摘? 要：在初中數(shù)學(xué)函數(shù)解題中，函數(shù)的性質(zhì)是解題切入的關(guān)鍵，而巧用函數(shù)性質(zhì)輔助分析函數(shù)問題則可以幫助學(xué)生更為迅速地找到解題的突破口，從而實(shí)現(xiàn)函數(shù)問題的高效求解.文章以反比例函數(shù)問題為例，簡(jiǎn)述函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用策略，以充分發(fā)揮函數(shù)性質(zhì)求解函數(shù)問題的效能，以期為初中數(shù)學(xué)函數(shù)問題的解題提供一定的參考.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；反比例函數(shù)；函數(shù)性質(zhì)；解題技巧

中圖分類號(hào)：G632??? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A??? 文章編號(hào)：1008-0333（2024）14-0061-03

收稿日期：2024-02-15

作者簡(jiǎn)介：莊素慧（1982.1—），女，福建省南靖人，研究生，一級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

反比例函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)板塊，其具有獨(dú)特的性質(zhì).在解題過程中，巧用反比例函數(shù)的性質(zhì)能引導(dǎo)學(xué)生對(duì)試題進(jìn)行精準(zhǔn)推理，實(shí)現(xiàn)對(duì)問題的精準(zhǔn)求解.

1 反比例函數(shù)的性質(zhì)

反比例函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式為y=kx（k為常數(shù)，且k≠0）的函數(shù)［1］.當(dāng)k＞0時(shí)，函數(shù)圖象位于一、三象限內(nèi)，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小；當(dāng)k＜0時(shí)，函數(shù)圖象在二、四象限內(nèi)，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大［2］.同時(shí)反比例函數(shù)圖象是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，并且反比函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x或y=-x成軸對(duì)稱圖形.此外，過反比例函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)P、Q分別作坐標(biāo)軸的垂線，垂線段與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積相等.

2 巧用函數(shù)性質(zhì)，推理演繹解題

2.1 充分利用函數(shù)圖象性質(zhì)

在初中數(shù)學(xué)函數(shù)解題過程中，函數(shù)圖象可以起到很好的輔助思考作用，幫助學(xué)生更為直觀地進(jìn)行問題的分析，掌握問題切入處理的方向，最終確定所使用的解題手段.而反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)較為特殊，故在涉及反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)的問題求解中，學(xué)生便可以此為問題切入的方向，實(shí)現(xiàn)反比例函數(shù)圖象問題針對(duì)性處理.

例1? （2022年綿陽市中考數(shù)學(xué)第22題）如圖1，一次函數(shù)y=k1x+b的圖象與反比例函數(shù)y=k2/x

的圖象在第一象限交于兩點(diǎn)，NA垂直x軸于點(diǎn)A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OANM的面積為38.

（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

（2）點(diǎn)P是反比例函數(shù)第三象限內(nèi)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)簡(jiǎn)要描述使△PMN的面積最小時(shí)點(diǎn)PO的位置，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PMN的面積最小值.

分析? （1）根據(jù)反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)M（2，8）可直接求出反比函數(shù)的函數(shù)解析式為y=16/x.故可直接設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，16/m），因?yàn)樗倪呅蜲ANM的面積為38，但四邊形為不規(guī)則四邊形，所以需要將四邊形進(jìn)行分割.如圖1，過點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)C，易知點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2，從而將四邊形OANM分割成△OCM和梯形MNAC.根據(jù)可以計(jì)算出△OCM的面積為8，所以梯形MNAC的面積為30，再根據(jù)梯形的面積計(jì)算公式可以得到SACMN=AC（MC+AN）/2=1/2×（m-2）（8+16/m）=30，解得m1=8，m2=2（舍去）.又因?yàn)辄c(diǎn)N的坐標(biāo)為（8，2），將點(diǎn)M，N的坐標(biāo)代入到一次函數(shù)y=k1x+b中就能夠得到一次函數(shù)的解析式為y=-x+10.

