曾瑩

摘 要：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)涵蓋了數(shù)學(xué)知識、思維技能和數(shù)學(xué)應(yīng)用等多個方面，其中高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析。通過“誤中悟”教學(xué)方式，高中生需要在解決問題時進(jìn)行推理和邏輯思考，從中尋找正確的答案，這有助于培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維。筆者基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)大框架，以《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》單元中的“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”相關(guān)知識點(diǎn)教學(xué)為研究對象，從六個不同的維度入手，深入探究“誤中悟”教學(xué)法與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育工作的融合路徑，以期提升高中生數(shù)學(xué)思維能力，以及解決問題的能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；誤中悟；導(dǎo)數(shù)

數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域內(nèi)，提升高中生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)一直是一項重要的目標(biāo)。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不僅僅包括掌握數(shù)學(xué)概念和技能，還包括數(shù)學(xué)思考、建模、問題解決、溝通和數(shù)學(xué)實踐等多個維度的能力。為實現(xiàn)這一目標(biāo)，教育專家以及相關(guān)研究學(xué)者一直在尋求創(chuàng)新的教學(xué)方法，以激發(fā)高中生對數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維和實際運(yùn)用能力。其中，“誤中悟”教學(xué)法已經(jīng)引起了廣泛的關(guān)注，該教學(xué)法的獨(dú)特性在于它能夠激發(fā)高中生的好奇心，提升他們的數(shù)學(xué)溝通和合作技能，為高中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以及未來的數(shù)學(xué)應(yīng)用打下堅實的基礎(chǔ)。

一、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下“誤中悟”教學(xué)方法的優(yōu)勢

“誤中悟”教學(xué)方法在培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)方面具有多重優(yōu)勢，這些優(yōu)勢不僅有助于高中生更好地理解數(shù)學(xué)，還提升了他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)[1]。首先，“誤中悟”教學(xué)法鼓勵學(xué)生嘗試多種方法來解決問題，包括那些可能看似錯誤的方法。這種實驗性的學(xué)習(xí)過程培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，使他們更具靈活性和創(chuàng)造性，能夠從不同的角度思考問題并找到多種解決方法。其次，通過“誤中悟”教學(xué)法，學(xué)生在解決問題時需要不斷調(diào)整和改進(jìn)他們的方法。這促使他們培養(yǎng)了解決問題的能力，包括問題分析、策略選擇和持之以恒的決心。最后，“誤中悟”教學(xué)法將數(shù)學(xué)教育與實際問題相結(jié)合，使學(xué)生深入了解數(shù)學(xué)在不同領(lǐng)域的實際應(yīng)用。這有助于培養(yǎng)高中生的數(shù)學(xué)實踐技能，為未來的職業(yè)生涯做好準(zhǔn)備。

二、“誤中悟”教學(xué)實踐策略

（一）創(chuàng)設(shè)問題情境

實際開展高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中，教師基于以下三個步驟，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個能夠發(fā)散思維，且較為開放的問題情境，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣。

1.選定適當(dāng)?shù)膯栴}情境

數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中，首要任務(wù)之一是選定適當(dāng)?shù)膯栴}情境，通過這種方式激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣并培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維。問題情境的選擇需要經(jīng)過精心策劃，要既富挑戰(zhàn)性，又不至于太復(fù)雜，以確保高中生能夠理解和探索。同時，問題情境應(yīng)該與課程內(nèi)容相關(guān)，以確保學(xué)生在解決問題的過程中，能夠應(yīng)用他們在課堂上學(xué)到的數(shù)學(xué)知識與技能。問題情境也可以直接聯(lián)系到現(xiàn)實生活中的問題領(lǐng)域，如金融、科學(xué)或社會領(lǐng)域的問題，使學(xué)生看到數(shù)學(xué)在解決實際問題中的應(yīng)用，激發(fā)他們的好奇心以及探索欲望。選定適當(dāng)?shù)膯栴}情境需要考慮學(xué)生的年齡和數(shù)學(xué)水平，以確保問題的復(fù)雜度與學(xué)生的能力相匹配。具體實踐中，教師可以根據(jù)學(xué)生的興趣和能力水平來微調(diào)問題情境，以確保每位學(xué)生都能在適合他們水平的挑戰(zhàn)性任務(wù)中獲得成就感。

