葉新和 王春梅

［摘要］ 發(fā)展學生數(shù)學學科發(fā)現(xiàn)問題的能力是中小學數(shù)學課程標準的一貫要求，數(shù)學章節(jié)復習能有效發(fā)展學生發(fā)現(xiàn)問題的能力。本文以“分式”章節(jié)復習為例，介紹創(chuàng)設情境策略、外顯錯誤策略、生成問題策略、形成落差策略、對立信息策略等發(fā)現(xiàn)問題的有效策略。

［關鍵詞］ 數(shù)學章節(jié)復習；發(fā)現(xiàn)問題能力；教學策略

一、數(shù)學章節(jié)復習用于發(fā)現(xiàn)問題能力與培養(yǎng)現(xiàn)狀

從課程標準來看，“發(fā)現(xiàn)問題能力”的要求一以貫之?！读x務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》中相關表述，均在“總目標”中明確要求發(fā)展學生運用數(shù)學知識與方法發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力。關于發(fā)現(xiàn)問題能力的地位與作用，實驗版高中課程標準在總目標部分提出“提高提出、分析和解決問題的能力”；修訂版高中課程標準進一步明確提出了“發(fā)現(xiàn)問題能力”及培養(yǎng)“四能”。這就使得“數(shù)學問題”在課程中處于更加突出的地位。問題解決，通過“四能”在能力培養(yǎng)的層次上做了“全程化”的要求，這是高中數(shù)學課程目標以數(shù)學學科核心素養(yǎng)為導向的新要求。

當前，章節(jié)復習用于發(fā)現(xiàn)問題能力培養(yǎng)的現(xiàn)狀不容樂觀。在中國知網(wǎng)中依次選擇“學術期刊”“高級檢索”，在“主題”上輸入“發(fā)現(xiàn)問題”“復習”，“來源類別”選擇“學術期刊”進行搜索，共得到64條搜索結(jié)果，其中只有兩篇文章的啟迪意義相對較高，然而兩文均沒有給出可用于發(fā)展學生發(fā)現(xiàn)問題能力的具有推廣價值的教學策略。

就初中階段數(shù)學教材而言，通常學生每學期要學習4-6章內(nèi)容，如果通過章節(jié)復習形成發(fā)展學生發(fā)現(xiàn)問題能力的有效策略，對于落實課程標準的要求頗有價值。下面，基于蘇科版初中數(shù)學八年級下冊第10章“分式”這部分內(nèi)容，以其復習課部分教學片段為例，介紹筆者的研究認識，供讀者參考。

二、數(shù)學章節(jié)復習發(fā)展學生發(fā)現(xiàn)問題能力的策略

就“分式”的復習而言，用于發(fā)展學生發(fā)現(xiàn)問題能力的策略有創(chuàng)設情境策略、外顯錯誤策略、生成問題策略、形成落差策略和對立信息策略等。

（一）創(chuàng)設情境策略

創(chuàng)設合適的問題情境，將問題隱含在生活情境、數(shù)學情境或者其他學科情境中。面對結(jié)構(gòu)不良、信息不全的學習任務，學生便會發(fā)現(xiàn)問題。

【教學片段1】對于式子，你有何想法？

【剖析】此處僅僅提供式子，其他信息沒有提供，屬于試題結(jié)構(gòu)不良。由于跟平常任務不一樣，很多學生會一臉困惑，無所適從，也有的會提出疑惑：老師，你想讓我們干什么？這意味著學生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了問題。

【說明】在學生發(fā)現(xiàn)問題的基礎上，教師可略作提示，鼓勵學生提出一些問題。比如：（1）當x為何值時，分式有意義？分式值為0？（2）a=-2時，= ；（3）如果方程=4無解，求a的值。也

有學生試圖加以判斷，如：（4）當x=1時，分式無意義；（5）當a=-2x時，分式值為0；等等（為保持原汁原味，未作修改）。這樣，“分式”一章的知識梳理便可有效展開，可謂一舉多得。

（二）外顯錯誤策略

當忽視前提條件或者不能挖掘出隱含條件時，以及由于思維定式的原因，學生常常會形成錯誤判斷。教師適時識別外顯錯誤看法，可以有效發(fā)展學生發(fā)現(xiàn)問題的能力。

