高文娟

2023年天津卷第20題考查數(shù)列與不等式結(jié)構(gòu)關(guān)系，運(yùn)用函數(shù)思想解決問(wèn)題.題目解法多樣，思維開(kāi)源，充分考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思維分析能力.

1 題目：2023年天津卷第20題

已知函數(shù)f（x）=1x+12ln（x+1）.

（1）求y=f（x）在x=2處切線的斜率；

（2）當(dāng)x>0時(shí)，證明：f（x）>1；

（3）證明：56

2 分析與思維導(dǎo)圖

2.1 思路分析

第（1）問(wèn)簡(jiǎn)單，本文從略.

第（2）問(wèn)證明要觀察結(jié)構(gòu)，化簡(jiǎn)到合適結(jié)構(gòu)再運(yùn)算，也就是對(duì)構(gòu)造函數(shù)的能力有較高要求.若令g（x）=1x+12ln（x+1）-1或g（x）=（x+2）＼5ln（x+1）-2x，則其導(dǎo)數(shù)中含有“l(fā)n（x+1）”，不如選擇變形為g（x）=ln（x+1）-2xx+2，這就是本題化簡(jiǎn)的本質(zhì)（“對(duì)數(shù)單身”）！這一點(diǎn)在以往高考題中經(jīng)常出現(xiàn).

本題第（3）問(wèn)的命題背景源自大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)《數(shù)學(xué)分析》的“斯特林公式”，但是該公式只是它的命題背景，我們無(wú)需知道，即可用高中知識(shí)解決它.當(dāng)然，本題也深刻考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和思維分析能力.對(duì)于第（3）問(wèn)：（指向最簡(jiǎn)單與最本質(zhì)的方法）觀察發(fā)現(xiàn)本題屬于數(shù)列型不等式，所以解答時(shí)可以結(jié)合數(shù)列知識(shí).先看右邊不等式，要證ln（n?。?n+12＼5ln n+n≤1，

設(shè)該不等式左側(cè)為an，即證an≤1，

不難發(fā)現(xiàn)a1=1，則即證an≤a1，猜想an+1-an≤0，因此解題思路就出來(lái)了，證明過(guò)程用到第（2）問(wèn)的結(jié)論.再看左邊不等式，不等號(hào)方向決定需要構(gòu)造f（x）<1+h（x），因?yàn)橐C

an-a1=（a2-1）+（a3-a2）+……+（an-an-1）=∑n-1i=11-f1i>-16，

可聯(lián)想∑n-1i=1161i+1-1i>-16，等等，也可聯(lián)想泰勒展開(kāi)、帕德逼近、斯特林公式等拓展知識(shí)結(jié)論，但是都需要具體運(yùn)算后才能發(fā)現(xiàn)是否可行.相對(duì)來(lái)講，后面給出的利用數(shù)列知識(shí)、求和思想的方法，對(duì)分析能力的要求更低，但是運(yùn)算量較大.拓展知識(shí)對(duì)于培優(yōu)生可以使用，但是對(duì)絕大部分學(xué)生而言，拓展知識(shí)的解法并不能讓其看到解題本質(zhì)即思維的分析，所以建議教學(xué)中以初等數(shù)學(xué)知識(shí)方法為主.

2.2 思維導(dǎo)圖

第（2）問(wèn)的思維導(dǎo)圖（如圖1）：

第（3）問(wèn)需證明的是數(shù)列型不等式，解題時(shí)可根據(jù)結(jié)構(gòu)特征選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)列知識(shí)解決問(wèn)題，也可采用證明不等式問(wèn)題常用的數(shù)學(xué)歸納法及放縮法.

第（3）問(wèn)證明右邊不等式的思維導(dǎo)圖（如圖2）：

第（3）問(wèn)證明左邊不等式的思維導(dǎo)圖（如圖3）：

3 試題解答與解析

3.1 第（2）問(wèn)

第（2）問(wèn)有三種思路，這里只給出思路3的證明.

證明：要證f（x）=1x+12ln（x+1）>1，x∈（0，+∞），

即證ln（x+1）>2xx+2，x∈（0，+∞）（提示：這一步轉(zhuǎn)化化簡(jiǎn)恰好是（1，1）階帕德逼近，重要且必要）.

設(shè)函數(shù)g（x）=ln（x+1）-2xx+2，x＞0，則

g′（x）=11+x-4（2+x）2=x2（1+x）（2+x）2>0，

所以g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，有g(shù)（x）>g（0）=0.

