摘"要：

針對(duì)無鐵心永磁同步直線電機(jī)（PMLSM）存在推力波動(dòng)問題以及磁極結(jié)構(gòu)對(duì)永磁體利用率的影響，從結(jié)構(gòu)方面著手，提出一種梯形Halbach交替極磁極結(jié)構(gòu)的無鐵心永磁同步直線電機(jī)，對(duì)Halbach陣列進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。首先通過有限元法對(duì)比在Halbach交替極、雙層Halbach磁極與梯形Halbach交替極3種磁極結(jié)構(gòu)中PMLSM的電磁性能，分別對(duì)氣隙磁場(chǎng)諧波成分、空載反電動(dòng)勢(shì)、電磁推力以及推力體積比進(jìn)行計(jì)算與對(duì)比。其次，采用等效磁化強(qiáng)度法定性分析磁極結(jié)構(gòu)對(duì)電機(jī)出力性能的影響，并引入Kriging模型，結(jié)合多目標(biāo)優(yōu)化算法對(duì)關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化以提高電機(jī)平均推力和推力體積比，降低推力波動(dòng)，得到3個(gè)優(yōu)化目標(biāo)的Pareto前沿。最后，通過仿真分析驗(yàn)證設(shè)計(jì)方法的有效性以及電機(jī)性能的改善。結(jié)果表明：梯形Halbach交替極磁極結(jié)構(gòu)永磁體利用率更高，具有實(shí)用價(jià)值；梯形Halbach交替極PMLSM能夠有效抑制推力波動(dòng)并保持在7%左右，適用于高精確度加工設(shè)備。

關(guān)鍵詞：永磁同步直線電機(jī)；Halbach陣列；交替極；等效磁化強(qiáng)度法；Kriging模型；多目標(biāo)優(yōu)化

DOI：10.15938/j.emc.2024.01.016

中圖分類號(hào)：TM351

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1007-449X（2024）01-0164-13

Characteristic analysis and optimization design of aircore permanent magnet linear synchronous motor with trapezoidal Halbach array consequentpole

MIAO Zhongcui1，2，"SU Yi1，"ZHANG Lei1，"ZHAO Xuan1，"LI Yan1

（1. School of Automation and Electrical Engineering， Lanzhou Jiaotong University， Lanzhou 730070，China; 2.Key Laboratory of OptoTechnology and Intelligent Control Ministry of Education， Lanzhou Jiaotong University， Lanzhou 730070， China）

Abstract：

Aiming at the problem of thrust ripple in aircore permanent magnet linear synchronous motor（PMLSM） and the influence permanent magnet structure on the utilisation of permanent magnets， a trapezoidal Halbach consequentpole of an aircore PMLSM with an optimised design was proposed for the Halbach array. Firstly， the electromagnetic performance of PMLSM in three pole configurations， Halbach array consequentpole， double Halbach array and trapezoidal Halbach array consequentpole， was compared by the finite element method. The air gap magnetic field harmonic components， backEMF， thrust and thrusttovolume ratio were calculated and compared respectively. Secondly， the equivalent magnetization intensity method was used to qualitatively analyze the effect of pole structure on the output performance of the motor. The Kriging model was introduced and combined with a multiobjective optimization algorithm to optimize key parameters to improve the average thrust and thrusttovolume ratio of the motor and reduce thrust ripple， and the Pareto front for the three optimization objectives was obtained. Finally， the results show that consequentpole is more efficient and saves manufacturing costs. Trapezoidal Halbach array consequentpole PMLSM effectively suppress thrust ripple and which remains at around 7%， and it is suitable for highprecision machining equipment.

Keywords：permanent magnet linear synchronous motor; Halbach array;consequentpole; equivalent magnetizationintensity method; Kriging model; multiobjective optimization

0"引"言

永磁同步直線電機(jī)（permanent magnet linear synchronous motor，PMLSM）具有推力密度高、響應(yīng)速度快、傳動(dòng)效率高等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于激光雕刻機(jī)、激光切割機(jī)等高精確度工業(yè)生產(chǎn)、半導(dǎo)體制造等領(lǐng)域[1-3]。但直線電機(jī)的推力波動(dòng)會(huì)增加系統(tǒng)不穩(wěn)定性，限制了加工精確度的提高[4-5]，并隨著永磁體價(jià)格的上漲，導(dǎo)致制造成本增加，一定程度上限制了永磁同步直線電機(jī)應(yīng)用。因此，對(duì)PMLSM推力性能優(yōu)化、提高永磁體利用率的研究具有重要的理論與實(shí)踐意義。

目前，對(duì)于抑制推力波動(dòng)的研究主要從電機(jī)本體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和控制策略兩個(gè)方面進(jìn)行[1]。在提高永磁體利用率方面，主要采用交替極的磁極排布方式，即利用導(dǎo)磁材料匯聚磁力線的特性，將部分永磁體用凸鐵極代替構(gòu)成混合磁極結(jié)構(gòu)[6-7]。

通過電機(jī)本體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)來抑制推力波動(dòng)主要有兩個(gè)方面，分別為電機(jī)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和結(jié)構(gòu)參數(shù)組合優(yōu)化設(shè)計(jì)。前者包括槽極配合的拓?fù)?、永磁體形狀的拓?fù)?、繞組形狀的拓?fù)?、增加端部輔助極或輔助齒這4種類型[8]。在槽極配合的拓?fù)渲?，研究者通過改變電機(jī)的槽寬、槽深、繞組纏繞方式，將抑制推力波動(dòng)的問題轉(zhuǎn)化為抑制氣隙磁場(chǎng)或電樞磁動(dòng)勢(shì)中諧波成分的問題[9-11]。這類方法能有效降低推力波動(dòng)，但電機(jī)性能仍有較大的提升空間。除了槽極配合的拓?fù)?，研究者還對(duì)電機(jī)其他結(jié)構(gòu)拓?fù)溥M(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[12]采用解析法分析磁場(chǎng)分布規(guī)律，通過V型三段磁極錯(cuò)位的磁極結(jié)構(gòu)抵消推力波動(dòng)中的諧波成分，達(dá)到抑制推力波動(dòng)的效果。文獻(xiàn)[13-14]分析推力波動(dòng)規(guī)律，對(duì)動(dòng)子端部的形狀和輔助齒進(jìn)行設(shè)計(jì)，削弱了端部效應(yīng)對(duì)電機(jī)推力造成的不良影響。但在以上方法中，大部分模型的求解計(jì)算量大，對(duì)加工工藝要求較高，并且在一定程度上削弱了電磁推力。

