殷振杰

*基金項目：浙江警察學院2023年度校級教育教學改革、課堂教學改革項目“OBE理念下的新時代公安院?！陡叩葦?shù)學》課程創(chuàng)新實踐研究”（項目編號：20230105）.

摘? 要：本文在OBE理念下對中國數(shù)學課堂HPM教育進行價值研究，通過對我國數(shù)學史進行深入梳理分析，由實例分析對比中西方在極限、算學、求解高次方程方面的歷史成就，有助于在課堂教學中提升學生的民族自豪感和愛國主義情懷，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣.關(guān)于中西方的差距問題采用辯證的觀點看待，承認差距、銘記教訓是為了更好地推動中國數(shù)學的繼承與發(fā)展.并且對于中國數(shù)學未來發(fā)展提出了“強基培元，韜光養(yǎng)晦，奮力實現(xiàn)中國夢”的觀點以及對未來的展望.

關(guān)鍵詞：OBE；HPM；數(shù)學教育；文化自信

“以史為鑒，可以知興替.”O(jiān)BE（Outcome Based Education）理念，即以成果為導向，以學生為本的教育理念，我們通過研究我國數(shù)學發(fā)展歷史，發(fā)現(xiàn)數(shù)學不再是單單作為科學研究的運算輔助工具，它因其背后所蘊含的悠久歷史而散發(fā)出獨特的芳香，在中國數(shù)學課堂教學中運用HPM（History and Pedagogy of Mathematics）教育理論，具有極深遠的意義和價值.中共中央總書記習近平在前不久主持中共中央政治局第三次集體學習時強調(diào)，加強基礎研究，是實現(xiàn)高水平科技自立自強的迫切要求，是建設世界科技強國的必由之路.將我國這寶貴的數(shù)學發(fā)展史融入到基礎數(shù)學日常的教學環(huán)節(jié)之中，起到“潤物細無聲”的教學效果，以學生為中心，站在學生的角度去教學，能夠把抽象的數(shù)學知識更加“接地氣”的傳授，激發(fā)中國學生學習數(shù)學的興趣，也便于學生更好地理解所學的抽象數(shù)學知識，讓學生感受到中國古代數(shù)學家為數(shù)學發(fā)展所做出的艱苦卓絕的努力和來之不易的成功，切身體會到數(shù)學知識經(jīng)由歷代中國數(shù)學家不斷嘗試、不斷優(yōu)化更新的形成過程，進一步激發(fā)當代青年學生的愛國主義情懷，增強民族文化自信.

1? 輝煌的歷史成就讓我們有理由文化自信

古代中國數(shù)學歷史和世界數(shù)學史相比，既是相互獨立發(fā)展，又有驚人的相似之處.［1］

東方不乏“極限”思想的應用.早在春秋時期，我國的杰出哲學家莊子便發(fā)揮其異于常人的抽象思維能力，提出了“一尺之棰，日取其半，萬古不竭”，指的是一尺長的木棒，第一天取去一半，第二天再取去剩下的一半，以后每天都取去剩下的一半，這樣永遠也取不完.［2］而極限這一概念直到十九世紀才被西方數(shù)學家準確而清晰地描述出來.

三國時期的數(shù)學家劉徽曾創(chuàng)造性地運用極限的方式論證了《九章算術(shù)》中關(guān)于多面體體積求解問題中的陽馬術(shù)，后被稱為“劉徽原理”，記錄在其《九章算術(shù)注》之中.其發(fā)明的“割圓術(shù)”更是被史學記載為中國數(shù)學史上最早建立可靠理論以及最早建立關(guān)于圓周率精確度的一種迭代算法，即“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”.從圓的內(nèi)接正多邊形中得到的徽率便是圓周率，計算過程比西方數(shù)學家阿基米德和托勒密的割圓術(shù)更加嚴謹簡潔.為后來祖沖之計算圓周率奠定了堅實的理論基礎.在數(shù)學課堂上若將上述例子作為數(shù)列章節(jié)或極限章節(jié)的引入，更能激發(fā)學生的民族自豪感.

中國“算學”乃國之瑰寶.唐代初年時期，唐高宗欽定了十部數(shù)學名著作為“算經(jīng)十書”的教材，在當時的最高學府國子監(jiān)算學館內(nèi)進行傳授，其中就有王孝通的《緝古算經(jīng)》，作為其一生之心血結(jié)晶，特別是“開帶從立方”的方法在二次內(nèi)插法和一元三次方程的理論與應用中的體現(xiàn)，對中外數(shù)學家都有極大的啟發(fā)和影響.

