摘 要：

大型異步電機(jī)的電磁振動(dòng)是電機(jī)振動(dòng)的主要構(gòu)成部分，對(duì)電機(jī)振動(dòng)等級(jí)的評(píng)估需要進(jìn)行準(zhǔn)確的電磁振動(dòng)分析，本文以一臺(tái)10 kV兆瓦級(jí)大型異步電機(jī)為對(duì)象進(jìn)行電磁振動(dòng)分析。首先對(duì)完整的電機(jī)模型進(jìn)行模態(tài)分析，求解固有頻率及對(duì)應(yīng)振型，并實(shí)驗(yàn)測(cè)量了電機(jī)實(shí)際運(yùn)行時(shí)的固有頻率；然后將電磁場(chǎng)二維有限元計(jì)算得到的徑向電磁力作為載荷，對(duì)該電機(jī)進(jìn)行諧響應(yīng)分析，最后與實(shí)驗(yàn)測(cè)得的振動(dòng)速率對(duì)比。結(jié)果表明，基于電機(jī)整機(jī)模型的模態(tài)分析和諧響應(yīng)分析可以較為準(zhǔn)確地分析大型異步電機(jī)電磁振動(dòng)，能夠?yàn)殡姍C(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)或電磁振動(dòng)抑制提供理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞：異步電機(jī)；電磁振動(dòng)；模態(tài)分析；諧響應(yīng)；電磁力；有限元

DOI：10.15938/j.emc.2024.03.012

中圖分類號(hào)：TM301.4

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1007-449X（2024）03-0123-08

收稿日期： 2023-03-17

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（51777139）

作者簡(jiǎn)介：李 巍（1982—），女，博士，副教授，研究方向?yàn)殡姍C(jī)系統(tǒng)及其控制、電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算；

劉 陽(yáng)（1999—），男，碩士研究生，研究方向?yàn)楫惒诫姍C(jī)振動(dòng)與噪聲分析；

陳 偉（1983—），男，博士，研究方向?yàn)榻涣麟姍C(jī)控制技術(shù)與運(yùn)動(dòng)控制技術(shù)。

通信作者：李 巍

Electromagnetic vibration of asynchronous electrical machine based on harmonic response

LI Wei1， LIU Yang1， CHEN Wei2

（1.College of Electronic and Information Engineering， Tongji University， Shanghai 201804， China；2.Shanghai STEP Electric Corporation， Shanghai 201801， China）

Abstract：

The electromagnetic vibration of large induction motor is the main component of the motor vibration. The evaluation of the motor vibration grade requires accurate electromagnetic vibration analysis. The electromagnetic vibration of a 10 kV megawatt induction motor was analyzed. Firstly， the mode analysis of the complete motor model was carried out to solve its natural frequency and corresponding mode， and the actual operation of the motor natural frequency was measured experimentally. Then， the radial electromagnetic force obtained by two-dimensional finite element calculation of electromagnetic field was used as the load to analyze the harmonic response of the motor. Finally， the vibration velocity was compared with that measured by experiment. The results show that the electromagnetic vibration analysis results can be obtained accurately based on the mode analysis and harmonious response analysis of the whole model of large induction motor， which can provide a theoretical basis for the optimization design of the motor or electromagnetic vibration suppression.

Keywords：induction motor; electromagnetic vibration; mode analysis; harmonic response; electromagnetic force; finite element method

0 引 言

大型異步電機(jī)的振動(dòng)問(wèn)題非常突出，各種應(yīng)用場(chǎng)合對(duì)振動(dòng)指標(biāo)要求越來(lái)越高，如何對(duì)電機(jī)振動(dòng)進(jìn)行準(zhǔn)確分析成為當(dāng)下研究重點(diǎn)。電機(jī)振動(dòng)根據(jù)成因可以分為三類：機(jī)械振動(dòng)、氣體振動(dòng)和電磁振動(dòng)［1］。機(jī)械振動(dòng)主要由轉(zhuǎn)子不平衡、軸承縫隙、連接松動(dòng)等因素引起；氣體振動(dòng)是由轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)、風(fēng)扇轉(zhuǎn)動(dòng)等引起的空氣流動(dòng)、撞擊、摩擦產(chǎn)生；電磁振動(dòng)主要由定子和轉(zhuǎn)子間電磁力相互作用引起電機(jī)結(jié)構(gòu)發(fā)生形變而產(chǎn)生。近些年，由于工藝的改進(jìn)和加工精度的提高，機(jī)械振動(dòng)已被極大地削弱；氣體振動(dòng)在高速電機(jī)振動(dòng)中占比較大，在低速電機(jī)中并不明顯；相對(duì)而言，電磁振動(dòng)是大中型電機(jī)振動(dòng)的主要組成部分［2-3］。