在電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)組合優(yōu)化設(shè)計(jì)方面，文獻(xiàn)[15-17]分別利用能量法、等效電路法和許-克變換法，從解析模型中得到電機(jī)系統(tǒng)響應(yīng)與結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的關(guān)系，并對(duì)關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。但上述方法利用解析法建模，存在諸多假設(shè)條件，適合定性分析，不能進(jìn)行高精確度計(jì)算。為了使模型計(jì)算更精確，文獻(xiàn)[18-19]引入代理模型的計(jì)算方法，對(duì)樣本數(shù)據(jù)庫(kù)采用深度學(xué)習(xí)算法來建立高精確度計(jì)算模型，進(jìn)而為優(yōu)化算法提供高精確度模型基礎(chǔ)。但在建立深度學(xué)習(xí)模型時(shí)，為保證高精確度，需要大量樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)，從而計(jì)算時(shí)間增加，優(yōu)化效率降低，無法最大限度發(fā)揮代理模型的優(yōu)點(diǎn)。

在提高永磁體利用率的研究中，用凸鐵極替代部分永磁體構(gòu)成交替極的磁極結(jié)構(gòu)，雖然可以減少永磁體用量，但存在極間漏磁嚴(yán)重、降低電磁推力的問題。因此，文獻(xiàn)[7]采用Halbach交替極（Halbach consequentpole，HCP）的磁極排布，彌補(bǔ)交替極結(jié)構(gòu)漏磁嚴(yán)重的缺陷，但Halbach磁極陣列增加了強(qiáng)磁側(cè)的磁場(chǎng)諧波分量，加劇了推力波動(dòng)。而Halbach永磁陣列疊加是一個(gè)有效的解決方案，文獻(xiàn)[20]采用雙層Halabch（double Halbach，DH）磁極結(jié)構(gòu)，單個(gè)永磁體為“凸”字型，但磁場(chǎng)諧波抑制效果有限，并且永磁體用量較大。

綜上所述，電機(jī)設(shè)計(jì)與優(yōu)化不僅要降低推力波動(dòng)，還要保證電磁推力不降低，同時(shí)還要考慮永磁體利用率等問題。本文根據(jù)一種激光雕刻機(jī)的設(shè)備需求，從電機(jī)本體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)出發(fā)，設(shè)計(jì)一種梯形Halbach交替極永磁同步直線電機(jī)（trapezoidal Halbach consequentpole PMLSM，THCPPMLSM），其永磁體部分采用梯形Halbach陣列，用凸鐵極替代部分永磁體形成梯形Halbach交替極。并在代理模型的基礎(chǔ)上采用多目標(biāo)優(yōu)化算法對(duì)關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，在減少永磁體用量，提升電機(jī)出力性能的同時(shí)，最大化地利用仿真計(jì)算能力，提升優(yōu)化效率。首先，根據(jù)文獻(xiàn)[7]中的Halbach交替極、文獻(xiàn)[20]中的雙層Halabch磁極，來分別建立Halbach交替極永磁同步直線電機(jī)和雙層Halbach永磁同步直線電機(jī)模型，與本文提出的THCPPMLSM在電磁性能上進(jìn)行對(duì)比分析，初步證明提出結(jié)構(gòu)的合理性。其次，對(duì)所提出的THCPPMLSM通過等效磁化強(qiáng)度法建立氣隙磁場(chǎng)解析模型，依次建立平均推力、推力波動(dòng)和推力體積比的解析模型，并選擇極距、主永磁體寬度和梯形磁極斜面傾角為待優(yōu)化的參數(shù)。然后，在優(yōu)化參數(shù)設(shè)計(jì)范圍內(nèi)采用拉丁超立方抽樣選取樣本點(diǎn)[21]，通過有限元法計(jì)算樣本點(diǎn)的響應(yīng)值。接著，根據(jù)樣本點(diǎn)以及響應(yīng)值建立Kriging模型并與期望改進(jìn)（expected improvement，EI）加點(diǎn)準(zhǔn)則相結(jié)合，通過多種群遺傳算法對(duì)模型進(jìn)行優(yōu)化，得到優(yōu)化目標(biāo)Pareto前沿。最后，根據(jù)優(yōu)化參數(shù)在有限元仿真軟件中建模，進(jìn)行電磁性能比較和經(jīng)濟(jì)性分析，驗(yàn)證本文所提出THCPPMLSM與HCPPMLSM、DHPMLSM相比，在提高電機(jī)平均推力、提高推力體積比、降低推力波動(dòng)以及實(shí)際應(yīng)用價(jià)值等方面具有一定優(yōu)勢(shì)。

1"梯形Halbach交替極結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

本文采用無鐵心PMLSM，其運(yùn)行時(shí)無齒槽力，適用于高精確度加工系統(tǒng)。無鐵心PMLSM示意圖如圖1所示，初級(jí)部分的三相繞組被環(huán)氧樹脂等非導(dǎo)磁材料塑封，次級(jí)部分采用雙邊對(duì)稱的永磁體排布方式，形成類似“U”型結(jié)構(gòu)對(duì)初級(jí)部分進(jìn)行包裹。