作為基本能代表“明初數(shù)學”發(fā)展水平的《九章算法比類大全》，是吳敬用他十余年的時間對各種數(shù)學問題進行收集整理、歸納研究所完成的十卷著作.其中既包含楊輝的《詳解九章算法》、劉徽的《海島算經(jīng)》、王孝通的《緝古算經(jīng)》等典籍中的問題，也有意識地提倡學習古代數(shù)學，更注重實用的數(shù)值計算問題，創(chuàng)造性地引入了起源于阿拉伯的“寫算”乘法并加以改進，這一舉措影響了中國古代數(shù)值計算由算籌演變?nèi)〈鸀樗惚P的過程，“鋪地錦”也體現(xiàn)在后來珠算之父程大位所著的《算法統(tǒng)宗》之中，為中國數(shù)學的發(fā)展注入了強有力的活力助推劑.

享譽世界的萬字數(shù)學著作《算學寶鑒》是我國第一部珠算書，由明清數(shù)學家王文素所創(chuàng)，書中文字言簡意賅，內(nèi)容貼近生活，知識廣泛、算法嚴謹、公式先進，書中的“開方本源圖”甚至比1544年德國數(shù)學家施蒂費爾所著的《整數(shù)算術(shù)》時間更早，算法更完善，至今依舊被學者所稱贊，被視為當時算學界的頂峰.

求解高次方程問題在宋元時期達到了中國數(shù)學發(fā)展的巔峰.在李治所著的《測圓海鏡》和《益古演段》中出現(xiàn)了利用“天元”未知數(shù)的概念建立方程的方法，其與秦九韶分別獨立將記號O表示為空位，從而完善了中國十進制.

秦九韶的《數(shù)書九章》更被譽為一部劃時代的數(shù)學巨著，內(nèi)容之精妙絕倫，影響之巨大深遠，令后世敬仰.在世界范圍內(nèi)求解不定方程的問題中，書中的“大衍求一術(shù)”可作為中國獨樹一幟的求解方法，亦被稱為“中國剩余定理”，早于西方高斯建立的同余定理.特別是“正負開方術(shù)”在任意高次方程的數(shù)值解法問題上更早于英國霍納的同類型解法.

楊輝不僅對當時的籌算乘除計算技術(shù)和縱橫圖進行改進，而且在《詳解九章算法》中記錄了賈憲的二項式展開系數(shù)規(guī)律并歸納為“開方作法源圖”，可以迅速地作開方計算，后被稱為楊輝三角.

朱世杰所著的《四元玉鑒》中，不僅創(chuàng)造性地提出了“四元術(shù)”，用于求多元高次方程組的解，后稱為秦九韶算法，早于西方和其類似的霍納算法，而且還創(chuàng)造性地提出了“垛積術(shù)”和“招差術(shù)”，也就是現(xiàn)在所稱的“朱世杰恒等式”，用于高階等差數(shù)列求和及高次內(nèi)插法之中，完善了在《授時歷經(jīng)》中許衡所用的“招差術(shù)”，為古代數(shù)學科學的發(fā)展做出了巨大的貢獻.朱世杰的數(shù)學算法與后來牛頓和泰勒的工作有著顯著的聯(lián)系.牛頓插值公式和泰勒公式是微積分學科中的經(jīng)典理論，而這些理論的雛形可以追溯到朱世杰的成果.牛頓通過巧妙地運用“垛積術(shù)”和“招差術(shù)”等方法，得到了任意次數(shù)的多項式的插值公式，而泰勒則通過引入極限的概念，推導出了泰勒級數(shù)和泰勒展開.這種歷史上的連續(xù)性，體現(xiàn)了數(shù)學思想的漸進演化，為數(shù)學課堂教學中學生理解數(shù)學的發(fā)展歷程提供了寶貴的線索.

2? 承認差距，銘記教訓，“師夷長技以制夷”

中國數(shù)學史源遠流長，充滿了輝煌的成就和令人深思的歷史變革.在這個漫長的歷史長河中，有著一些關(guān)鍵時刻，其中有的數(shù)學家的創(chuàng)新和思想影響至今.元代數(shù)學家朱世杰就是其中之一，他的算法貢獻為數(shù)學領域帶來了新的視角.“四元術(shù)”“垛積術(shù)”和“招差術(shù)”等算法的提出標志著一次數(shù)學的創(chuàng)新浪潮.這些算法在當時的數(shù)學發(fā)展中起到了推動的作用，為中國數(shù)學的發(fā)展注入了新的活力.特別是“招差術(shù)”，其實質(zhì)是一種離散數(shù)學中的微積分，為后來微積分學科的發(fā)展提供了有力的基礎.朱世杰的貢獻在數(shù)學發(fā)展史上占有重要地位.然而，盡管朱世杰在數(shù)學上的貢獻將中國數(shù)學推至一個新的頂峰，卻未能在當時迎來連續(xù)微積分等理論的發(fā)展.這或許反映出當時數(shù)學家在理論和實際應用之間的平衡，而未能深入挖掘理論的潛力.