在電機(jī)磁場(chǎng)中，電機(jī)各部分會(huì)因電磁力的作用發(fā)生不同程度的形變，并且形變量隨時(shí)間變化，從而導(dǎo)致宏觀上的電磁振動(dòng)。已有研究表明作用于電機(jī)定子的徑向電磁力是引起電磁振動(dòng)的主要原因［4］。如果根據(jù)電機(jī)的設(shè)計(jì)參數(shù)能準(zhǔn)確計(jì)算出徑向電磁力，進(jìn)而得到電磁力導(dǎo)致的振動(dòng)，就可以逆向分析導(dǎo)致電磁振動(dòng)的具體因素，并以此為依據(jù)進(jìn)行電機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)，進(jìn)而減小振動(dòng)噪聲。

電磁力的計(jì)算方法可大致分為兩類：解析法和數(shù)值法。解析法主要包括等效磁路法、子域分析法等［5-7］。數(shù)值法中有限元法應(yīng)用最為廣泛［8-10］，具有較高的計(jì)算精度。得到電磁力后，可以采用動(dòng)力學(xué)分析電磁力作用下的電機(jī)振動(dòng)響應(yīng)，常用的動(dòng)力學(xué)分析方法有：模態(tài)分析、瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析、諧響應(yīng)分析等［11］。當(dāng)電磁力的頻率與電機(jī)的固有頻率接近且空間階次與電機(jī)的振型相同時(shí)就會(huì)發(fā)生共振。通過(guò)模態(tài)分析能夠得到電機(jī)的固有頻率及振型［12］，在電機(jī)設(shè)計(jì)和控制中可以抑制對(duì)應(yīng)頻率的電磁力，從而避免發(fā)生共振。通過(guò)諧響應(yīng)分析可以得到電機(jī)在實(shí)際工況下的振動(dòng)位移，進(jìn)而用于檢驗(yàn)振動(dòng)指標(biāo)是否滿足要求，為電機(jī)的高性能運(yùn)行提供可靠的依據(jù)。

近些年來(lái)，許多學(xué)者進(jìn)行了電機(jī)電磁振動(dòng)的研究。文獻(xiàn)［13］采用二維有限元法計(jì)算電磁力，并將其加載于三維模型定子齒端進(jìn)行諧響應(yīng)分析，通過(guò)錘擊法模態(tài)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所采用分析方法的可行性。文獻(xiàn)［14］對(duì)電機(jī)的二維模型、三維模型及加強(qiáng)筋、底角等結(jié)構(gòu)進(jìn)行了模態(tài)分析，對(duì)比分析了各結(jié)構(gòu)對(duì)電機(jī)固有頻率的影響。文獻(xiàn)［15］建立包含電機(jī)機(jī)殼的三維有限元模型，將電磁力施加在定子齒部表面進(jìn)行瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)計(jì)算，并通過(guò)加速度測(cè)量實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證。文獻(xiàn)［16］采用解析法和模態(tài)分析計(jì)算了一臺(tái)50 kW永磁同步電機(jī)定子的固有頻率，采用磁-固耦合法進(jìn)行振動(dòng)分析并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。通過(guò)以上研究可以看出，模態(tài)分析是得到電機(jī)的固有頻率及對(duì)應(yīng)振型的有效方法之一，二維電磁計(jì)算和三維諧響應(yīng)分析可以相對(duì)準(zhǔn)確計(jì)算出電機(jī)的振動(dòng)響應(yīng)。大型電機(jī)結(jié)構(gòu)復(fù)雜、連接約束多，在采用上述方法進(jìn)行振動(dòng)分析時(shí)需要考慮不同因素的影響。