1.1"磁極結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

為減少塑封時(shí)的工藝復(fù)雜程度，電機(jī)初級(jí)繞組為單層矩形集中式繞組。次級(jí)部分一般采用徑向充磁的矩形永磁體N極、S極交替排布，但這樣不僅磁極間漏磁嚴(yán)重，而且永磁體用量大。本文提出梯形Halbach交替極磁極排布設(shè)計(jì)，每對(duì)磁極由一個(gè)梯形Halbach永磁體與一個(gè)凸鐵極構(gòu)成，永磁體與凸鐵極極性相反。這樣的磁極設(shè)計(jì)不僅能減少磁極交替排布的極間漏磁，同時(shí)也減少了永磁體用量。本文所提出磁極結(jié)構(gòu)與文獻(xiàn)[7]、文獻(xiàn)[20]的磁極結(jié)構(gòu)如圖2所示。

1.2"THCPPMLSM電磁特性分析

根據(jù)上述3種磁極結(jié)構(gòu)，在有限元仿真軟件中分別建立HCPPMLSM（M1）、DHPMLSM（M2）和THCPPMLSM（M3）3種電機(jī)模型，電機(jī)模型如表1所示。為保證對(duì)比公平性，3種電機(jī)單個(gè)磁極體積相同，額定電流和動(dòng)子速度一致，其他參數(shù)如表2所示。根據(jù)3種電機(jī)模型對(duì)比分析靜磁場(chǎng)狀態(tài)、瞬態(tài)空載狀態(tài)和負(fù)載狀態(tài)下的電磁特性。

1）電機(jī)靜磁場(chǎng)狀態(tài)。

在Halbach陣列中，強(qiáng)磁側(cè)的氣隙磁通密度具有較多的諧波成分，會(huì)對(duì)電磁推力的穩(wěn)定性造成不良影響。通過有限元分析得到3種電機(jī)氣隙中心處的磁通密度分布曲線，如圖3（a）所示，其中THCPPMLSM的磁通密度曲線最為平滑，比較接近正弦波形。同時(shí)還可以看到，兩個(gè)交替極結(jié)構(gòu)在永磁體用量相同的前提下，THCPPMLSM具有更高的磁通密度幅值。

為進(jìn)一步驗(yàn)證，通過二維傅里葉分析可知，HCPPMLSM氣隙中心處除了含有基波，同時(shí)還有其他諧波分量，其中5次諧波、9次諧波最為明顯。DHPMLSM諧波抑制效果相比HCPPMLSM有所提升，而THCPPMLSM的諧波分量最少，表明其磁通密度諧波抑制能力在3種磁極結(jié)構(gòu)中最佳，如圖3（b）所示。

觀察圖3（a）中磁通密度上下幅值時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，交替極結(jié)構(gòu)存在明顯的波形不對(duì)稱現(xiàn)象，即正向幅值大于負(fù)向幅值。這種不對(duì)稱現(xiàn)象是由于凸鐵極未被永磁體完全磁化，導(dǎo)致永磁體產(chǎn)生的磁場(chǎng)大于凸鐵極產(chǎn)生的磁場(chǎng)。為解決這一問題，采用圖4所示上下錯(cuò)極的磁極排布結(jié)構(gòu)，圖5為THCPPMLSM錯(cuò)極后氣隙磁通密度曲線。由圖5可以看出，錯(cuò)極排布后正向氣隙磁通密度幅值減小，負(fù)向氣隙磁通密度幅值增大，且幅值都為0.9 T。

2）電機(jī)瞬態(tài)空載運(yùn)行狀態(tài)。

當(dāng)動(dòng)子運(yùn)行速度為1.7 m/s，3種電機(jī)的空載反電動(dòng)勢(shì)如圖6所示。DHPMLSM因永磁體用量最多而空載反電動(dòng)勢(shì)最大，以此為對(duì)比基準(zhǔn)，則HCPPMLSM與THCPPMLSM的空載反電動(dòng)勢(shì)分別是基準(zhǔn)值的62.2%（8.15 V）和80.9%（10.6 V）。在兩個(gè)永磁體用量相同的交替極結(jié)構(gòu)中，THCPPMLSM反電動(dòng)勢(shì)更高。

3）電機(jī)負(fù)載運(yùn)行狀態(tài)。

在不同電流激勵(lì)工況下，各電機(jī)平均推力計(jì)算結(jié)果如圖7所示。由圖7可知，由于DHPMLSM永磁體用量最多其平均推力最大，其推力常數(shù)為12.53 N/A，以此為對(duì)比基準(zhǔn)值。HCPPMLSM和THCPPMLS的推力常數(shù)分別是基準(zhǔn)值的59.6%（7.47 N/A）和73.1%（9.16 N/A）。

推力體積比（永磁體利用率）也是重點(diǎn)考慮的一個(gè)性能參數(shù)[22]，定義為平均電磁推力與電機(jī)初級(jí)、次級(jí)耦合部分永磁體的體積之比。其中HCPPMLSM和THCPPMLSM初次級(jí)耦合部分的永磁體體積為DHPMLSM的69.6%，通過推力體積比的定義計(jì)算可知，在相同永磁體用量的情況下，THCPPMLSM推力體積比即永磁體利用率最高。

綜上所述，3種電機(jī)性能對(duì)比如表3所示。可以看出，在相同永磁體用量的情況下THCPPMLSM比HCPPMLSM具有更好的性能表現(xiàn)。與DHPMLSM相比，由于THCPPMLSM減少永磁體用量，所以在電機(jī)性能上有一定的差距，因此將建立電機(jī)解析模型選擇關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

2"電機(jī)解析模型建立

通過解析模型可進(jìn)一步分析THCPPMLSM響應(yīng)與結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的關(guān)系。首先，采用等效磁化強(qiáng)度法建立層析模型，對(duì)氣隙磁場(chǎng)進(jìn)行分析，在此基礎(chǔ)上建立了THCPPMLSM待優(yōu)化性能的解析模型。