【教學片段2】對于試題“如果關于x的方程=

1的解是正數(shù)，那么a的取值范圍是 ”，老師對小明的答案“a＜-1”打了“×”。請你說明為什么老師會判錯。

【剖析】可以從隱含條件角度來分析：“方式方程的解為正數(shù)”隱含著分式方程有解，即相應整式方程的根不是增根，故要滿足條件“x-1≠0”。也可以從前提條件角度來分析：如果分式無意義便不存在分式

方程，更談不上“分式方程解為正數(shù)”，為此，首先要有“x-1≠0”。故而，正確答案：a＜-1且a≠-2。

【教學片段3】對于下題：化簡÷（x-），再從

-1、0、1、2中選擇一個你認為合適的數(shù)，作為x的值代入求值。

小明的解答過程為：

÷（x-）=÷x-÷=-·x=

-x=1。當x=1時，原式=0-1-1=-2。

請判斷他的解答是否正確。如不正確，指出其中的錯誤，并給出正確解答。

【剖析】小明的解答不正確，其中有3處錯誤：（1）除

法對于加減運算沒有分配率，第一步解答不正確；（2）分

數(shù)線具有括號作用，第三步解答不正確；（3）“x不可以取1”的限制條件比較隱蔽，可以通過找出顯性分母x、（x+1）和隱含分母（x2-1）來發(fā)現(xiàn)問題。為加深理解，此時可以讓學生再代入除式（x-）試算其結(jié)果。

正確解答：÷（x-）=÷=·=。當x=2時，原式=。

【說明】學生在學習“分式”時出現(xiàn)的錯誤較多，外顯錯誤能夠有效發(fā)展學生發(fā)現(xiàn)問題的能力；同時，由于以他人出錯的形式進行展示，也能較好地激發(fā)學生自己尋找錯誤的興趣，提升學習的成就感。

（三）生成問題策略

“問題可以是自己的疑惑，可以是自己的困難，也可以是自己的發(fā)現(xiàn)”，引導學生將解決問題過程中產(chǎn)生想法（疑惑、困難、發(fā)現(xiàn)等）盡可能地以新問題的形式呈現(xiàn)出來，有助于發(fā)展學生發(fā)現(xiàn)問題的能力，同時也讓學生的思維向縱深展開。

【教學片段4】（從新角度認識分式方程無解）

（1）x分別取-1、0、1、2.5時，求+的值。

追問1：對此，你有何想法？說說看。

（2）計算+。

追問2：+的值可能為一個不是1的數(shù)比

如4嗎？為什么？

（3）解方程+=4。

追問3：比較追問2和問題（3），你有何想法？說說看。

（4）如果不解方程+=4，你能直接判斷方程解的情況嗎？

追問4：對此，你有何想法？

（5）你能用新思路解方程=-1嗎？

【剖析】追問1、追問3、追問4聚焦“你有何想法”，不斷激發(fā)學生發(fā)現(xiàn)問題的能力。解答完問題（1）后容易產(chǎn)生的想法如下：（只要分式有意義）不管x取何值，分式+的值總為1。在解答完追問2和問題（3）后

容易產(chǎn)生的想法如下：這兩者之間會不會有一定的內(nèi)在聯(lián)系？能不能先計算（或化簡）分式方程等號左邊，再根據(jù)所得結(jié)果直接判斷分式方程無解？而解答完問題（4）后容易產(chǎn)生的想法如下：通過對分式方程等號兩邊進行運算（或化簡）來解方程挺有意思的；可以用分式運算的方法來說明分式方程是否無解；可以根據(jù)分式方程的具體特征選擇不同方法（分式運算或者去分母）來解分式方程等。

【說明】“分式方程無解”是此章節(jié)的一大難點，片段4擬巧妙突破，以此發(fā)展學生發(fā)現(xiàn)問題的能力。

（四）形成落差策略

布置解答要求略高于學生實際知識水平的任務，就完成任務所需的數(shù)學“四基”“四能”，學生實際掌握的“四基”“四能”與之存在一定的落差。這樣，學生難以完成任務，自然能發(fā)現(xiàn)問題。

【教學片段5】（教學片段4追問5）如果關于x的方程=m-有解，那么m的值為 ，此時方程的解為 。

【剖析】由教學片段4可知：只有當m=1時，=m-才有解?！扒蠓绞椒匠痰慕狻背Ｒ娝悸啡缦拢喝?/p>

分母得x-1=（x-2）+1。此時，無論得到0=0還是得到0x=0，由于學生欠缺相關知識會無所適從，從而發(fā)現(xiàn)問題。其實，根據(jù)方程根的定義可以發(fā)現(xiàn)：當x取任意實數(shù)時，方程0x=0都成立，從而方程0x=0的解為一切實數(shù)。也可以根據(jù)0乘以任何實數(shù)都等于0，得x為任意實數(shù)。注意到x=2是方程增根，因此x為不等于2的一切實數(shù)。故而，答案：1，x為不等于2的一切實數(shù)。