本文對(duì)一臺(tái)兆瓦級(jí)異步電機(jī)進(jìn)行電磁振動(dòng)分析。首先根據(jù)電機(jī)參數(shù)建立完整的電機(jī)三維模型，包含定子、轉(zhuǎn)子、機(jī)殼等部分。通過(guò)模態(tài)分析求解出該電機(jī)的固有頻率及振型。建立電機(jī)定轉(zhuǎn)子的二維模型，采用有限元法進(jìn)行電磁計(jì)算，通過(guò)麥克斯韋張量法求出電機(jī)定子受到的徑向電磁力。將計(jì)算的徑向電磁力加載至電機(jī)三維模型的定子齒部，通過(guò)諧響應(yīng)分析得到電機(jī)振動(dòng)速率的頻域響應(yīng)。為了驗(yàn)證所采用計(jì)算分析方法的有效性，對(duì)電機(jī)進(jìn)行振動(dòng)實(shí)驗(yàn)研究。采用振動(dòng)傳感器測(cè)量電機(jī)不同運(yùn)行狀態(tài)時(shí)的振動(dòng)速率，得到電機(jī)的固有頻率。將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與模態(tài)分析結(jié)果及諧響應(yīng)分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，通過(guò)模態(tài)分析和諧響應(yīng)分析能夠較為準(zhǔn)確計(jì)算出電機(jī)固有頻率和振動(dòng)速率的頻譜。

為求解電機(jī)空載情況下定子受到的徑向電磁力，給電機(jī)施加10 kV的工頻50 Hz電壓源激勵(lì)進(jìn)行瞬態(tài)場(chǎng)分析。為保證電機(jī)達(dá)到穩(wěn)態(tài)，計(jì)算總時(shí)長(zhǎng)為1.5 s，計(jì)算步長(zhǎng)Δt=0.000 2 s，對(duì)應(yīng)采樣頻率為fs=1/Δt=5 000 Hz。用fF表示電磁力的頻率，根據(jù)采樣定律fsgt;2fF，可以得到fF最大為2 500 Hz，能夠滿足振動(dòng)分析的需要。計(jì)算得到電機(jī)空載穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)的磁場(chǎng)分布，如圖2所示。

為了計(jì)算電機(jī)定子所受徑向電磁力，需要提取氣隙磁感應(yīng)強(qiáng)度，圖3所示為電機(jī)穩(wěn)定后某時(shí)刻氣隙中磁感應(yīng)強(qiáng)度沿圓周方向的分布。

根據(jù)旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)理論，氣隙旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)為行波，即某一位置處磁感應(yīng)強(qiáng)度在一個(gè)電周期內(nèi)隨時(shí)間交變。在電機(jī)穩(wěn)態(tài)后選取一個(gè)周期，分析氣隙中任意一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，將其分解為徑向分量和切向分量，如圖4所示?？梢?jiàn)，徑向磁感應(yīng)強(qiáng)度占主要部分，將導(dǎo)致徑向電磁力較大，這與理論相符合。

根據(jù)電機(jī)磁場(chǎng)分布，采用麥克斯韋應(yīng)力法計(jì)算電磁力，得到單位面積徑向電磁力在一個(gè)周期內(nèi)的變化，如圖5所示。

對(duì)圖5中的徑向電磁力進(jìn)行傅里葉變換，得到徑向電磁力的主要階次，如圖6所示。各階徑向電磁力中0 Hz和100 Hz占比最大，其中0 Hz的電磁力不隨時(shí)間變化，作用于電機(jī)上表現(xiàn)為恒定的應(yīng)變，不會(huì)引起電機(jī)的振動(dòng)。100 Hz的電磁力由基波磁場(chǎng)產(chǎn)生，是引起電機(jī)振動(dòng)的主要原因。在電機(jī)穩(wěn)定運(yùn)行后，取一個(gè)完整電周期的徑向電磁力進(jìn)行諧響應(yīng)分析，加載于定子齒部的表面，作為振動(dòng)分析的載荷。

2 異步電機(jī)的模態(tài)分析

2.1 電機(jī)模型及模態(tài)分析

模態(tài)分析是動(dòng)力學(xué)分析的基本方法之一，它可以求解電機(jī)的各階固有頻率及對(duì)應(yīng)振型。在模態(tài)分析中，采用Hamilton原理建立動(dòng)力學(xué)方程［20-21］為

Ku+Ru·+Mu··=F。（10）

其中：u表示節(jié)點(diǎn)的位移矢量；K，M分別為電機(jī)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，由電機(jī)材料的參數(shù)決定；R為阻尼矩陣，與電機(jī)的固定方式、安裝臺(tái)架的剛度等因素有關(guān)。