2.1"氣隙磁場(chǎng)

由于電機(jī)采用雙邊次級(jí)對(duì)稱結(jié)構(gòu)，只需對(duì)上半部分進(jìn)行分析。永磁體產(chǎn)生的磁場(chǎng)，采用等效磁化強(qiáng)度法進(jìn)行計(jì)算[23-24]，直線電機(jī)層分析模型以及結(jié)構(gòu)參數(shù)如圖8所示，此時(shí)繞組為無電流的空載狀態(tài)，故將求解區(qū)域分為氣隙區(qū)域與永磁體區(qū)域。

為了簡(jiǎn)化解析模型建立，對(duì)電機(jī)層分析模型做如下假設(shè)：

1）定子部分沿x軸方向無限延伸，忽略其邊端效應(yīng)。

2）z軸方向無磁場(chǎng)變化，不考慮橫向邊端效應(yīng)，將模型進(jìn)行二維分析。

3）凸鐵極和背鐵磁導(dǎo)率無窮大。

4）永磁體被均勻磁化。

考慮到梯形永磁體比矩形永磁體的邊界條件更復(fù)雜，所以將梯形永磁體分為3個(gè)區(qū)域進(jìn)行計(jì)算，如圖9所示。區(qū)域1為矩形，區(qū)域2和區(qū)域3為直角三角形，其中單個(gè)直角三角形區(qū)域再近似細(xì)分為i個(gè)不同高度矩形的疊加，高度為hmi，寬度為τmi。最后通過疊加計(jì)算，即可得到梯形永磁體的磁通度。

通過等效磁化強(qiáng)度法計(jì)算永磁體的磁場(chǎng)，磁通密度矢量可以由矢量磁位得到，表達(dá)式為

根據(jù)Maxwell方程組，建立氣隙區(qū)域Ⅰ的拉普拉斯方程和永磁體區(qū)域Ⅱ的泊松方程，即

式中：A→Ⅰ、A→Ⅱ?yàn)闅庀秴^(qū)域的矢量磁位和永磁體區(qū)域的矢量磁位；M→為永磁體磁化強(qiáng)度空間分布函數(shù)。

Halbach陣列的磁化強(qiáng)度空間分布函數(shù)為

式中：Br為永磁體剩余磁化強(qiáng)度；μ0為空氣磁導(dǎo)率；mn為僅包含奇次諧波的空間頻率；αp為矩形永磁體寬度與極距的比值。

對(duì)于永磁體區(qū)域2和區(qū)域3的三角形永磁體，如圖9所示，計(jì)算其細(xì)分的第i塊矩形永磁體磁段，此時(shí)αp=τmi/τ，應(yīng)滿足如下邊界條件：

b相繞組與c相繞組的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)計(jì)算與上述過程相同，b、c相的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)分別滯后a相2π/3、4π/3。

2.3"電磁推力以及推力波動(dòng)

由于是無鐵心動(dòng)子，所以可忽略電樞反應(yīng)的影響，采用空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)計(jì)算電磁推力，電磁推力可表示為

式中ia、ib、ic分別為三相繞組中的激勵(lì)電流。當(dāng)繞組中的激勵(lì)電流為三相正弦交流電時(shí)，電磁推力表達(dá)式為：

式中：Fi為第i個(gè)采樣點(diǎn)的電磁推力值；Favg為電磁推力平均值。

2.4"推力體積比

推力體積比表征電機(jī)中永磁體的利用率，定義為平均推力與電機(jī)初級(jí)、次級(jí)耦合部分永磁體的體積之比。初級(jí)、次級(jí)耦合部分永磁體體積為：

式中：Vm、Va分別為y方向充磁永磁體（主永磁體）和x方向充磁永磁體（輔助永磁體）的體積；p、q分別為永磁體數(shù)量；τm、τa分別為主永磁體和輔助永磁體寬度。

推力體積比為

3"關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)選取

通過解析模型可知，Halbach陣列對(duì)電機(jī)推力品質(zhì)有著重要影響。在電磁推力方面，Halbach陣列中的主永磁體起主導(dǎo)作用，調(diào)節(jié)主永磁體與輔助永磁體在Halbach陣列中的比例，可以優(yōu)化電磁推力的表現(xiàn)。同時(shí)，由式（25）可知，輔助永磁體寬度的改變可以看作極距的調(diào)節(jié)。平均推力值隨主永磁體寬度和極距變化如圖10所示。

在推力波動(dòng)方面，由解析模型分析可知，梯形永磁體斜面傾角與推力波動(dòng)有關(guān)，推力波動(dòng)與斜面傾角的關(guān)系如圖11所示，隨傾角增大，推力波動(dòng)呈下降趨勢(shì)。

在推力體積比方面，由式（26）可知，永磁體尺寸參數(shù)同時(shí)影響電磁推力以及推力體積比。永磁體厚度也是尺寸參數(shù)之一，但從圖12中平均推力和推力體積比隨永磁體厚度變化曲線可以看出，磁體厚度在5～10 mm內(nèi)變化時(shí)，平均推力變化幅度僅3 N左右，且永磁體厚度增加反而降低了推力體積比，所以將永磁體厚度設(shè)為固定值。

為了使模型具有普適性，將主永磁體寬度、極距和梯形永磁體斜面傾角作為優(yōu)化參數(shù)，其他參數(shù)設(shè)為固定值。根據(jù)設(shè)計(jì)尺寸和空間約束條件，優(yōu)化參數(shù)以及設(shè)計(jì)范圍如表4所示。