故當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>1，得證.

評(píng)析：化簡(jiǎn)本質(zhì)“對(duì)數(shù)單身”.

3.2 第（3）問(wèn)右邊不等式

因?yàn)橛疫叢坏仁綆в械忍?hào)，肯定是不完全放縮.

3.2.1 法1：觀察聯(lián)想，構(gòu)造數(shù)列

證明：設(shè)an=ln（n！）-n+12ln n+n，則

an+1-an=1-n+12ln1+1n=1-f1n.

由（2）知f1n>1，所以

an+1-an=1-f1n<0.

所以，數(shù)列{an}為單調(diào)遞減數(shù)列，則an≤a1=1.

故ln（n?。?n+12ln n+n≤1，得證.

評(píng)析：本質(zhì)是數(shù)列的“律”，對(duì)準(zhǔn)“l(fā)n（n?。?，如何消掉？作差.

3.2.2 法2：分析聯(lián)想，求和思想，消掉ln（n?。?/p>

證明：要證ln（n?。?n+12ln n+n≤1，即證

ln（n?。躰+12ln n-n+1.

聯(lián)想∑ni=1ln i≤∑ni=1bi=n+12ln n-n+1.

設(shè)an=n+12ln n-n+1，則

當(dāng)n=1時(shí)，b1=a1=0.

當(dāng)n≥2時(shí)，

bn=an-an-1=n+12ln n-n-12ln（n-1）-1.

故bn=0，n=1，n+12ln n-n-12ln（n-1）-1，n≥2.

只需證bn≥ln n.

因?yàn)閎1≥ln 1顯然成立，所以即證

n+12ln n-n-12ln（n-1）-1≥ln n，n≥2.

只需證n≥2時(shí)，有

n-12ln n-n-12ln（n-1）≥1.

只需證n≥2時(shí)，n-12lnnn-1≥1.

只需證n≥2時(shí)，n-1+12lnn-1+1n-1≥1.

即證n≥2時(shí)，f1n-1≥1.

由（2）知，不等式

f1n-1≥1顯然成立，所以有l(wèi)n（n！）-n+12ln n+n≤1，得證.

評(píng)析：觀察聯(lián)想數(shù)列前n項(xiàng)和，利用求和思想，求出通項(xiàng)公式，消掉ln（n！）.

3.2.3 法3：求和思想，結(jié)合（2）的結(jié)論構(gòu)造ln（n?。?/p>

證明：由（2）知f（x）=1x+12ln（x+1）>1，則

n+12ln1n+1=n+12［ln（n+1）-ln n］>1.

當(dāng)n≥2時(shí)，1+12（ln 2-ln 1）>1，

2+12（ln 3-ln 2）>1，

…………

n-2+12［ln（n-1）-ln（n-2）］>1，

n-1+12［ln n-ln（n-1）］>1.

由累加法可得

n-1+12ln n-［ln（n-1）+ln（n-2）+……+ln 2］>n-1.

所以當(dāng)n≥2時(shí)，n+12ln n-ln（n?。?n-1，

即ln（n！）-n+12ln n+n<1.

又當(dāng)n=1時(shí)，ln（n！）-n+12ln n+n=1，

所以ln（n?。?n+12ln n+n≤1，得證.

3.2.4 法4：觀察構(gòu)造數(shù)列，利用“數(shù)學(xué)歸納法”

具體過(guò)程略，可掃后面的二維碼查看.

3.3 第（3）問(wèn)左邊不等式

3.3.1 法1：求和思想，平均化擬合

證明：設(shè)an=ln（n?。?n+12ln n+n.

猜想∑ni=1ci=ln（n?。?n+12ln n+n>56，

即c1+c2+……+cn>56.因?yàn)閏1=1，

所以即證n≥2，c2+c3+……+cn>-16.

只需證n≥2時(shí)，an-an-1=cn>-16（n-1）.

只需證cn=1-n-1+12ln1+1n-1>-16（n-1）（n≥2）.

只需證n≥2時(shí)，有

n-1+12ln1+1n-1-16（n-1）-1<0.

令t=1n-1∈（0，1］，則只需證

ln（1+t）<16t+11t+12=t（t+6）3（t+2）.

只需證F（t）=ln（1+t）-t（t+6）3（t+2）<0，t∈（0，1］.

