題初始狀態(tài)、目標(biāo)狀態(tài)、中間狀態(tài)至少有一個(gè)不確定，有利于引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中，根據(jù)具體情境，從多個(gè)角度分析，考慮多個(gè)可能，尋找不同路徑，提出多種解決方法，以考查學(xué)生思維的系統(tǒng)性、靈活性、深刻性、創(chuàng)造性 [2].

2.6 聚焦學(xué)科本質(zhì)，關(guān)注思維考查

《課標(biāo)》指出：高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)定義、法則、結(jié)論的發(fā)生、發(fā)展過程和本質(zhì).在試題中對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維進(jìn)行考查，有利于檢驗(yàn)學(xué)生的觀察能力與分析能力；同時(shí)數(shù)學(xué)思維作為影響學(xué)生學(xué)習(xí)成果的潛在因素，無論是在學(xué)生的日常知識學(xué)習(xí)中，還是對身邊事物的感知上，都具有一定的影響.

例9 （理科第20題）設(shè)拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)D（p，0），過F的直線交C于M，N兩點(diǎn).當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，MF=3.

（1）求C的方程； （2）設(shè)直線MD，ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線MN，AB的傾斜角分別為α，β.當(dāng)α-β取得最大值時(shí)，求直線AB的方程.

評注 例9的解答過程大致為：先設(shè)點(diǎn)M，N，A，B的坐標(biāo)以及直線MN的方程為x=my+1，后由韋達(dá)定理及斜率公式得到kMN=2kAB，再由差角的正切公式及基本不等式得到kAB=2/2，即設(shè)直線AB的方程為x=2y+n，最后結(jié)合韋達(dá)定理可解.由此可見，例10考查了圓錐曲線、三角函數(shù)與不等式三個(gè)板塊的知識，這就需要考生在復(fù)雜的直線與拋物線位置關(guān)系中選取合適且合理的視角與方法.

3 備考與教學(xué)思考

3.1 研讀課標(biāo)意見，強(qiáng)化主干知識

2019年國務(wù)院辦公廳印發(fā)《關(guān)于新時(shí)代推進(jìn)普通高中育人方式改革的指導(dǎo)意見》要求，各省（區(qū)、市）要結(jié)合推進(jìn)高考綜合改革，制定普通高中新課程實(shí)施方案，2022年前全面實(shí)施新課程、使用新教材.學(xué)業(yè)水平選擇性考試與高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試命題，要以普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)和高校人才選拔要求為依據(jù)，實(shí)施普通高中新課程的省份不再制定考試大綱.

從表1統(tǒng)計(jì)情況來看，2022年高考數(shù)學(xué)全國甲卷試題對于《課標(biāo)》中的主干知識是考查的重點(diǎn)，因此，認(rèn)真研讀《課標(biāo)》具有必要性，尤其是對于課標(biāo)中的“冷門”點(diǎn)，如直線的法向量、正態(tài)分布、極差、標(biāo)準(zhǔn)差、向量的投影、方位角等.同時(shí)，認(rèn)真研讀《課標(biāo)》對高考中各知識點(diǎn)的難度要求也可以有一個(gè)準(zhǔn)確的認(rèn)識，從而在復(fù)習(xí)中既可以避免遺漏一些重要考點(diǎn)，

也避免做無用功.