4"關(guān)鍵參數(shù)優(yōu)化

本文以THCP-PMLSM的平均推力、推力波動(dòng)和推力體積比為優(yōu)化目標(biāo)。由于在直線電機(jī)解析模型建立過程中存在假設(shè)條件，會(huì)產(chǎn)生模型計(jì)算的誤差，并不適合優(yōu)化設(shè)計(jì)的高精確度計(jì)算，因此建立基于Kriging模型[26]與EI加點(diǎn)準(zhǔn)則的代理模型為后續(xù)優(yōu)化工作提供高精確度的模型基礎(chǔ)。

優(yōu)化過程分為兩個(gè)階段，第一階段，根據(jù)3個(gè)優(yōu)化變量以及對(duì)應(yīng)優(yōu)化目標(biāo)響應(yīng)值的樣本數(shù)據(jù)庫(kù)建立Kriging模型，并對(duì)模型進(jìn)行尋優(yōu)。第二階段，通過EI加點(diǎn)準(zhǔn)則加入樣本點(diǎn)來更新Kriging模型，提高模型精確度，重復(fù)第一階段，直到滿足終止條件。具體優(yōu)化步驟為：

步驟1：根據(jù)空間約束條件，在設(shè)計(jì)范圍內(nèi)對(duì)優(yōu)化變量采取拉丁超立方抽樣，選取分布均勻的樣本點(diǎn)，通過有限元仿真軟件計(jì)算樣本點(diǎn)的響應(yīng)值。

步驟2：通過樣本點(diǎn)建立Kriging模型。

步驟3：采用多種群遺傳算法對(duì)Kriging模型進(jìn)行優(yōu)化，求解Pareto前沿。

步驟4：計(jì)算EI準(zhǔn)則表達(dá)式，將EI值最大的點(diǎn)作為新的樣本點(diǎn)加入到模型中，提高模型在最優(yōu)解區(qū)域的精確度。

步驟5：判斷EI值是否達(dá)到最大樣本點(diǎn)數(shù)，滿足條件則輸出Pareto前沿，否則返回步驟2。

優(yōu)化流程如圖13所示。

4.1"第一階段優(yōu)化

建立Kriging模型把系統(tǒng)響應(yīng)與變量之間的關(guān)系通過已知樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行構(gòu)造，并采用多種群遺傳算法進(jìn)行尋優(yōu)。

首先，采用拉丁超立方抽樣的方法在設(shè)計(jì)范圍內(nèi)選取初始樣本點(diǎn)，抽樣維度bound設(shè)置為3，樣本點(diǎn)數(shù)n設(shè)置為50。通過有限元仿真軟件計(jì)算50個(gè)樣本點(diǎn)的平均推力、推力波動(dòng)和推力體積比，建立低精確度的Kriging模型，部分樣本點(diǎn)如表5所示。Kriging模型通過MATLAB中dace工具箱建立，其回歸部分為二次型，隨機(jī)部分采用高斯函數(shù)。

其次，設(shè)置多種群遺傳算法初始種群數(shù)目MP=10。將交叉算子Pc、變異算子Pm作用于種群，兩種算子計(jì)算過程為：

Pc（g）=Pc（1）+c×frand（MP，1）；

Pm（g）=Pm（1）+m×frand（MP，1）。（27）

式中：初代交叉算子Pc（1）=0.7，初代變異算子Pm（1）=0.001；c、m分別交叉運(yùn)算和變異算子操作區(qū)間，取[0.7，0.9]、[0.01，0.05]；frand為隨機(jī)數(shù)函數(shù)，產(chǎn)生[0，1]間隨機(jī)數(shù)的MP×1矩陣。種群P（t）經(jīng)過選擇后，進(jìn)行交叉和變異運(yùn)算后得到下一代種群P（t+1），準(zhǔn)備下一次遺傳操作。若滿足算法終止條件，則輸出Pareto前沿。

4.2"第二階段優(yōu)化

EI加點(diǎn)準(zhǔn)則在可能出現(xiàn)最優(yōu)解的區(qū)域選擇新樣本點(diǎn)，加入新樣本點(diǎn)更新Kriging模型，保證了模型的高精確度。EI準(zhǔn)則計(jì)算的是變量給改進(jìn)過程帶來的期望值，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中：Ymin為已知樣本點(diǎn)中的最優(yōu)解；Ymin=min[y（X1），y（X2），…，y（Xn）]；X為設(shè)計(jì)變量的向量；y（X）為模型預(yù)測(cè)最優(yōu)解（第一階段優(yōu)化后的Pareto前沿）；s（X）為模型預(yù)測(cè)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差；Φ為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累計(jì)概率函數(shù)；為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)。新樣本點(diǎn)的y（X）小于Ymin則認(rèn)為可以改進(jìn)模型，取新樣本點(diǎn)為EI（X）最大時(shí)對(duì)應(yīng)的變量如下：

4.3"優(yōu)化結(jié)果分析

設(shè)置加點(diǎn)50次為優(yōu)化終止條件，優(yōu)化結(jié)束后，加點(diǎn)過程與優(yōu)化后的Pareto前沿如圖14所示，新加樣本的響應(yīng)值明顯優(yōu)于初始樣本，3個(gè)優(yōu)化目標(biāo)使Pareto前沿為三維空間分布。

為了得到復(fù)合優(yōu)化目標(biāo)的最優(yōu)解，分析Pareto前沿，選擇圖14（d）中的A、B、C三點(diǎn)作為優(yōu)化設(shè)計(jì)解，并與初始設(shè)計(jì)進(jìn)行比較。A點(diǎn)推力體積比最大，但推力波動(dòng)也較大。C點(diǎn)對(duì)推力波動(dòng)有明顯抑制效果，但是平均推力和推力體積比較低。B點(diǎn)位于軌跡中心處，對(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì)目標(biāo)的權(quán)衡達(dá)到最佳，B點(diǎn)周圍的解是最佳的選取區(qū)域。在B點(diǎn)附近選擇3個(gè)候選點(diǎn)，候選點(diǎn)的優(yōu)化結(jié)果和設(shè)計(jì)參數(shù)如表6所示。