因?yàn)閠∈［0，1］時(shí)，F(xiàn)′（t）=-t［（t+1）2+3］3（t+2）2（t+1）<0（運(yùn)算量大?。┣褾（0）=0，

所以F（t）在（0，1］上單調(diào)遞減，則F（t）

評(píng)析：本方法關(guān)鍵是聯(lián)想到平均化擬合，將c2+c3+……+cn>-16轉(zhuǎn)化為通項(xiàng)cn>-16（n-1），化簡(jiǎn)過(guò)程中使用了“對(duì)數(shù)單身”的化簡(jiǎn)本質(zhì)和“整體代換”的化簡(jiǎn)技巧.

3.3.2 法2：求和思想，擬合熟悉的較簡(jiǎn)單模型

證明：設(shè)an=ln（n?。?n+12ln n+n.

猜想∑ni=1ci=ln（n?。?n+12ln n+n>56，即

c1+c2+……+cn>56.

因?yàn)閏1=1，聯(lián)想n≥2時(shí)，

c2+c3+……+cn>-161-12+12-13+……+1n-1-1n=-161-1n>-16.

只需證n≥2時(shí)，an-an-1=cn>-161n-1-1n.

只需證cn=1-n-1+12ln1+1n-1>-16（n-1）n，n≥2.

接下來(lái)整理與轉(zhuǎn)化方式同法1，略.

評(píng)析：關(guān)鍵是聯(lián)想到簡(jiǎn)單熟悉模型進(jìn)行擬合.

3.3.3 法3：加強(qiáng)后，利用數(shù)學(xué)歸納法

具體過(guò)程略，可掃碼查看.

3.3.4 法4：分析放縮+泰勒逼近

掃碼看附錄

秒殺法，具體過(guò)程略，可掃碼查看.

其他拓展性解法，如尋找擬合函數(shù)、帕德逼近、斯特林公式等解法不再細(xì)述，可掃碼看附錄.

4 方法延伸

解決問(wèn)題的一種放縮方式：根據(jù)學(xué)生儲(chǔ)備知識(shí)12x-1x12x-1x進(jìn)行放縮，最終的結(jié)果是an>34不夠大，進(jìn)一步通過(guò)12x-1x與2（x-1）x+1的加權(quán)值調(diào)整一下，讓左側(cè)放縮結(jié)果大一點(diǎn)，如取12·2（x-1）x+1+14x-1x，構(gòu)造函數(shù)g（x）=ln x-12·2（x-1）x+1-14x-1x，x∈（0，1），經(jīng)過(guò)運(yùn)算可得g（x）>0，即ln x>12·2（x-1）x+1+14x-1x，再用累加法即可得到an>78>56，得證.若取23·2（x-1）x+1+16x-1x，同理可證an>1112>56.這種構(gòu)造方法學(xué)生可以掌握.

5 溯源與新題練習(xí)

5.1 溯源

（1）2022年新高考Ⅱ卷第22題：

已知函數(shù)f（x）=xeax-ex.

（ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；

（ⅱ）當(dāng)x>0時(shí)，f（x）<-1，求a的取值范圍；

（ⅲ）設(shè)n∈N*，證明：112+1+122+2+……+1n2+n>ln（n+1）.

（2）2018年全國(guó)Ⅲ卷理科卷第21題：

已知函數(shù)f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）-2x.

（?。┤鬭=0，證明：當(dāng)-10時(shí)，f（x）>0.

（ⅱ）若x=0是f（x）的極大值點(diǎn)，求a.

5.2 新題練習(xí)

（1）原創(chuàng)命題練習(xí)

已知函數(shù)f（x）=x-aln（x+1）.

（?。┊?dāng)a=1時(shí)，求y=f（x）在x=2處的切線斜率；

（ⅱ）若x∈（0，+∞），f（x）>0恒成立，求a的取值范圍；

（ⅲ）證明：n∈N+，ln（n！）-nln（n+1）+n>0.

（2）2019年調(diào)研試題改編

已知函數(shù)f（x）=7+x1+x（x>0）.

（?。┯懻揼（x）=x［f（x）］2的單調(diào)性；

（ⅱ）設(shè)a1=1，an+1=f（an）（n∈N*），試證明

2n-2|ln an-ln 7|<1.

6 結(jié)語(yǔ)

本題難點(diǎn)在第（3）問(wèn)，它充分突出了數(shù)學(xué)學(xué)科的選拔性功能，深刻地考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和思維分析能力.具備泰勒展開(kāi)等拓展知識(shí)的學(xué)生可以利用拓展知識(shí)解決問(wèn)題，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)的基本理念：以學(xué)生發(fā)展為本，立德樹(shù)人，提升素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.