中國數(shù)學的發(fā)展并非一帆風順，在歷史上也經(jīng)歷過艱難時期.明代開始推崇的八股文模式的科舉制度對數(shù)學學科的發(fā)展產(chǎn)生了深遠的影響.八股文模式的科舉取士歷經(jīng)四百余年，直到清末戊戌變法才廢除.這一制度使得數(shù)學學科在科舉選才考試中的地位大幅度下降，考試內(nèi)容空洞，格式單一且嚴格，導致了數(shù)學的停滯.因為考試要求固定的格式，數(shù)學家在此背景下往往更注重于應試技巧，而非深入理論進行探討，這制約了數(shù)學理論的深度發(fā)展.與此同時，世界的數(shù)學發(fā)展并未停滯.解析幾何和微積分的誕生，將世界數(shù)學發(fā)展從初等數(shù)學時期推向了一個史無前例的變量數(shù)學時期.西方數(shù)學在這一時期取得了巨大的進展，而中國數(shù)學逐漸與世界數(shù)學在這四百余年的時光中拉開了巨大的鴻溝.科技和數(shù)學的飛速發(fā)展讓中國數(shù)學不得不反思和面對自身的滯后之處.近現(xiàn)代，盡管我國數(shù)學發(fā)展有所起色，但相對于西方國家的數(shù)學發(fā)展仍顯得相對緩慢.

在這個背景下，我們需要正視與世界的差距，擺正心態(tài).歷史教訓告訴我們，不能忽視理論基礎的發(fā)展，不能因為短期的應試需求而犧牲了長遠的數(shù)學理論建設.中國數(shù)學歷史中的由強到衰的變化給我們提供了寶貴的經(jīng)驗教訓.我們要以謙卑的心態(tài)對待自身的數(shù)學發(fā)展，汲取國內(nèi)外數(shù)學先進的經(jīng)驗，不斷拓展數(shù)學的國際視野，使自己的數(shù)學理論更具前瞻性.為了彌補差距，需要學習國外優(yōu)秀的數(shù)學思想和方法.這不僅包括理論方面的研究，也包括數(shù)學應用的實踐經(jīng)驗.世界各國在數(shù)學研究、教育和應用領域都有獨到之處，我們應該敞開思維，接納全球數(shù)學發(fā)展的精華.正如古人所說，“師夷長技以制夷”，需要在國際化的大背景下，對遇到的數(shù)學難題進行攻堅克難，不斷提高我國數(shù)學的學科實力.然而，國際化并不等同于放棄本土特色.在學習國外經(jīng)驗的同時，我們需要保持對中國傳統(tǒng)數(shù)學的尊重和挖掘.古代中國數(shù)學在算法、天文學、地理學等領域有著獨特的貢獻，這些傳統(tǒng)智慧可以成為我們在面對現(xiàn)代問題時的寶貴資源.將傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代科技有機結(jié)合，也是推動中國數(shù)學發(fā)展的一種路徑.

為了實現(xiàn)數(shù)學的現(xiàn)代化，我們需要在教育體系中進行改革創(chuàng)新，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神、實際問題解決能力，讓學生在數(shù)學學科中培養(yǎng)更全面的素養(yǎng).這不僅包括理論知識的傳授，更要注重培養(yǎng)學生的實踐動手能力，使他們能夠?qū)⑺鶎W的數(shù)學知識應用于實際生活和科研中.教育的目標應該是培養(yǎng)出具備國際競爭力的數(shù)學人才，能夠在全球范圍內(nèi)參與和引領前沿的數(shù)學研究.此外，國際合作也是提升我國數(shù)學水平的一項關(guān)鍵策略.與國際上的數(shù)學組織、學術(shù)機構(gòu)進行深度合作，共同推動數(shù)學領域的前沿研究.通過與國際數(shù)學界的交流合作，我們可以更好地了解國際數(shù)學領域的最新進展，拓展自身研究的廣度和深度.在面對數(shù)學發(fā)展的巨大挑戰(zhàn)時，我們需要在國內(nèi)加強跨學科的合作.數(shù)學與其他學科的交叉融合將為創(chuàng)新提供更廣闊的空間.與物理學、計算機科學、生物學等學科的合作，可以激發(fā)新的數(shù)學問題，推動數(shù)學理論的發(fā)展.

中國數(shù)學有著豐富的傳統(tǒng)和輝煌的歷史.然而在現(xiàn)代科技發(fā)展的浪潮下，我們必須正視差距，深刻總結(jié)歷史經(jīng)驗，汲取國內(nèi)外的優(yōu)秀經(jīng)驗，不斷挖掘和發(fā)展自身的數(shù)學理論.通過教育體制的改革、學科合作的加強、國際交流的深化，我們有望在數(shù)學領域迎頭趕上，為世界數(shù)學的發(fā)展做出更大的貢獻.只有不斷地學習、創(chuàng)新，才能走出歷史的陰影，走向數(shù)學的新輝煌.