5"電磁性能比較與經(jīng)濟(jì)性分析

為了證明本文THCPPMLSM結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的正確性和實(shí)用價(jià)值，在有限元仿真軟件中進(jìn)行電磁仿真，對(duì)電機(jī)的電磁性能和經(jīng)濟(jì)性進(jìn)行分析。以表6中候選點(diǎn)1的設(shè)計(jì)參數(shù)作為THCPPMLSM的優(yōu)化結(jié)果，將HCPPMLSM、DHPMLSM和THCPPMLSM進(jìn)行比較。為了保證對(duì)比結(jié)果的可靠性，3種電機(jī)參數(shù)設(shè)置相同，單個(gè)永磁體體積相同。

5.1"電磁性能比較

在負(fù)載狀態(tài)下，3種電機(jī)的動(dòng)子受到的磁阻力和電磁推力曲線如圖15所示。磁阻力是造成推力波動(dòng)的主要原因，會(huì)影響電機(jī)定位精確度，從圖15（a）可知，相比于矩形永磁體的HCPPMLSM，永磁體經(jīng)過設(shè)計(jì)的DHPMLSM和THCPPMLSM在不同程度上抑制了磁阻力，其中THCPPMLSM在運(yùn)行過程中受到磁阻力最小。在電磁推力方面，從圖15（b）可知，THCPPMLSM的電磁推力波動(dòng)程度最低，與磁阻力的分析結(jié)果相相符合。

進(jìn)一步對(duì)電機(jī)性能進(jìn)行定量分析，對(duì)比指標(biāo)的數(shù)值結(jié)果如表7所示。綜合考察表7數(shù)據(jù)可知，相比于HCPPMLSM（M1），THCPPMLSM（M3）在平均推力上提高63.1%，磁阻力峰峰值降低92.6%，推力波動(dòng)降低76.6%，說明梯形Halbach磁極可以大幅降低磁阻力干擾。相比于DHPMLSM（M2），THCPPMLSM（M3）具有更好推力波動(dòng)抑制效果，并在永磁體利用率上，動(dòng)子部分耦合永磁體體積為DHPMLSM（M2）的69.5%，推力體積比提高28.1%，說明梯形Halbach交替極在保證電機(jī)出力性能良好的同時(shí)，永磁體利用率更高。

最后，在仿真軟件中依次設(shè)置0.5～8 A的電流激勵(lì)，計(jì)算不同電流激勵(lì)情況下3種電機(jī)的推力波動(dòng)和平均推力的定量結(jié)果，驗(yàn)證在不同電流激勵(lì)的工況下PMLSM的適應(yīng)性。在推力波動(dòng)方面，如圖16（a）所示，HCPPMLSM推力波動(dòng)最大，并且隨電流變化有著較大的不穩(wěn)定性，而DHPMLSM和THCPPMLSM的推力波動(dòng)分別穩(wěn)定在16%和7%左右。推力方面，從圖16（b）可知，在THCPPMLSM的動(dòng)子部分耦合永磁體體積為DHPMLSM的69.5%的情況下，平均推力差距只在14 N以內(nèi)，并且推力表現(xiàn)優(yōu)于同等永磁體用量的HCPPMLSM。

5.2"經(jīng)濟(jì)性分析

電機(jī)的經(jīng)濟(jì)性評(píng)價(jià)指標(biāo)以一定的永磁體用量為基礎(chǔ)，以電機(jī)中永磁體的利用率來評(píng)價(jià)，若永磁體用量越少，且永磁體利用率越高，則表明電機(jī)在經(jīng)濟(jì)性方面越具有實(shí)用價(jià)值。

經(jīng)濟(jì)性分析的評(píng)價(jià)指標(biāo)如圖17所示，用柱狀圖表示永磁體用量，以THCPPMLSM為標(biāo)準(zhǔn)，顯示3種電機(jī)的永磁體用量的倍率關(guān)系。用點(diǎn)線圖表示永磁體的利用率，顯示電機(jī)在1～8 A的電流激勵(lì)下的永磁體利用率。分析圖17可知，DHPMLSM的永磁體用量是兩個(gè)交替極結(jié)構(gòu)電機(jī)的1.44倍，本文提出的THCPPMLSM在永磁體用量上更少；在同等電流條件下，可以看出THCPPMLSM的永磁體利用率更高，通過綜合考慮，經(jīng)濟(jì)性分析表明本文提出的THCPPMLSM具有更高的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

6"結(jié)"論

本文提出梯形Halbach交替極永磁同步直線電機(jī)，并對(duì)電機(jī)的電磁特性進(jìn)行了分析與優(yōu)化。針對(duì)交替極結(jié)構(gòu)中凸鐵極與永磁體磁場(chǎng)不對(duì)稱問題，提出了永磁體錯(cuò)極排布以優(yōu)化氣隙磁場(chǎng)分布的結(jié)構(gòu)。為了在降低永磁體用量的同時(shí)提高電機(jī)出力性能，采用了結(jié)合EI加點(diǎn)準(zhǔn)則的Kriging模型對(duì)磁極結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化。經(jīng)過對(duì)電機(jī)磁極結(jié)構(gòu)的分析與研究，得到以下結(jié)論：

1）首先，針對(duì)電機(jī)系統(tǒng)分別在靜磁場(chǎng)狀態(tài)、瞬態(tài)空載狀態(tài)以及負(fù)載狀態(tài)，對(duì)比了HCPPMLSM、DHPMLSM和THCPPMLSM這3種電機(jī)的電磁性能，并對(duì)交替極進(jìn)行錯(cuò)極排布的優(yōu)化。經(jīng)過對(duì)比，THCPPMLSM可有效抑制氣隙磁場(chǎng)中的5次與9次諧波，擁有更大的永磁體利用率。