2.創(chuàng)設(shè)情境

一旦選定了問題情境，教師需要巧妙地創(chuàng)設(shè)這個問題情境，以吸引學(xué)生的注意力并激發(fā)他們的興趣。這可以通過引人入勝的故事、案例研究或視頻來實現(xiàn)。例如，如果問題情境涉及金融領(lǐng)域，教師可以分享一個關(guān)于投資策略成功或失敗的真實故事，引發(fā)學(xué)生對如何有效管理金融資產(chǎn)的思考。教師還可以使用圖表、實際數(shù)據(jù)來創(chuàng)設(shè)問題，使學(xué)生直觀地了解問題的背景和復(fù)雜性。這種創(chuàng)設(shè)問題情境的方法，有助于學(xué)生理解問題的重要性和現(xiàn)實意義，激發(fā)他們主動嘗試解決問題的動力。在創(chuàng)設(shè)問題情境時，教師還可以提出一些開放性的問題或思考導(dǎo)向，以引導(dǎo)學(xué)生思考并激發(fā)他們對問題的好奇心。通過這種方式營造一個積極的學(xué)習(xí)氛圍，鼓勵學(xué)生積極參與問題的探索和解決。

3.提供初始資源

為高中生提供一些基本的數(shù)學(xué)資源，如必要的公式、數(shù)據(jù)、圖表等，以幫助他們?nèi)腴T。這些資源能引領(lǐng)學(xué)生開始思考問題，但不提供完整的解決方案，讓學(xué)生通過獨(dú)立的思考與探索，掌握數(shù)學(xué)知識。

例如，在學(xué)習(xí)《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》單元中的“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”相關(guān)知識時，筆者通過提出問題的方式，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境：

問題1：同學(xué)們，請你們回憶一下在初中階段，有沒有接觸過“切線”這一概念？

問題2：當(dāng)一條直線與圓相切，則它們只有一個交點(diǎn)。那么，現(xiàn)在請同學(xué)們再思考一個問題“當(dāng)一條直線與曲線相切的時候，是不是也只有一個切點(diǎn)呢？”

教師通過提問的方式，引導(dǎo)學(xué)生回顧初中所學(xué)的知識點(diǎn)，通過這種方式點(diǎn)明“切線只有一個切點(diǎn)”這種思維定勢。為打破這一思維定勢，教師可以設(shè)計一道較為簡單的因式分解題例題：過原點(diǎn)O（0，0）作曲線f（x）=x3-4x2+4x的切線，求切線方程。

（二）鼓勵學(xué)生質(zhì)疑

質(zhì)疑是激發(fā)學(xué)生思考的關(guān)鍵，實際教學(xué)活動中，教師提出的一系列有針對性的問題，能夠幫助學(xué)生探索問題的不同方面。這些問題包括：

“你認(rèn)為如何解決這個問題？”

“有沒有其他方法可以解決它？”

“你能解釋為什么這個答案是正確的嗎？”

“這個問題如何與我們之前學(xué)過的數(shù)學(xué)概念相關(guān)聯(lián)？”

“這個問題是否有實際應(yīng)用？”

在提出疑問的同時，教師也要鼓勵學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立思考，并在思考的過程中提出他們自己的質(zhì)疑[2]。確保學(xué)生知道他們的思考是有益的，無論是正確還是錯誤的思路，都能夠提升自身的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)，這有助于培養(yǎng)學(xué)生的自信心以及探究精神。

例如，根據(jù)給出的因式分解例題，筆者帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行質(zhì)疑。

問題3：同學(xué)們，請你們說出原點(diǎn)O（0，0）與曲線f（x）=x3-4x2+4x的位置關(guān)系，并思考你們是如何判斷原點(diǎn)與曲線位置關(guān)系的？

學(xué)生帶著問題，重新審視教師給出的例題，發(fā)現(xiàn)將橫坐標(biāo)x=0代入曲線，觀察到原點(diǎn)O（0，0）在曲線上。在定勢思維的影響下，一些高中生會認(rèn)為切點(diǎn)即原點(diǎn)。

當(dāng)高中生說出這一觀點(diǎn)之后，筆者再拋出第四個問題。

問題4：這道題中，切線一共有多少條？

隨著該問題的提出，一些學(xué)生會立刻意識到自己陷入了思維定勢，重新審視題目，發(fā)現(xiàn)自己的錯誤“由于切點(diǎn)剛好處于曲線上，所以就自然而然地認(rèn)為切線只有一條?！苯?jīng)過反復(fù)思考，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)切線不止一條。通過質(zhì)疑審問，學(xué)生的思維得到了發(fā)散，頭腦中的定勢思維被打破。

（三）勇于試誤

錯誤是正確的先導(dǎo)，是試金石。在試誤階段，教師激勵學(xué)生主動踏入數(shù)學(xué)問題的探險之旅。該過程是一個富有創(chuàng)造性和啟發(fā)性的階段，學(xué)生將自己置于問題的核心，以發(fā)現(xiàn)解決之道。學(xué)生可以運(yùn)用個別探究或小組合作的方式，嘗試解決數(shù)學(xué)問題。解題過程中的錯誤不僅不被視為失敗，反而成為一種寶貴的經(jīng)驗，引領(lǐng)學(xué)生走向正確的方向。

