侯麗潔

數(shù)形結(jié)合思想是在數(shù)與形互相補(bǔ)充的基礎(chǔ)上，緊扣數(shù)形之間的本質(zhì)聯(lián)系，用“形”的直觀來表達(dá)抽象的“數(shù)”，或以“數(shù)”的精確性來描繪直觀的“形”的思想方法［1］.探究性學(xué)習(xí)也可稱為研究性學(xué)習(xí)，是在確立學(xué)習(xí)主題的情況下，學(xué)習(xí)者通過“做中學(xué)”的方式，搜集、處理相關(guān)的信息，在交流與探索中獲得相應(yīng)的知識與能力.這種學(xué)習(xí)方式不僅能發(fā)展學(xué)習(xí)者的情感態(tài)度與價值觀，還能有效地培養(yǎng)其學(xué)科核心素養(yǎng)，形成良好的創(chuàng)造力.

一元二次方程實(shí)根分布與不等式、導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)的零點(diǎn)等都有聯(lián)系，該部分知識在高考試題中雖然出現(xiàn)的頻次不高，但其對高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)作用不容小覷.究竟該從什么角度引發(fā)學(xué)生的自主探究，讓學(xué)生建構(gòu)完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)呢？為此，筆者以“一元二次方程實(shí)根分布”的教學(xué)為例，具體談?wù)勚邸皵?shù)形結(jié)合”，引發(fā)探究式學(xué)習(xí)的具體過程與方法.實(shí)踐證明，將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用到本章節(jié)的教學(xué)中，配合探究式學(xué)習(xí)模式的開展，收效良好.

1 問題提出，誘發(fā)思考

問題? 若不畫圖，請大家說說在什么條件下，方程ax2+bx+c=0（a＞0）存在兩個負(fù)根？

生1：由題意可知，假設(shè)方程的兩個根分別為x1，x2，則有x1+x2＜0，x1x2>0，Δ≥0.

設(shè)計(jì)意圖：通過問題情境的創(chuàng)設(shè)，引導(dǎo)學(xué)生的思考，可以引發(fā)學(xué)生產(chǎn)生探究行為.此問的設(shè)計(jì)建立在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)，有利于學(xué)生結(jié)合初中階段所接觸過的一元二次方程根的情況進(jìn)行分析，低起點(diǎn)易于激起學(xué)生的興趣.

此問的關(guān)鍵在于引導(dǎo)學(xué)生撇開圖形，從數(shù)的角度來分析，并運(yùn)用一元二次方程根的情況與韋達(dá)定理獲得限制條件.筆者也曾嘗試過在本節(jié)課引導(dǎo)學(xué)生從“形”著手，讓學(xué)生通過圖象探究問題的本質(zhì)，但過程明顯不夠流暢，而且不少學(xué)生提出了疑惑：為什么不能用初中所學(xué)過的知識解決呢？經(jīng)實(shí)踐探索，筆者發(fā)現(xiàn)引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)的角度出發(fā)，獲得限制條件更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.

2 不同方法，有效探究

數(shù)學(xué)是一門集靈活性與嚴(yán)謹(jǐn)性于一體的基礎(chǔ)學(xué)科，在解決問題時，從不同的角度分析，常有不同的解題方法.為了激發(fā)學(xué)生的探究欲，教師可鼓勵學(xué)生發(fā)散思維，嘗試從多維度去思考，以發(fā)現(xiàn)更多解決問題的辦法.

師：剛才大家是從“數(shù)”的角度分析了上述問題的限制條件，除此之外，還有其他辦法嗎？

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生對從“數(shù)”的角度解決問題有所突破后，再引導(dǎo)學(xué)生換個角度來看待問題，以“形”為思維的起點(diǎn)，充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用.教師鼓勵學(xué)生將方程的根轉(zhuǎn)化成函數(shù)的零點(diǎn)，也就是利用函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)來解決問題，此過程彰顯了數(shù)學(xué)中重要的數(shù)形結(jié)合思想.

生2：還可以用“求根公式”解決問題.不妨記x1=-b+b2-4ac2a，x2=-b-b2-4ac2a，只要讓兩根均小于0即可，也就是x1＜0，x2＜0.

師：說說你們對這種解題方式的看法.

生3：這種方法是可行，若根不容易求的時候，計(jì)算會很煩瑣.

師：不錯，雖然這種方式從理論上來看沒有問題，但可能會出現(xiàn)無理不等式，導(dǎo)致解題過程非常麻煩.大家還有其他解決辦法嗎？

生4：可以通過作簡略圖觀察（見圖1），應(yīng)滿足Δ≥0，-b2a＜0.

師：這個想法不錯，從直觀的圖形著手，可以準(zhǔn)確地找出滿足本題條件的圖象，其他同學(xué)對此有沒有什么意見？

生5：如圖2所示，只滿足Δ≥0且-b2a＜0還不夠.若令f（x）=ax2+bx+c，還需添上f（0）＞0的條件.