3.2 關(guān)注思維邏輯，培養(yǎng)應(yīng)用能力

2022年新高考全國Ⅰ卷被眾多考生稱為“史上最難”，數(shù)學(xué)試題是真的變難了嗎？其實(shí)不然，2022年的高考數(shù)學(xué)試題較以往更加優(yōu)化試題的呈現(xiàn)方式，以及加強(qiáng)對關(guān)鍵能力和學(xué)科素養(yǎng)的考查.從高考考試要求來看，高考數(shù)學(xué)的學(xué)科素養(yǎng)包括理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探索和數(shù)學(xué)文化，2022年還提出了主要考查邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)建模能力和創(chuàng)新能力這五個(gè)方面.顯然，通過死記硬背和“機(jī)械刷題”獲得高分的考生是缺乏素養(yǎng)與能力的.例如：2022年新高考全國Ⅰ卷第8題為外接球加最值問題的組合，考生若僅會套用外接球模型是不能求出正四棱錐體積取值范圍的；全國乙卷第9題，考生若是沒有較強(qiáng)的空間想象能力和分析問題能力，很難將問題轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)的最值問題，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求解；甲卷理科第10題，采用設(shè)點(diǎn)的方式求解，其運(yùn)算過程是復(fù)雜的，但若是將點(diǎn)P與橢圓右端點(diǎn)相連接，根據(jù)對稱性并借助橢圓第三定義即可快速求解.

3.3 教學(xué)返璞歸真，備考回歸本質(zhì)

數(shù)學(xué)知識是樸實(shí)的，其認(rèn)識過程是真實(shí)的.高度的抽象性、邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性以及應(yīng)用的廣泛性是數(shù)學(xué)的三個(gè)最基本特征；統(tǒng)一性和簡單性是抽象性的自然結(jié)果；精確性和確定性是數(shù)學(xué)邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性的具體表現(xiàn)；而數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)則是落實(shí)育人目標(biāo)的數(shù)學(xué)育人方式.隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展，各種方便快捷的電子課件、白板的廣泛使用，對傳統(tǒng)課堂的板書內(nèi)容大有取代之勢.教師的板書越來越少，更有甚者還出現(xiàn)“零板書”的現(xiàn)象.板書作為輔助教學(xué)的一種基本手段，它既是對知識的再加工，又是對教學(xué)藝術(shù)的再創(chuàng)造，同時(shí)還是對教學(xué)過程以及邏輯關(guān)系的再現(xiàn)，因此，教學(xué)需要規(guī)范的返璞歸真的板書，拒絕虛假熱鬧.除此以外，主干知識的教學(xué)與備考也應(yīng)該回歸本質(zhì)，只有明白知識的發(fā)生過程與認(rèn)識路徑，才能在面對問題時(shí)快速探尋其本質(zhì)，例如： 2022年全國甲卷理科第20題，根據(jù)題干已知條件以及直線MD，ND與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)A與點(diǎn)B作出示意圖后可以得出其命題背景為二次曲線中的蝴蝶定理；2022年全國乙卷理科第20題，根據(jù)直線PA、直線PB皆與橢圓E相切，可以得出點(diǎn)P與直線AB為橢圓E的一對極點(diǎn)和極線.

4 結(jié)束語

高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是建立在扎實(shí)的基礎(chǔ)知識上的，備考亦是如此.高考數(shù)學(xué)試題中定然不會出現(xiàn)“怪題”與“偏題”，所有試題皆是基于必備知識的，因此，應(yīng)當(dāng)注重對基本概念、定理和公式的理解和掌握，避免過于追求題目的難度，而忽視基礎(chǔ)知識的鞏固.在備考階段，只有系統(tǒng)地復(fù)習(xí)了基礎(chǔ)知識，重點(diǎn)關(guān)注了課本中的重要知識點(diǎn)、定理和公式的由來以及它們之間的聯(lián)系，通過反復(fù)的練習(xí)和總結(jié)，鞏固基礎(chǔ)知識的掌握程度，才能真正做到以不變應(yīng)萬變.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2020年修訂版）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2] 孫玉慶，張景斌.高考數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)不良問題的分析與啟示 [J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2023，62 （04）： 10-16，28.

［責(zé)任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-11-05

作者簡介：王昌林（1995.6-），男，四川省綿陽人，本科，中學(xué)二級教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項(xiàng)目：2022年內(nèi)江師范學(xué)院教改課題“數(shù)學(xué)推廣的理論與實(shí)踐研究”（項(xiàng)目編號：JG202212）