在此過程中，學(xué)生積極調(diào)整解題策略，通過反復(fù)試錯來逐漸明了問題的特殊規(guī)律。他們將發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)并非一成不變的公式，而是一個活躍的領(lǐng)域，充滿了發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新的機(jī)會。這個階段鼓勵學(xué)生相互合作，不僅鼓勵了彼此之間的信息交流，還培養(yǎng)了團(tuán)隊合作和溝通能力。通過共同探討問題，學(xué)生相互學(xué)習(xí)，并逐漸形成更廣泛的思考方式。

例如，在完成質(zhì)疑環(huán)節(jié)之后，筆者利用作圖軟件，以動畫演示的方式，讓學(xué)生直觀地感受數(shù)學(xué)中“在”與“過”之間的差別。筆者先提出問題，然后使用GeoGebra軟件進(jìn)行演示。

問題5：同學(xué)們，在該問題中，曲線f（x）=x3-4x2+4x的究竟有幾條切線呢，現(xiàn)在讓我們利用軟件來觀察一下。

啟動軟件之后，筆者輸入曲線f（x）=x3-4x2+4x的，以原點(diǎn)O（0，0）作為切點(diǎn)，作出切線。此時，學(xué)生通過觀察，發(fā)現(xiàn)此條切線與曲線f（x）=x3-4x2+4x還存在另一個交點(diǎn)。由此可以證明，曲線與直線相切時，交點(diǎn)并不是唯一的，這一結(jié)論是對初中階段“切線”概念的補(bǔ)充與延伸，令高中生意識到“曲線”與“圓”的本質(zhì)區(qū)別。

在此基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)教師還可以讓高中生獨(dú)立操作軟件，移動過原點(diǎn)O（0，0）的直線BO，發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線BO經(jīng)過點(diǎn)C后，直線與曲線相切，此時的切點(diǎn)不再是原點(diǎn)O（0，0）。在教師的引導(dǎo)下，高中生們將該點(diǎn)標(biāo)記為（2，0）。

（四）啟迪參悟

“誤中悟”教學(xué)法將錯誤視作學(xué)習(xí)的重要組成部分，這意味著教師要打破傳統(tǒng)的錯誤批判觀念，不對學(xué)生的錯誤進(jìn)行過度批評或糾正，而是鼓勵他們深刻地反思錯誤的原因，并勇敢地嘗試新的解決方法。通過這個過程，學(xué)生能夠逐漸領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)問題中隱藏的規(guī)律和內(nèi)在邏輯。實際教學(xué)過程中，教師要鼓勵高中生相互合作，共同探討問題，分享他們的思考過程、面臨的挑戰(zhàn)以及發(fā)現(xiàn)的規(guī)律[3]。這不僅有助于建立積極的學(xué)習(xí)社區(qū)，還激發(fā)了學(xué)生之間相互交流和學(xué)習(xí)的熱情。此外，教師在這一過程中可以擔(dān)任引導(dǎo)者的角色，鼓勵學(xué)生提出更深入的問題，進(jìn)一步提高他們的思維深度。

在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“啟迪參悟”，這是“誤中悟”教學(xué)法的核心環(huán)節(jié)，當(dāng)學(xué)生通過反復(fù)嘗試并積累了足夠的錯誤經(jīng)驗后，他們逐漸能夠明確識別出問題中的規(guī)律，參透關(guān)鍵要點(diǎn)。這標(biāo)志著學(xué)生對數(shù)學(xué)問題形成了更為深刻的理解。在這一階段，教師的作用不是提供答案，而是引導(dǎo)學(xué)生思考和總結(jié)，幫助他們發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)和規(guī)律。通過提出更深入的問題，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考，或者鼓勵其與其他同學(xué)分享他們的參悟經(jīng)驗來實現(xiàn)。

通過允許錯誤，鼓勵合作與分享，以及引導(dǎo)“啟迪參悟”，幫助學(xué)生建立深刻的數(shù)學(xué)理解，培養(yǎng)他們的批判性思維和解決問題的能力。這不僅提高了數(shù)學(xué)的吸引力，也培養(yǎng)了學(xué)生的獨(dú)立思考和團(tuán)隊合作技能，為他們未來學(xué)業(yè)和職業(yè)的成功奠定了堅實的基礎(chǔ)。