在進(jìn)行模態(tài)分析時(shí)，不需要施加外力，各階模態(tài)由電機(jī)的固有屬性決定，與外界激勵(lì)沒(méi)有直接關(guān)系。令式（10）中F={0}，且不考慮阻尼影響，可得頻域下的方程如下：

（K－ω2M）u={0}。（11）

求解該方程組式（11）可以得到電機(jī)的固有頻率及對(duì)應(yīng)的固有振型。

基于上述理論，采用有限元法對(duì)電機(jī)定子鐵心進(jìn)行模態(tài)分析，可以得到電機(jī)各階的固有頻率和振型，圖7所示為軸向0階的部分振型，其中，徑向2階振型的固有頻率為271.61 Hz，徑向3階振型的固有頻率為685.22 Hz，徑向4階振型的固有頻率為1 138.10 Hz。

從圖7可以看出，若僅對(duì)定子鐵心進(jìn)行模態(tài)分析，計(jì)算的定子鐵心固有頻率高于電機(jī)正常工作時(shí)主要激勵(lì)源的頻率，無(wú)法反映出整個(gè)電機(jī)的低階模態(tài)。因此有必要對(duì)電機(jī)整體進(jìn)行模態(tài)分析［22］。

完整的電機(jī)模型包括定子鐵心、端蓋、轉(zhuǎn)子以及加強(qiáng)筋等結(jié)構(gòu)。圖8所示為完整的電機(jī)模型主要組成部分的俯視圖。圖8直角坐標(biāo)系中，Z方向?yàn)殡姍C(jī)的軸向，Y方向電機(jī)水平方向，X方向與YZ平面垂直。

在電機(jī)底座的螺栓孔處添加Bushing約束及彈簧單元，模擬電機(jī)在地面的固定狀態(tài)。不考慮定子硅鋼片、支撐結(jié)構(gòu)間的相對(duì)滑動(dòng)，在阻尼比為零的條件下進(jìn)行模態(tài)分析。圖9展示了前四階固有頻率對(duì)應(yīng)的電機(jī)振型。

與單獨(dú)定子鐵心模型相比，完整電機(jī)模型的振型更為復(fù)雜。在任一固有頻率下，電機(jī)在xyz三個(gè)方向的振動(dòng)位移和運(yùn)動(dòng)質(zhì)量各不相同，可以據(jù)此總結(jié)出振型的特點(diǎn)。本文中使用參與系數(shù)γ描述電機(jī)在每個(gè)方向振動(dòng)的程度，其定義為

2.2 電機(jī)模態(tài)實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果對(duì)比

對(duì)于中小型電機(jī)，許多研究［4，13］通過(guò)錘擊法進(jìn)行模態(tài)測(cè)試并取得了很好的效果，但對(duì)于大型電機(jī)而言很難通過(guò)錘擊法激發(fā)出振動(dòng)模態(tài)，而且復(fù)雜的機(jī)殼結(jié)構(gòu)會(huì)導(dǎo)致激振點(diǎn)的選取很困難。本文根據(jù)電機(jī)實(shí)際應(yīng)用的工況，通過(guò)電機(jī)升速和超速實(shí)驗(yàn)直接測(cè)量電機(jī)在多個(gè)轉(zhuǎn)速下的振動(dòng)響應(yīng)，從而得到固有頻率。

實(shí)驗(yàn)中，使電機(jī)在恒定磁通下從0加速至額定轉(zhuǎn)速3 000 r/min，完成升速實(shí)驗(yàn)。然后在恒定電壓10 kV下電機(jī)從3 000 r/min加速至3 600 r/min，完成超速實(shí)驗(yàn)。通過(guò)在電機(jī)端蓋安裝的速度型振動(dòng)傳感器測(cè)量X、Y兩個(gè)方向的振動(dòng)速率。實(shí)驗(yàn)所用電機(jī)的轉(zhuǎn)子動(dòng)平衡度為G0.7，因此可以忽略轉(zhuǎn)子動(dòng)平衡對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響。根據(jù)升速、超速實(shí)驗(yàn)的測(cè)量數(shù)據(jù)可以得到各轉(zhuǎn)速下電機(jī)的振動(dòng)頻譜，從而分析出電機(jī)的固有頻率。實(shí)驗(yàn)得到的固有頻率結(jié)果如表2所示。

從實(shí)驗(yàn)結(jié)果中可以看出，第一階、第三階固有頻率在Y方向的振動(dòng)幅度大于其他方向；第二階、第四階固有頻率在X方向的振動(dòng)幅度大于其他方向。