（2）這里需要計(jì)算△PMN的最小面積，易知線段MN的長(zhǎng)度是不變的，故將求三角形面積問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)P到直線MN的最小距離問題.這樣，問題便轉(zhuǎn)化為求解與直線MN平行的直線與反比例函數(shù)y=16/x在第三象限內(nèi)有且只有一個(gè)交點(diǎn)的情況.設(shè)與直線MN平行的直線方程為y=-x+n，與y=16/x聯(lián)立可得x2-nx+16=0，由于其有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，故可得△=（-n）2-64=0，繼而解得n=8或者n=-8.又因?yàn)楹瘮?shù)圖象在第三象限內(nèi)，所以n=-8，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為P（-4，-4）.過點(diǎn)P作AN的垂線，交點(diǎn)為Q，延長(zhǎng)MC與PQ交于點(diǎn)E，則SPQNM=S△MCP+S梯形MNQE=S△PMN+S△PQN，從而可得出△PMN的面積為54.

評(píng)析? 例1是一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的相交問題，主要考查學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合思想的掌握情況.所以，在進(jìn)行反比例函數(shù)解題教學(xué)以及其他函數(shù)解題教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生側(cè)重性分析函數(shù)的圖象性質(zhì)，充分利用函數(shù)圖象的性質(zhì)尋找解決問題的方案，并在此過程中提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想處理函數(shù)問題的思想意識(shí)，使學(xué)生能將函數(shù)圖象性質(zhì)與數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行有效結(jié)合，進(jìn)而找到問題的求解策略.

2.2 巧用函數(shù)的單調(diào)性

對(duì)反比例函數(shù)而言，其函數(shù)值會(huì)隨著k的取值變化而在象限內(nèi)表現(xiàn)為單調(diào)遞增或者單調(diào)遞減的特性.所以在一些反比函數(shù)問題的求解過程中，可以通過反比函數(shù)的單調(diào)性的特殊性找到解決問題的切入點(diǎn)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)問題進(jìn)行快速求解.

例2? （2022年南京市中考數(shù)學(xué)第16題）函數(shù)y1=x與y2=4/x的函數(shù)圖象如圖2，以下關(guān)于函數(shù)y=y1+y2的結(jié)論：①函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱；②當(dāng)x＜2時(shí)，y隨x的增大而減??；③當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)圖象的最低點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，4），其中正確結(jié)論的序號(hào)是.

分析? 由于函數(shù)y1=x與y2=4x的圖象都是中心對(duì)稱圖形，故復(fù)合函數(shù)也是中心對(duì)稱函數(shù)，且對(duì)稱中心為原點(diǎn)，所以①正確；根據(jù)題意可知y=y1+y2函數(shù)為y=x+4/x，該函數(shù)在（-SymboleB@，－2）上單調(diào)遞增，在（-2，0）與（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+SymboleB@）上單調(diào)遞增，故②錯(cuò)誤，③正確，所以正確選項(xiàng)為①③.

評(píng)析? 例2重點(diǎn)考查了學(xué)生運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性分析問題和解決問題的能力.為更好地提升學(xué)生的解題能力，教師可在教學(xué)過程中開展函數(shù)單調(diào)性的解題訓(xùn)練，使學(xué)生充分理解和掌握反比例函數(shù)單調(diào)性的特殊性，以提升學(xué)生基于反比例函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行相關(guān)函數(shù)單調(diào)性分析的能力.

2.3 巧用函數(shù)的對(duì)稱性

反比例函數(shù)具有中心對(duì)稱性和軸對(duì)稱性，此性質(zhì)是反比例函數(shù)問題考查的熱點(diǎn)和重點(diǎn).

例3? （2023年綿陽市中考數(shù)學(xué)第21題）如圖3，反比例函數(shù)y=k/x（k＞0）與正比例函數(shù)y=ax相交于點(diǎn)A（1，k），B（-k，-1）兩點(diǎn).

（1）求反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的解析式；

（2）將正比例函數(shù)y=ax的圖象平移得到一次函數(shù)y=ax+b的函數(shù)圖象與反比例函數(shù)y=k/2（k＞0）的圖象相交于點(diǎn)C（x1，y1），D（x2，y2），且x1-x2·y1-y2=5，求b值.