3? 強基培元，韜光養(yǎng)晦，奮力實現(xiàn)中國夢

數(shù)學是一門深奧而又古老的學科，其發(fā)展歷程充滿了輝煌的成就和激動人心的故事.欲修外先修內(nèi)的古訓，在數(shù)學教育領域同樣適用.數(shù)學發(fā)展的過程不是一蹴而就的，它需要經(jīng)過前期的不斷積累，打下堅實的基礎，才能在某一瞬間綻放出屬于自己的光彩.

中國數(shù)學歷史悠久，而近現(xiàn)代的數(shù)學發(fā)展更是涌現(xiàn)出一大批杰出的數(shù)學學者，他們的貢獻為中國數(shù)學的蓬勃發(fā)展奠定了堅實的基礎.華羅庚被譽為中國解析數(shù)論的創(chuàng)始人和開拓者，陳省身則是整體微分幾何之父，陳景潤證明了哥德巴赫猜想，丘成桐成為首位獲得菲爾茲獎的華人得主，蘇步青創(chuàng)立了中國微分幾何學派，柯召是中國近代數(shù)論的創(chuàng)始人，谷超豪首次提出高維、高階混合型方程的系統(tǒng)理論.這些學者通過幾十年的心血和奮斗，為中國數(shù)學的現(xiàn)代化發(fā)展做出了卓越的貢獻.然而，這些成果仍遠遠不夠.在當前，我國在芯片領域、人工智能領域、5G領域等依然面臨著一系列被國外技術(shù)卡脖子的瓶頸問題.這促使我們認識到，需要更多對數(shù)學有濃厚興趣并能以此為終身職業(yè)、終身目標的人，堅持不懈地進行數(shù)學基礎研究.只有真正對數(shù)學有強烈興趣，并將其視為終身職業(yè)目標的人，才能在數(shù)學的深度研究中找到持續(xù)的動力.這種對數(shù)學的持續(xù)研究，正是工匠精神的具體表現(xiàn).工匠精神強調(diào)對細節(jié)的極致追求、對事業(yè)的執(zhí)著追求，正是推動數(shù)學理論不斷進步的力量.工匠不僅致力于解決眼前的問題，更注重于在理論的深度挖掘中找到更廣闊的視野.在數(shù)學領域，工匠精神就是通過對數(shù)學基礎的深度研究，為科技突破提供理論支持，從而推動整個國家科技水平的提升.

基礎數(shù)學教育在這個過程中扮演著至關(guān)重要的角色.盡管基礎數(shù)學教育的成果可能不如應用數(shù)學那樣直接產(chǎn)生顯著的實用成果，但它猶如河床底部的沙石，是整個科學體系的基石.通過歷史的洪流不斷沖刷打磨，基礎數(shù)學教育能夠韜光養(yǎng)晦、厚積薄發(fā).這種過程最終會在世人面前展現(xiàn)出一顆璀璨耀眼的稀世寶石.當這些瓶頸式的問題一個個被我國的數(shù)學工匠們解決時，我們心中的中華民族偉大復興的中國夢就真正地展現(xiàn)在世人眼前.這不僅是數(shù)學理論的突破，更是國家綜合實力的提升.工匠精神的傳承和發(fā)揚，是實現(xiàn)中華民族偉大復興的必由之路.只有在數(shù)學領域深耕不輟，不斷追求卓越，我們才能在科技創(chuàng)新的浪潮中迎頭趕上，為國家的繁榮獻上更多的力量.

綜上所述，數(shù)學教育在中國數(shù)學發(fā)展中發(fā)揮著不可替代的作用.通過學習數(shù)學發(fā)展歷史，我們深刻認識到數(shù)學的發(fā)展需要前期的不斷積累和打磨.眾多杰出的數(shù)學家為我國數(shù)學的蓬勃發(fā)展奠定了堅實的基礎，而數(shù)學工匠們的努力則將數(shù)學推向新的高度.但為了更好地應對當前和未來的科技挑戰(zhàn)，我們需要進一步弘揚工匠精神，注重基礎數(shù)學教育的深度培養(yǎng)，并通過國際合作和跨學科合作，推動我國數(shù)學領域在全球范圍內(nèi)的卓越發(fā)展.只有如此，中華民族偉大復興的中國夢才能更加真實地展現(xiàn)在世人眼前.

參考文獻

［1］余慶純，汪曉勤.中國HPM研究內(nèi)容與方法［J］.數(shù)學教育學報，2022，31（4）：49－55.

［2］陳惠勇.數(shù)學史觀下的數(shù)學概念教學新模式［J］.高等數(shù)學研究，2007（5）：58－62＋65.