2）采用等效磁化強(qiáng)度的方法定性分析了磁極結(jié)構(gòu)對(duì)電機(jī)性能的影響，結(jié)合EI加點(diǎn)準(zhǔn)則的Kriging快速計(jì)算模型和多種群遺傳算法對(duì)關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化。優(yōu)化后，THCPPMLSM的平均推力提升了21.1%，推力體積比提升70.8%，推力波動(dòng)降低55.6%。

3）相比于同等永磁體用量的HCPPMLSM，THCPPMLSM在不同工況下具有更好的穩(wěn)定性，推力波動(dòng)最大可以降低85.9%，平均推力最大可提升51.3%，更適用于高精確度加工場(chǎng)景。相比于DHPMLSM，THCPPMLSM的推力波動(dòng)降低了55.7%左右，在達(dá)到相近的推力水平時(shí)，永磁體用量為DHPMLSM的69.5%。

最后通過經(jīng)濟(jì)性分析，綜合考慮了電機(jī)永磁體的用量成本與利用率，相比于HCPPMLSM和DHPMLSM，THCPPMLSM具有更高的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

參 考 文 獻(xiàn)：

［1］"盧琴芬， 沈燚明， 葉云岳.永磁直線電動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)及研究發(fā)展綜述[J]. 中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)， 2019， 39（9）： 2575.

LU Qinfen， SHEN Yiming， YE Yunyue. Development of permanent magnet linear synchronous motors structure and research[J]. Proceedings of the CSEE， 2019， 39（9）： 2575.

［2］"汪旭東， 肖馳， 封海潮. U型永磁開關(guān)磁鏈直線電機(jī)特性分析及優(yōu)化[J]. 電機(jī)與控制學(xué)報(bào)， 2021， 25（2）： 132.

WANG Xudong， XIAO Chi， FENG Haichao.Characteristic analysis and optimization of Utype permanent magnet fluxswitching linear motor[J].Electric Machines and Control，2021，25（2）：132.

［3］"CAO R， JIN Y， ZhANG Z， et al. A new doublesided linear fluxswitching permanent magnet motor with yokeless mover for electromagnetic launch system[J]. IEEE Transactions on Energy Conversion， 2019， 34（2）： 680.

［4］"TAN Q， WANG M， LI L， et al. Pulsating magnetic field of permanent magnet linear synchronous motor and its influence on detent force[J]. IEEE Transactions on Energy Conversion， 2021， 36（2）： 703.

［5］"周游， 石超杰， 曲榮海，等. 磁場(chǎng)調(diào)制永磁直線電機(jī)拓?fù)溲芯烤C述[J]. 中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)， 2021， 41（4）： 1469.

ZHOU You， SHI Chaojie， QU Ronghai， et al. Overview of fluxmodulation linear permanent magnet machines[J]. Proceedings of the CSEE， 2021， 41（4）： 1469.

［6］"樊英， 譚超. 內(nèi)置式交替極永磁同步電機(jī)性能及機(jī)理研究[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào)， 2018， 33（11）： 2414.

FAN Ying， TAN Chao. Analysis of electromagnetic performance and principles in inserted consequentpole permanent magnet synchronous machines[J]. Transactions of China Electrotechnical Society， 2018， 33（11）： 2414.

［7］"許孝卓， 孫震， 汪旭東， 等. Halbach交替極永磁同步直線電機(jī)特性分析[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào)， 2019， 34（9）： 1825.

XU Xiaozhuo， SUN Zhen， WANG Xudong， et al. Characteristic of a novel permanent magnet linear synchronous motor with Halbach array consequentpole[J]. Transactions of China Electrotechnical Society， 2019， 34（9）： 1825.

［8］"宗開放， 趙吉文， 宋俊材，等. 基于V型線圈永磁同步直線電機(jī)推力波動(dòng)抑制[J]. 中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)， 2019， 39（22）： 6736.

ZONG Kaifang， ZHAO Jiwen， SONG Juncai， et al. Thrust ripple reduction based on Vcoil permanent magnet synchronous linear motors[J]. Proceedings of the CSEE， 2019， 39（22）： 6736.

［9］"LI Y X， ZHU Z Q， THOMAS A S， et al. Novel modular fractional slot permanent magnet machines with redundant teeth[J]. IEEE Transactions on Magnetics， 2019， 55（9）： 1.

［10］"陳湞斐， 湯俊， 馬宏忠，等. 星–三角接法的多層繞組分?jǐn)?shù)槽永磁電機(jī)諧波磁動(dòng)勢(shì)分析[J]. 中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)， 2021， 41（17）： 6060.

CHEN Zhenfei， TANG Jun， MA Hongzhong， et al. Harmonic magnetomotive force analysis of multilayerwinding FSCWPM machine with stardelta hybrid connection[J]. Proceedings of the CSEE， 2021， 41（17）： 6060.

［11］"呂剛， 張賢. 不同槽配合格柵型直線感應(yīng)電機(jī)電磁特性研究[J]. 電機(jī)與控制學(xué)報(bào)， 2019， 23（5）： 18.

L Gang， ZHANG Xian. Investigation of electromagnetic characteristics of linear induction motor with laddertype secondary under different slot combination[J]. Electric Machines and Control， 2019， 23（5）： 18.

［12］"蘭志勇，謝斌，祝滌非，等. 基于V型三段磁極錯(cuò)位削弱永磁直線電機(jī)推力波動(dòng)的方法[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào)， 2021， 36（16）： 3474.

LAN Zhiyong， XIE Bin， ZHU Difei， et al. Method for weakening thrust fluctuation of permanent magnet linear motor based on Vshaped threestage magnetic pole misalignment[J].Transactions of China Electrotechnical Society， 2021， 36（16）： 3474.

