杜瑛

摘要：數(shù)學(xué)課堂是由邏輯推理構(gòu)建起來(lái)的，概念的抽象、模型的建立、性質(zhì)的推導(dǎo)、公式的論證以及問(wèn)題的演繹，均需邏輯推理素養(yǎng)的支撐.本文中從核心素養(yǎng)和推理與證明的關(guān)系、新教材中對(duì)推理與證明的教學(xué)要求以及新課標(biāo)高考試題三個(gè)角度闡述了新課標(biāo)對(duì)推理與證明的要求，并通過(guò)幾個(gè)實(shí)際教學(xué)中的例子，對(duì)高三復(fù)習(xí)課中推理與證明的教學(xué)提出了一些建議.

關(guān)鍵詞：推理與證明；高三復(fù)習(xí)課

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱“標(biāo)準(zhǔn)”）的課程內(nèi)容中去掉了“推理與證明”一章，但“標(biāo)準(zhǔn)”對(duì)培養(yǎng)學(xué)生推理與證明能力的要求沒(méi)有降低.從2021年開(kāi)始，新課標(biāo)Ⅰ、Ⅱ卷的六道大題中均有不少于三題涉及到了證明.由此可見(jiàn)，我們要特別關(guān)注高三復(fù)習(xí)課中的推理與證明教學(xué)及其思想的滲透.

1 推理與證明的要求沒(méi)有降低

1.1 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和推理與證明的關(guān)系

邏輯推理主要表現(xiàn)為：掌握推理的基本形式和規(guī)則，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出命題，探索和表述論證過(guò)程，理解命題體系，有邏輯地表達(dá)與交流［1］.培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)是發(fā)展推理與證明能力的重要途徑.同時(shí)，其他五個(gè)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)均與推理能力有關(guān).由此可見(jiàn)，“標(biāo)準(zhǔn)”對(duì)推理與證明的要求沒(méi)有降低，而是滲透到了核心素養(yǎng)的內(nèi)涵之中.

1.2 新教材中對(duì)推理與證明教學(xué)的要求

摘錄新教材（普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)人教A版）中的三個(gè)環(huán)節(jié)以示例：

（1）（第18頁(yè)）思考：例1中命題（1）給出了“四邊形是平行四邊形”的一個(gè)充分條件，即“四邊形的兩組對(duì)角分別相等”.這樣的充分條件唯一嗎？如果不唯一，那么你能再給出幾個(gè)不同的充分條件嗎？

（2）（第46頁(yè)）探究：類比等式的基本性質(zhì)，你能猜想不等式的基本性質(zhì)，并加以證明嗎？

（3）（第122頁(yè)）請(qǐng)你利用對(duì)數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系證明loga1=0，logaa=1.

新教材圍繞概念、性質(zhì)和公式的生成設(shè)置了“思考”“探究”等活動(dòng)，這些活動(dòng)有些需要數(shù)學(xué)抽象，有些需要邏輯推理，還有些需要論證.它們均指向了推理與證明能力的培養(yǎng).由此可見(jiàn)，新教材進(jìn)一步提高了對(duì)推理與證明的要求.

1.3 新課標(biāo)高考卷中的推理與證明問(wèn)題

摘錄新課標(biāo)高考考題以示例：

（1）（2022年新課標(biāo)Ⅰ卷＼520節(jié)選）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù)（見(jiàn)表1）：

表1

組別

衛(wèi)生習(xí)慣

不夠良好

良好

病例組

40

60

對(duì)照組

10

90

從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示“選到的人患有該疾病”.P（B|A）P（B-|A）與P（B|A-）P（B-|A-）的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R.求證：R=P（A|B）P（A-|B）＼5P（A-|B-）P（A|B-）.

（2）（2023年新課標(biāo)Ⅱ卷＼518節(jié)選）已知{an}為等差數(shù)列，bn=an－6，n為奇數(shù)，

2an，n為偶數(shù).記Sn，Tn分別為數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和，S4=32，T3=16.證明：當(dāng)n>5時(shí)，Tn>Sn.

新高考卷中的推理與證明結(jié)合概率、數(shù)列、解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等問(wèn)題，以數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)、數(shù)學(xué)概念應(yīng)用、數(shù)學(xué)結(jié)論探究為出發(fā)點(diǎn)，綜合考查學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)建構(gòu)、探索與表述能力.由此可見(jiàn)，新課標(biāo)高考試題進(jìn)一步提高了對(duì)推理與證明的要求.