分析? （1）易知A（1，k），B（-k，-1）兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，從而易得k=1，所以反比例函數(shù)的解析式為y=1x，正比例函數(shù)的解析式為y=x.

（2）由（1）可知，平移后的一次函數(shù)解析式為y=x+b，與y=1/x聯(lián)立可得x2+bx-1=0，所以x1=-b+b2+42，x2=-b-b2+42.將C（x1，y1），D（x2，y2）代入y=x+b可得y1=x1+b，y2=x2+b，所以y1-y2=x1-x2，即x1-x2=y1-y2，因?yàn)閤1-x2·y1-y2=5，所以x1-x2=5，由x1=-b+b2+42，x2=-b-b2+42可得x1-x2=b2+4=5，所以b=±1.

評(píng)析? 本題問題（1）主要考查了反比例函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)，利用這一性質(zhì)能夠快速求解出反比例函數(shù)的解析式.問題（2）則考查了反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象相交的相關(guān)知識(shí).在反比例函數(shù)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)反比例函數(shù)對(duì)稱的特殊性，突出其圖象軸對(duì)稱性且關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱的特點(diǎn)，幫助學(xué)生快速找到解決問題的突破口，從而高效地完成問題的求解.在潛移默化的訓(xùn)練中，不僅可以提高學(xué)生運(yùn)用反比例函數(shù)的性質(zhì)分析問題和解決問題的能力，還可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3 巧用函數(shù)性質(zhì)解題的教學(xué)反思

3.1 注重函數(shù)性質(zhì)的掌握

基礎(chǔ)知識(shí)是解決函數(shù)問題的根本，學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的有效掌握及熟練運(yùn)用直接影響其解決數(shù)學(xué)問題能力的有效提升.在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中，教師應(yīng)當(dāng)重視提升學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握程度，同時(shí)采取針對(duì)性解題訓(xùn)練鞏固強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)，加深學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)的理解和認(rèn)識(shí).在反比例函數(shù)中，反比例函數(shù)的性質(zhì)作為學(xué)生解題不可或缺的知識(shí)內(nèi)容，全面提升學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)的性質(zhì)掌握程度，可有效提升學(xué)生處理反比例函數(shù)問題的效率，最終達(dá)到掌握函數(shù)性質(zhì)，提升其解題能力的目的.

3.2 注重知識(shí)體系的建構(gòu)

在反比例函數(shù)問題的求解過程中，往往需要學(xué)生綜合運(yùn)用反比例函數(shù)知識(shí)遷移、轉(zhuǎn)化、處理不同類型的函數(shù)問題，而建構(gòu)反比例函數(shù)知識(shí)體系能幫助學(xué)生更為高效地進(jìn)行知識(shí)的整合轉(zhuǎn)化，對(duì)于提升反比例函數(shù)解題能力有著積極的促進(jìn)作用.基于此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)重視指導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)反比例函數(shù)知識(shí)體系，促使學(xué)生不斷完善反比例函數(shù)知識(shí)體系，以此提升反比例函數(shù)問題的解題能力.

4 結(jié)束語

通過以上具體實(shí)例可以看出，反比例函數(shù)的性質(zhì)在解題中有著廣泛的應(yīng)用.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系，幫助學(xué)生透徹理解函數(shù)的特殊性質(zhì)，并切實(shí)運(yùn)用于函數(shù)問題解題中，借此幫助學(xué)生將所學(xué)的知識(shí)融會(huì)貫通，從而提升函數(shù)問題的解題效率.

參考文獻(xiàn)：［1］ 朱琛.融合數(shù)學(xué)思想促進(jìn)解題教學(xué)：“用對(duì)稱性解決反比例函數(shù)問題”專題教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2021（8）：31-34.

［2］ 張俊麗.數(shù)學(xué)教學(xué)是玩概念還是玩技巧：探討反比例函數(shù)的解題教學(xué)［J］.中學(xué)課程輔導(dǎo)（教學(xué)研究），2012，6（23）：36-38.

［責(zé)任編輯：李? 璟］