將表1中的仿真結(jié)果與表2中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖10所示，固有頻率比較接近，對(duì)應(yīng)的振型方向也一致，仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果具有較高的一致性。結(jié)果表明，對(duì)完整電機(jī)的模態(tài)分析能夠較為準(zhǔn)確地計(jì)算出電機(jī)的固有頻率，電機(jī)每個(gè)結(jié)構(gòu)都會(huì)對(duì)各階模態(tài)的頻率及振型產(chǎn)生一定的影響，因此建立完整的電機(jī)仿真模型可以得到更接近實(shí)際情況的分析結(jié)果。

3 異步電機(jī)的諧響應(yīng)分析

3.1 諧響應(yīng)分析

當(dāng)電機(jī)穩(wěn)定工作時(shí)，電機(jī)定子受到的徑向電磁力可分解為一系列不同頻率的正弦分量，是周期性簡(jiǎn)諧載荷，可以作為諧響應(yīng)分析的激勵(lì)。同時(shí)，正常工作中電機(jī)的形變很小，可忽略非線性特征。因此可以通過(guò)諧響應(yīng)分析研究徑向電磁力作用下電機(jī)的振動(dòng)響應(yīng)。

將磁場(chǎng)分析中計(jì)算得到的電磁力加載于電機(jī)三維模型的定子齒端，計(jì)算0至500 Hz范圍內(nèi)電機(jī)端蓋處的頻率響應(yīng)，結(jié)果如圖11所示。圖11中縱軸為振動(dòng)速率，采用對(duì)數(shù)刻度，單位為m/s；橫軸為振動(dòng)頻率，單位為Hz。在X、Y方向的振動(dòng)速率的頻譜中，100 Hz對(duì)應(yīng)的分量占比最大，其他分量可以忽略，這與徑向電磁力的分布相對(duì)應(yīng)。

3.2 諧響應(yīng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果對(duì)比

在10 kV額定電壓激勵(lì)下，測(cè)量電機(jī)空載狀態(tài)時(shí)的振動(dòng)響應(yīng)。在電機(jī)端蓋安裝振動(dòng)傳感器進(jìn)行測(cè)量，電機(jī)到達(dá)穩(wěn)態(tài)后，連續(xù)10分鐘記錄X、Y方向的振動(dòng)速率并計(jì)算其頻譜。圖12為10 kV電壓下X、Y方向振動(dòng)速率的頻譜。

從圖12中可以看出，測(cè)量結(jié)果中50 Hz和100 Hz對(duì)應(yīng)的振動(dòng)分量占比較大，50 Hz的振動(dòng)主要由轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)的機(jī)械振動(dòng)引起的，100 Hz的振動(dòng)主要由徑向電磁力引起的。對(duì)比100 Hz下實(shí)驗(yàn)和仿真的振動(dòng)速率，如表3所示，可以看出X、Y方向上振動(dòng)速率的仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果都比較一致，證明了所采用的振動(dòng)分析方法的有效性。

4 結(jié) 論

本文對(duì)大型異步電機(jī)的電磁振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了研究。采用模態(tài)分析對(duì)完整的電機(jī)模型進(jìn)行了固有頻率計(jì)算，將二維有限元計(jì)算的電磁力耦合到電機(jī)的定子齒部進(jìn)行了諧響應(yīng)分析，得到了電機(jī)的振動(dòng)響應(yīng)，并與實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。基于上述研究得到以下結(jié)論：

1）通過(guò)對(duì)比大型異步電機(jī)的定子三維模型和整機(jī)模型的模態(tài)分析結(jié)果，發(fā)現(xiàn)定子模型的固有頻率較高；整機(jī)模型的固有頻率更豐富，包含許多低階固有頻率，且電機(jī)的振型主要表現(xiàn)為徑向的平移。因此在對(duì)大型異步電機(jī)進(jìn)行模態(tài)分析時(shí)需要考慮支撐結(jié)構(gòu)及轉(zhuǎn)子帶來(lái)的影響。

2）根據(jù)諧響應(yīng)分析能夠較為準(zhǔn)確地計(jì)算出電機(jī)的電磁振動(dòng)響應(yīng)。從電機(jī)振動(dòng)的頻譜可以看出，大型異步電機(jī)的電磁振動(dòng)主要表現(xiàn)為2倍電頻率的振動(dòng)，這與電磁力頻譜中幅值最大的2倍頻分量相對(duì)應(yīng)；高階電磁力引起的振動(dòng)占比很小。