師：是不是添上f（0）＞0的條件，就全面了呢？請大家檢驗(yàn)一下，滿足這三個條件的情況下，方程是否存在兩個負(fù)根呢？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生從多個角度分析與解決問題，不僅給予了學(xué)生展示自己的機(jī)會，還增進(jìn)了課堂探究的實(shí)效性.隨著教師的啟發(fā)，學(xué)生自主畫圖著手探究問題的本質(zhì)，并在互相補(bǔ)充與檢驗(yàn)中確保了答案的準(zhǔn)確性.這不僅體現(xiàn)了學(xué)生的主體性，還彰顯了“數(shù)”“形”轉(zhuǎn)化的重要作用.

3 變式拓展，建構(gòu)新知

變式拓展訓(xùn)練，通過一題多用或多題重組的方式從各個角度揭露問題的本質(zhì)，不僅帶給學(xué)生耳目一新之感，還能讓學(xué)生在探究中對知識產(chǎn)生更為深刻的理解.同時，科學(xué)、合理的變式為學(xué)生的思維發(fā)展提供了明確的支架，此支架作為學(xué)生思維發(fā)展的臺階，能幫助學(xué)生建構(gòu)新知，形成完整的認(rèn)知體系［2］.

變式1? 在什么條件下，方程ax2+bx+c=0（a＞0）存在一個正根和一個負(fù)根？

生6：從“數(shù)”的角來看，

設(shè)方程的兩個根分別為x1和x2，

則有Δ＞0，x1x2＜0.

生7：從“形”的角度來看，令f（x）=ax2+bx+c，則有

Δ＞0，f（0）＜0.

師：非常好！大家能根據(jù)上一個問題的解題方法，從“數(shù)”與“形”兩個角度來剖析問題，現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用的做法值得鼓勵與贊揚(yáng).現(xiàn)在我們一起來看，從“形”的角度解決此題的方法是否可以更加簡單一些呢？

生8：如圖3所示，函數(shù)圖象的開口向上，當(dāng)f（0）＜0時方程有兩個根，那么Δ＞0可以省略.

師：不錯，我們只需要思考f（0）＜0即可.

設(shè)計(jì)意圖：觀察兩個問題，會發(fā)現(xiàn)教師都是引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”與“形”兩個角度來剖析問題的，且兩題的實(shí)質(zhì)并沒有差別，只是出發(fā)點(diǎn)稍有區(qū)別.此設(shè)計(jì)除了強(qiáng)化學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用以外，還在于培養(yǎng)學(xué)生的探究精神，讓學(xué)生感知、體會、領(lǐng)悟到從不同角度，運(yùn)用不同的方法，都能解決問題.

變式2? 在什么條件下，方程ax2+bx+c=0（a＞0）存在兩個大于1的根？

生9：設(shè)方程的兩個根分別為x1和x2，則有

Δ≥0，x1+x2>2.

師：這是從“數(shù)”的角度分析所得出的條件，但這個條件是否正確呢？還有也是通過“數(shù)”的角度來分析的同學(xué)嗎？你們的想法是怎樣的呢？

學(xué)生雖然對這個答案持有懷疑態(tài)度，但是很大一部分學(xué)生又無法獨(dú)立找出準(zhǔn)確答案，因此組織學(xué)生展開小組討論，這樣使大部分學(xué)生能從“數(shù)”的視角獲得正確結(jié)論，同時也發(fā)揮了小組討論在課堂探究中的重要作用.

生10：由x1＞1，x2＞1，得x1-1＞0，x2-1＞0，且（x1-1）（x2-1）＞0，即Δ≥0，（x1-1）+（x2-1）>0，（x1-1）（x2-1）>0.

師：從“形”的角度分析，得到的條件又是什么呢？

生11：如圖4所示，方程需滿足條件Δ≥0，-b2a>1，f（1）>0.

設(shè)計(jì)意圖：探究式學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是探究的過程.變式的應(yīng)用，為學(xué)生的探究提供了明確的方向.以上兩個變式，由淺入深地體現(xiàn)了“一元二次方程實(shí)根分布”的本質(zhì)，學(xué)生的思維隨著探究的逐漸深入，對知識產(chǎn)生了更為深刻的理解.

總之，不論一節(jié)課的教學(xué)主題是什么，在教學(xué)設(shè)計(jì)時都應(yīng)結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知特征與最近發(fā)展區(qū)，組織學(xué)生在層次清晰的問題中進(jìn)行探索與研究，以不斷優(yōu)化思維，形成良好的數(shù)學(xué)思想.數(shù)形結(jié)合作為解題的一大法寶，可貫穿于整個教學(xué)過程，讓學(xué)生在數(shù)與形的轉(zhuǎn)化中，不斷挖掘、聯(lián)想，獲得利于其終身可持續(xù)性發(fā)展的探究能力［3］.

參考文獻(xiàn)：

［1］徐慈平.重視數(shù)形結(jié)合 培養(yǎng)學(xué)生能力［J］.初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2014（6）：21-23.

［2］張宏.從一道試題的多解性看思維的探究策略［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2004（2）：41-42.

［3］施良方，崔允漷.教學(xué)理論：課堂教學(xué)的原理、策略與研究［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，1999.