【說明】就本題的解答思路而言，有兩處知識落差。一處是解方程“0x=0”，學生僅接觸過一元一次方程，沒有接觸過“0x=0”這樣的方程。另一處是方程的解為“不等于2的一切實數(shù)”，方程解的個數(shù)為一個或者方程無解，學生容易理解，但從未接觸過解為無數(shù)個的情形，對此學生不容易理解與接受。有效對策是，抓住方程解的定義及0的性質(zhì)（0乘以任何數(shù)都等于0）來理解。在此基礎上，還要注意到前提條件（或者隱含條件）的限制（即使教師對此也是容易忽視的），如此才能得到正確答案。教學片段5如果借助方式運算來解答，也會因為存在知識落差而形成問題，讀者可自行分析。

（五）對立信息策略

在學習任務中有意識提供一些相互沖突甚至矛盾的信息，促使學生在完成任務的過程中發(fā)現(xiàn)問題?；蛘?，針對學生頭腦中已有的不夠全面、不夠深刻的看法，通過任務有意識地呈現(xiàn)一些不一致的信息，讓學生發(fā)現(xiàn)問題。

【教學片段6】（1）如果解關于x的方程=+時出現(xiàn)增根，那么增根是 。

（2）如果解關于x的方程=-時出現(xiàn)增根，那么增根一定是（ ）。

A.0或2 B.2 C.1 D.0

【剖析】兩題均讓學生先猜測再解答。第（1）題，學生往往認為“增根有2個”“增根是0與2”，當解方程后發(fā)現(xiàn)所得結(jié)果“增根只有1個”“x=0是增根”，并非自己最初的想法（第一次意識到信息有沖突），便會自行糾正錯誤認識。

對于第（2）題，可能有學生機械遷移第（1）題的結(jié)論，認為“增根有1個”“增根是0”，認為應該選D，然而，可能其他學生并不贊同該看法，因而難以準確判斷。此時，學生之間形成信息沖突，師生共同解決第（2）題。分式方程去分母得到方程（a-2）x=-8。由于增根是相應整式方程的根，并使得分式分母值為0，從而“增根可能是2，也可能是0”。這就需要討論：（1）將x=2代入得a=-2；（2）將x=0代入得0（a-2）=-8。對此，學生不知該如何處理。根據(jù)方程根的定義，此時找不到符合條件a的值。然而，實數(shù)a是存在的（如果a不存在，方程便不存在，便談不上方程有增根），信息之間有矛盾，說明x≠0。最終學生發(fā)現(xiàn)，一開始的猜測并不正確，應該是“增根為2”，正確答案選B。

【說明】教學片段6解決問題中數(shù)次出現(xiàn)了信息對立，在給學生留下深刻印象的同時，也能夠較好地發(fā)展其發(fā)現(xiàn)問題的能力。

［本文系江蘇省規(guī)劃課題“發(fā)展中學生數(shù)學學科發(fā)現(xiàn)問題能力的實踐研究”（項目編號：E-c/2015/21）和江蘇省規(guī)劃課題“基于深度學習提升初中生數(shù)學‘四能的實踐研究”（項目編號：SJMJ/2022/15）階段性研究成果］

［參考文獻］

［1］史寧中，王尚志.《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》解讀[M].北京：高等教育出版社，2020.

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［3］吳春蘭，史紅靜.從整體上探索發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學問題之途——以高中復習課“導數(shù)應用”為例[J].數(shù)學通報，2021（01）.

［4］葉新和.數(shù)學章節(jié)復習的有效探索——以“分式”復習為例[J].教學與管理（中學版），2013（04）.

［5］史寧中.《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

［6］楊裕前，董林偉.義務教育教科書數(shù)學八年級下冊[M].南京：江蘇鳳凰科學技術出版社，2013.

葉新和? ?江蘇省泰州醫(yī)藥高新區(qū)（高港區(qū)）教育局，江蘇省特級教師，正高級教師。

王春梅? ?江蘇宿遷沭陽如東實驗學校，江蘇省特級教師，正高級教師。