3）電磁振動(dòng)的仿真分析結(jié)果與實(shí)際測(cè)量值存在誤差。大型異步電機(jī)的振動(dòng)實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果受到測(cè)量位置、電機(jī)固定強(qiáng)度、部件連接剛度等因素影響，而有限元仿真中，雖然可以通過(guò)設(shè)置電機(jī)材料、固定方式、阻尼等參數(shù)對(duì)實(shí)際情況進(jìn)行模擬，但無(wú)法完全與實(shí)際工況保持一致。

4）仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了所采用振動(dòng)分析方法的有效性。振動(dòng)分析能夠?yàn)殡姍C(jī)的振動(dòng)抑制提供依據(jù)，評(píng)估電機(jī)的振動(dòng)指標(biāo)是否合格，從而為電機(jī)設(shè)計(jì)或控制算法的優(yōu)化提供參考。

參 考 文 獻(xiàn)：

［1］ 陳永校， 諸自強(qiáng)， 應(yīng)善成. 電機(jī)噪聲的分析和控制［M］. 杭州：浙江大學(xué)出版社， 1987.

［2］ 王玎， 祝長(zhǎng)生， 符嘉靖. 基于有限元的異步電機(jī)電磁振動(dòng)分析［J］. 振動(dòng)與沖擊， 2012， 31（2）： 140.WANG Ding， ZHU Changsheng， FU Jiajing. Electromagnetically excited vibration analysis for an asynchronous electrical machine with finite element method［J］. Journal of Vibration and Shock， 2012， 31（2）： 140.

［3］ SHIOHATA K. Review of research in Japanon electromagnetic force induced vibration and noise from an electrical motor［J］. Journal of System Design and Dynamics， 2013， 7（2）： 127.

［4］ 代穎， 崔淑梅， 宋立偉. 車用電機(jī)的有限元模態(tài)分析［J］. 中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)， 2011， 31（9）： 100.

DAI Ying， CUI Shumei， SONG Liwei. Finite element method modal analysis of driving motor for electric vehicle［J］. Proceedings of the CSEE， 2011， 31（9）： 100.

［5］ 董佳波. 異步電機(jī)電磁振動(dòng)研究綜述［J］. 防爆電機(jī)， 2022， 57（3）： 75.Dong Jiabo. Research overview on electromagnetic vibration of induction motors［J］. Explosion-proof" Electric Machine， 2022， 57（3）： 75.

［6］ 丁嘉露. 永磁同步電機(jī)振動(dòng)噪聲預(yù)測(cè)分析［D］. 沈陽(yáng)：沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)， 2020.

［7］ 屈仁浩， 蔣偉康. 電機(jī)定子鐵芯振動(dòng)特性分析的一種解析方法［J］. 振動(dòng)與沖擊， 2021， 40（3）： 81.QU Renhao， JIANG Weikang. An analytical method for vibration characteristics analysis of motor stator core［J］. Journal of Vibration and Shock， 2021， 40（3）： 81.

［8］ 黃厚佳， 李全峰， 徐余法. 基于有限元法的永磁同步電機(jī)定子固有頻率研究［J］. 電機(jī)與控制應(yīng)用， 2019， 46（4）： 65.HUANG Houjia，LI Quanfeng，XU Yufa. Research on the natural frequency of stator of permanent magnet synchronous motor based on finite element method［J］. Electric Machines and Control Application， 2019， 46（4）： 65.

［9］ 劉海龍. 大型感應(yīng)電動(dòng)機(jī)電磁力及振動(dòng)特性分析［D］. 沈陽(yáng)：沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)， 2007.

［10］ 鄭江， 代穎， 石堅(jiān). 車用永磁同步電機(jī)的電磁噪聲特性［J］. 電工技術(shù)學(xué)報(bào)， 2016， 31（S1）： 53.

ZHENG Jiang，DAI Ying， SHI Jian. Electromagnetic noise characteristics of permanent magnet synchronous motor applied in electric vehicle［J］. Transactions of China Electrotechnical Society， 2016， 31（S1）： 53.

［11］ 李斌奇. 永磁同步電機(jī)振動(dòng)的計(jì)算與分析［D］. 杭州：浙江大學(xué)， 2022.