［13］"彭兵， 李麗萍， 張囡，等. 雙V型結(jié)構(gòu)削弱永磁直線電機(jī)磁阻力波動(dòng)方法[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào)， 2017， 32（22）： 108.

PENG Bing， LI Liping， ZHANG Nan， et al. A method for reducing detent force fluctuation by doubleVshaped structure in permanent magnet linear motor[J].Transactions of China Electrotechnical Society， 2017， 32（22）： 108.

［14］"彭兵， 劉鐵法， 張囡，等. 凹型端齒削弱永磁直線電機(jī)端部力波動(dòng)方法[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào)， 2015， 30（7）： 119.

PENG Bing， LIU Tiefa， ZHANG Nan， et al. A method for reducing the end effect force fluctuation by the concave profile endtooth in permanent magnet linear motors[J]. Transactions of China Electrotechnical Society， 2015， 30（7）： 119.

［15］"彭兵， 張囡， 夏加寬，等. 永磁直線電機(jī)端部效應(yīng)力的解析計(jì)算[J]. 中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)， 2016， 36（2）： 547.

PENG Bing， ZHANG Nan， XIA Jiakuan， et al. Analytical calculation for end effect forces in permanent magnet linear motors[J]. Proceedings of the CSEE， 2016， 36（2）： 547.

［16］"韓正清， 許金， 芮萬智， 等. 高速短初級(jí)直線感應(yīng)電動(dòng)機(jī)等效電路模型及時(shí)變參數(shù)辨識(shí)[J]. 電機(jī)與控制學(xué)報(bào)， 2021， 25（11）： 8.

HAN Zhengqing， XU Jin， RUI Wanzhi， et al.Equivalent circuit model and timevarying parameter identification of high speed short primary linear induction motors[J]. Electric Machines and Control， 2021， 25（11）： 8.

［17］"TAN Q， HUANG X， LI L， et al. Magnetic field analysis and flux barrier design for modular permanent magnet linear synchronous motor[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2020， 67（5）： 3891.

［18］"楊陽， 趙吉文， 宋俊材，等. 基于深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的無鐵心永磁同步直線電機(jī)結(jié)構(gòu)優(yōu)化研究[J]. 中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)， 2019， 39（20）： 6085.

YANG Yang， ZHAO Jiwen， SONG Juncai， et al. Structural optimization of aircore permanent magnet synchronous linear motors based on deep neural network models[J]. Proceedings of the CSEE， 2019， 39（20）： 6085.

［19］"SONG J， DONG F， ZHAO J， et al. An efficient multiobjective design optimization method for a PMSLM based on an extreme learning machine[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2019， 66（2）： 1001.

［20］"張魯， 寇寶泉， 趙斌超，等. 新型Halbach次級(jí)結(jié)構(gòu)永磁同步直線電機(jī)[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào)， 2013， 28（7）： 39.

ZHANG Lu， KOU Baoquan， ZHAO Binchao， et al. A novel synchronous permanent magnet linear motor with Halbach secondary structure[J].Transactions of China Electrotechnical Society， 2013， 28（7）： 39.

［21］"S P J. Optimal latinhypercube designs for computer experiments[J].Journal of Statistical Planning amp; Inference，1994，1（39）： 95.

［22］"李立毅， 唐勇斌， 劉家曦，等. 多種群遺傳算法在無鐵心永磁直線同步電機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用[J]. 中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)， 2013， 33（15）： 69.

LI Liyi， TANG Yongbin， LIU Jiaxi， et al. Application of the multiple population genetic algorithm in optimum design of aircore permanent magnet linear synchronous motors[J]. Proceedings of the CSEE， 2013， 33（15）： 69.

［23］"ZHANG Y， YANG Z， YU M， et al. Analysis and design of doublesided air core linear servo motor with trapezoidal permanent magnets[J]. IEEE Transactions on Magnetics， 2011， 47（10）： 3236.

［24］"汪偉濤， 趙吉文， 宋俊材，等. 雙層反向傾斜線圈永磁同步直線電機(jī)的設(shè)計(jì)與優(yōu)化[J]. 中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)， 2020， 40（3）： 980.

WANG Weitao， ZHAO Jiwen SONG Juncai， et al. Design and optimization of double layer reverse dip coil permanent magnet synchronous linear motors[J]. Proceedings of the CSEE， 2020， 40（3）： 980.

［25］"WANG W， ZHAO J， SONG J， et al. Thrust performance improvement for PMSLM through doublelayer reverse skewed coil and WRFMKH method[J]. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics， 2020， 25（6）： 2950.

［26］"黃燕，李露，蔣孝文，等. 基于Kriging和NSGAⅢ算法的汽車交流發(fā)電機(jī)溫度場(chǎng)預(yù)測(cè)模[J]. 電機(jī)與控制學(xué)報(bào)， 2022， 21（1）： 86.

HUANG Yan， LI Lu，JIANG Xiaowen， et al. Prediction of temperature field for automative generator based on Kriging and NSGAⅢ algorithms[J]. Electric Machines and Control， 2022， 21（1）： 86.

（編輯：劉素菊）

收稿日期： 2022-06-28

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（51867012）

作者簡(jiǎn)介：繆仲翠（1971—），女，副教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)榻涣麟姍C(jī)先進(jìn)控制、直線驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)方面；

蘇"乙（1997—），男，碩士研究生，研究方向?yàn)橹本€電機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)及其溫度場(chǎng)；

張"磊（1996—），男，碩士研究生，研究方向?yàn)橹本€電機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)及其控制；

趙"璇（1998—），女，碩士研究生，研究方向?yàn)殡妱?dòng)汽車輪轂電機(jī)轉(zhuǎn)矩優(yōu)化分配；

李"燕（1998—），女，碩士研究生，研究方向?yàn)槲逑嘤来磐诫姍C(jī)容錯(cuò)控制。

通信作者：蘇"乙