例如，學(xué)生通過實際操作，發(fā)現(xiàn)能夠滿足題目的切線有兩條。此時，筆者繼續(xù)提出問題。

問題6：如果切點(diǎn)無法確定，我們將如何構(gòu)建切線方程？

該問題的提出，標(biāo)志著正式進(jìn)入頓悟環(huán)節(jié)，筆者通過板書的形式，對原函數(shù)逐步求導(dǎo)，并最終得到切線方程。

（五）溫悟遷移

在“誤中悟”教學(xué)法的溫悟遷移階段，教師扮演著引導(dǎo)者的角色，提供一系列的數(shù)學(xué)問題，激發(fā)學(xué)生自發(fā)地探索解決方法。在這個過程中，犯錯是難免的，但教師的職責(zé)在于鼓勵他們從錯誤中反思，深入理解問題的實質(zhì)，逐步掌握數(shù)學(xué)原理。

一旦學(xué)生在溫悟階段掌握了基本數(shù)學(xué)原理，接下來就要開始進(jìn)行變式訓(xùn)練，通過這種方式拓展數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用環(huán)境，并加深學(xué)生對于該知識點(diǎn)的理解。在這一階段，教師會提供更為復(fù)雜的問題和變式，鼓勵學(xué)生運(yùn)用已學(xué)的原理，尋找新的解決途徑[4]。雖然在這個過程中，學(xué)生可能會遭遇更多的錯誤，但這是正常的成長過程。通過不斷地犯錯，他們能夠調(diào)整和完善自己的思考方式，同時也更深刻地理解數(shù)學(xué)原理在各個應(yīng)用領(lǐng)域的實際價值。

而在鞏固提升階段，學(xué)生已經(jīng)積累了豐富的數(shù)學(xué)經(jīng)驗和深刻的理解。這個階段，教師的任務(wù)是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步挖掘數(shù)學(xué)的深層次理解。通過鼓勵學(xué)生提出更加深入的問題、進(jìn)行課堂討論、展示數(shù)學(xué)原理在多個應(yīng)用領(lǐng)域的實際運(yùn)用，甚至與同學(xué)分享自己的頓悟經(jīng)驗，鞏固他們對數(shù)學(xué)知識的掌握，并激發(fā)他們在數(shù)學(xué)領(lǐng)域不斷進(jìn)取的動力。通過一系列的階段性教學(xué)，學(xué)生將會在“誤中悟”的教學(xué)法下，培養(yǎng)出更為扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和更高層次的數(shù)學(xué)思維能力。

例如，學(xué)生通過上面的學(xué)習(xí)，已經(jīng)求出的切線方程。此時，筆者選擇更進(jìn)一步，對原題進(jìn)行變化，針對該知識點(diǎn)進(jìn)行鞏固提升。

問題7：同學(xué)們，現(xiàn)在我們改變這個例題，求曲線方程f（x）=x3-4x2+4x在原點(diǎn)O（0，0）處的切線方程。

該變式對于原題的改變較小，難度較低，可以讓絕大部分高中生獨(dú)立完成，通過該變式，讓高中生在解題過程中體會“過某點(diǎn)”與“在某點(diǎn)處”之間的區(qū)別。

（六）反思悟道

教師與學(xué)生一起回顧他們在探索過程中遇到的問題、錯誤和突破，鼓勵他們分享自己的觀點(diǎn)和解決策略。這將有助于學(xué)生相互學(xué)習(xí)，并從彼此的經(jīng)驗中獲得啟發(fā)，同時也加深了對問題的理解。拓展探究的目的是進(jìn)一步拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，培養(yǎng)他們的自主學(xué)習(xí)和探究能力[5]。在這個階段，教師可以通過提供挑戰(zhàn)性項目，鼓勵學(xué)生獨(dú)立探索或者進(jìn)行合作探究，跨學(xué)科地展示數(shù)學(xué)在實際生活中的應(yīng)用。

結(jié)束語

“誤中悟”教學(xué)法，作為一項指向核心素養(yǎng)的教學(xué)實踐研究，為數(shù)學(xué)教育帶來了深遠(yuǎn)的影響?！罢`中悟”教學(xué)法的成功實踐，證明了數(shù)學(xué)教育可以更具深度和廣度。它鼓勵學(xué)生超越傳統(tǒng)的記憶和應(yīng)試教育，真正理解數(shù)學(xué)的核心概念，培養(yǎng)了高中生解決問題的能力，并為未來的學(xué)術(shù)和職業(yè)發(fā)展奠定了堅實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。這一研究對塑造具備數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的學(xué)生、培養(yǎng)未來數(shù)學(xué)領(lǐng)域的領(lǐng)袖具有重要意義。期待著更多的教師和學(xué)生在這一教學(xué)法的指導(dǎo)下，共同探索數(shù)學(xué)的奧秘，推動數(shù)學(xué)教育的進(jìn)一步創(chuàng)新。

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