［12］ 王宏華， 王治平， 江泉. 開(kāi)關(guān)型磁阻電動(dòng)機(jī)固有頻率解析計(jì)算［J］. 中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)， 2005， 25（12）： 133.WANG Honghua，WANG Zhiping，JIANG Quan. Analytical calculating of natural frequencies of stators of switched reluctance motor based on electromechanical analogy method［J］. Proceedings of the CSEE， 2005，25（12）： 133.

［13］ 李曉華， 黃蘇融， 李良梓. 電動(dòng)汽車用永磁同步電機(jī)振動(dòng)噪聲的計(jì)算與分析［J］. 電機(jī)與控制學(xué)報(bào)， 2013， 17（8）： 37.LI Xiaohual，HUANG Surong，LI Liangzi. Calculation and analysis of vehicle vibration and noise of permanent magnet synchronous motor applied in electric vehicle［J］. Electric Machines and Control， 2013， 17（8）： 37.

［14］ 溫嘉斌， 崔斯柳. 感應(yīng)電機(jī)振動(dòng)特性有限元分析［J］. 防爆電機(jī)， 2011， 46（1）： 1.WEN Jiabin， CUI Siliu. Finite-element analysis on vibration features of induction motor［J］. Explosion-proof Electric Machine， 2011， 46（1）： 1.

［15］ 謝穎， 劉海松， 呂森， 等. 計(jì)及轉(zhuǎn)子斜槽時(shí)籠型感應(yīng)電機(jī)電磁振動(dòng)變化規(guī)律的研究［J］. 中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)， 2015， 35（15）： 3948.XIE Ying， LIU Haisong， L Sen， et al. Study on the variation laws of electromagnetic vibration considered the skewed rotor in a squirrel-cage induction motor［J］. Proceedings of the CSEE， 2015， 35（15）： 3948.

［16］ 陳少先，丁樹(shù)業(yè)，申淑鋒，等.船舶用表貼式永磁同步電機(jī)的電磁振動(dòng)分析與抑制［J］.電工技術(shù)學(xué)報(bào)，2023，38（5）：1275.

CHEN Shaoxian， DING Shuye，" SHEN Shufeng， et al. Analysis and suppression of electromagnetic vibration of surface mounted permanent magnet synchronous motor for ships［J］. Transactions of China Electrotechnical Society， 2023， 38（5）： 1275.

［17］ 湯蘊(yùn)璆. 電機(jī)內(nèi)的電磁場(chǎng)［M］. 北京：科學(xué)出版社， 1981.

［18］ DAVIS A， ONOOCHIN V.The Maxwell stress tensor and electromagnetic momentum ［J］. Progress in Electromagnetics Research Letters， 2020， 94： 151.

［19］ 戈寶軍， 周曉炎， 陶大軍， 等. 雙三相感應(yīng)電機(jī)容錯(cuò)運(yùn)行狀態(tài)電磁力分析［J］. 哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào)， 2021， 26（2）： 75.GE Baojun， ZHOU Xiaoyan， TAO Dajun， et al. Electromagnetic force analysis of double three-phase induction motor operating in fault-tolerant state［J］. Journal of Harbin University of Science and Technology， 2021， 26（2）： 75.

［20］ 王天煜， 王鳳翔. 大型異步電動(dòng)機(jī)定子振動(dòng)與模態(tài)分析［J］. 中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)， 2007，27（12）： 41.WANG Tianyu， WANG Fengxiang. Vibration and modal analysis of stator of large induction motors［J］. Proceedings of the CSEE， 2007，27（12）： 41.

［21］ 王慧斌， 李德友， 段雪晴， 等. 基于諧響應(yīng)分析的沖擊式水輪機(jī)轉(zhuǎn)輪共振預(yù)測(cè)［J］. 大電機(jī)技術(shù)， 2024（2）： 50.WANG Huibin， LI Deyou， DUAN Xueqing， et al. Resonance prediction of pelton turbine runner based on harmonic response analysis［J］.Large Electric Machine and Hydraulic Turbine， 2024（2）： 50.

［22］ CHAUVICAURT F， FARIA C， DZIECHCIARZ A， et al. Infuence of rotor geometry on NVH behavior of synchronous reluctance machine［C］// 10th International Conference on Ecological Vehicles and Renewable Energies， EVER 2015， March 31-April 2， Monte-Carlo， Monaco. 2015：1-6.

（編輯：劉素菊）