2 推理與證明教學(xué)的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)

2.1 關(guān)注推理與證明意識(shí)的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)課堂是由邏輯推理構(gòu)建起來(lái)的，概念的抽象、模型的建立、性質(zhì)的推導(dǎo)、公式的論證以及問(wèn)題的演繹，均需邏輯推理素養(yǎng)的支撐.教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生有意識(shí)地進(jìn)行推理的能力，如表述“曲線的方程”的概念，論述“f′（x）>0與f（x）單調(diào)遞增”之間的關(guān)系，推導(dǎo)“不等式的性質(zhì)”，等等.在解決問(wèn)題的過(guò)程中，讓學(xué)生感受定義是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、逆命題的真假需要驗(yàn)證、公式與性質(zhì)需要證明，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的自主推理與論證意識(shí).

2.2 關(guān)注充要條件的論證意識(shí)

數(shù)學(xué)定義是充要的，判定定理是充分的，性質(zhì)定理是必要的.一個(gè)真命題的逆命題不一定為真.充要性的研究是培養(yǎng)邏輯推理能力的一個(gè)好途徑.課堂中，對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)論充要性的判斷和有意識(shí)的論證，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的辯證性和嚴(yán)謹(jǐn)性.

2.3 關(guān)注推理與證明書寫的規(guī)范性

笛卡兒說(shuō)：“要想獲得真理和知識(shí)，惟有兩件武器，那就是清晰的直覺(jué)和嚴(yán)格的演繹.”將邏輯推理過(guò)程完整地書寫出來(lái)，就是用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)客觀世界.數(shù)學(xué)表述要嚴(yán)謹(jǐn)，推理要有嚴(yán)格的依據(jù)，前后邏輯關(guān)系要清晰.教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生書寫的規(guī)范性，在書寫的過(guò)程中厘清思維的邏輯關(guān)系，也是培養(yǎng)推理與證明能力的一個(gè)好途徑.

3 高三復(fù)習(xí)課中培養(yǎng)推理與證明能力的建議

結(jié)合上述分析和實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，筆者提出高三復(fù)習(xí)課中培養(yǎng)推理與證明能力的三點(diǎn)建議.

3.1 培養(yǎng)學(xué)生口頭論證能力

例1? （2022年天津）“x為整數(shù)”是“2x+1為整數(shù)”的（? ）.

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分又不必要條件

遇到充要條件的判斷問(wèn)題時(shí)，要求學(xué)生進(jìn)行口頭論證，及時(shí)糾正論述過(guò)程中的不規(guī)范處，以幫助學(xué)生從正逆兩個(gè)方向感受完整的邏輯思維過(guò)程，并有邏輯地表達(dá)與交流.同時(shí)，也有利于培養(yǎng)學(xué)生的主動(dòng)論證意識(shí).

3.2 重視數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)與證明

例2? 在對(duì)人體的脂肪含量和年齡之間的關(guān)系的研究中，科研人員獲得了一些年齡和脂肪含量的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，……，20，25

參考公式：r=∑ni=1（xi－x-）（yi－y-）? ∑ni=1（xi－x-）2? ∑ni=1（yi－y-）2，

=∑ni=1（xi－x-）（yi－y-）∑ni=1（xi－x-）2，=y-－x-.

計(jì)算r與分別有兩個(gè)公式，兩公式之間能夠相互推導(dǎo).例2中給出的數(shù)據(jù)與公式不是對(duì)應(yīng)的，需要推導(dǎo)出另一個(gè)公式，才能代入數(shù)據(jù)計(jì)算，這就要求我們?cè)谡n堂中要關(guān)注數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)教學(xué).例如：點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)、運(yùn)用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)推導(dǎo)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)等.一輪復(fù)習(xí)課要舍得花時(shí)間對(duì)重要的公式和結(jié)論進(jìn)行推演，這樣既可加深學(xué)生對(duì)公式的認(rèn)識(shí)，也能培養(yǎng)學(xué)生的推理證明能力.

3.3 重視證明題的教學(xué)

例3? （2023年新課標(biāo)Ⅰ卷＼519）已知函數(shù)f（x）=a（ex+a）－x.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）證明：當(dāng)a>0時(shí)，f（x）>2ln a+32.

本題綜合考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、分類討論和化歸思想.第（2）問(wèn)的解題突破口是結(jié)合第（1）問(wèn)的結(jié)論，利用化歸思想，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求證“當(dāng)a>0時(shí)，f（x）min>2ln a+32”，再利用作差比較法求證.證明題對(duì)邏輯的嚴(yán)密性、思維的統(tǒng)整性和書寫的規(guī)范性要求較高，是學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，也是考查邏輯推理能力的重要載體.證明能力的培養(yǎng)不是一蹴而就的，需要在教學(xué)中逐漸滲透.在高三復(fù)習(xí)課中，遇到證明問(wèn)題不能舍棄，要關(guān)注邏輯推理的思維教學(xué)，關(guān)注證明問(wèn)題的基本思想、方法以及書寫規(guī)范的教學(xué).

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020.