陳葉

摘要：數(shù)學(xué)解題及其研究是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個重要課題，對于提升教學(xué)與學(xué)習(xí)效益起到非常關(guān)鍵的作用.借助一道高考真題的剖析，結(jié)合教學(xué)活動，合理詮釋數(shù)學(xué)解題及其研究過程中的“四路”探究教學(xué)，依托來路、思路、出路、套路等環(huán)節(jié)，挖掘問題內(nèi)涵與實質(zhì)，總結(jié)解題規(guī)律，嘗試為數(shù)學(xué)問題的求解與解題研究提供一個基本學(xué)習(xí)模板，指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究.

關(guān)鍵詞：解題研究；教學(xué)方式；探究；創(chuàng)新；變式

在新課標(biāo)、新教材、新高考的“三新”背景下，隨著新課程改革理念的深入，“雙減”活動的逐步推進，教學(xué)改革成為必然.變革更加注重數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的發(fā)生與發(fā)展過程，以及關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的形成與培養(yǎng)過程，因此教學(xué)方式就顯得特別重要.基于此，以2023年新高考Ⅱ卷第6題為例，探究數(shù)學(xué)解題“四路”與教學(xué)方式，給數(shù)學(xué)教學(xué)與教學(xué)方式的變革提出一個合理的嘗試，結(jié)合教學(xué)實踐來拋磚引玉.

1 立足課標(biāo)，呈現(xiàn)“來路”

課程標(biāo)準(zhǔn)是數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)的根本依據(jù)，而歷屆高考真題往往是展示其重要標(biāo)準(zhǔn)的一個最典型的說明.在教學(xué)過程中，教師有針對性地呈現(xiàn)一些典型高考真題，合理呈現(xiàn)問題的“來路”，為課堂教學(xué)與學(xué)習(xí)奠定堅實的基礎(chǔ)，成為解題的基石所在.

高考真題? （2023年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷·6）已知函數(shù)f（x）=aex-ln x在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞增，則a的最小值為（? ）.

A.e2

B.e

C.e-1

D.e-2

此題以含參函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性來創(chuàng)設(shè)問題場景，結(jié)合參數(shù)的最值求解來設(shè)置問題.問題簡潔明了，難度中等，解題思路常規(guī)，思維方式多樣.

具體解題時，可以從函數(shù)的求導(dǎo)入手，借助導(dǎo)函數(shù)的確定，利用函數(shù)的單調(diào)性建立含有導(dǎo)函數(shù)的不等式（恒成立），在此基礎(chǔ)上，可以通過函數(shù)的圖象與性質(zhì)思維以及參變分離思維等不同形式來分析，進而結(jié)合不同的知識點來解決與處理.

2 解題研究，展開“思路”

解題研究應(yīng)用是課堂教學(xué)與學(xué)習(xí)的基本落腳點，課堂教學(xué)（特別是高考復(fù)習(xí)中）往往也是圍繞這個來合理落實“四基”.在教學(xué)過程中，合理創(chuàng)設(shè)問題，巧妙展開問題的“思路”，引導(dǎo)學(xué)生自主參與解題，是課堂教學(xué)與學(xué)習(xí)的關(guān)鍵所在.

由于問題的典型性和切入點的差異性等，展開的“思路”就各有不同，也為問題的解決與研究提供了各種精彩紛呈的技巧方法，因此解題研究成為培養(yǎng)學(xué)生關(guān)鍵能力與核心素養(yǎng)的一個重要場所.

2.1 函數(shù)的圖象與性質(zhì)思維

根據(jù)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，利用函數(shù)的單調(diào)性來構(gòu)建涉及導(dǎo)函數(shù)的不等式（恒成立），結(jié)合關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化，基于兩個熟悉的基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)，借助函數(shù)的圖象直觀來理解與應(yīng)用，是處理此類問題的“通性通法”.

解法1：函數(shù)圖象轉(zhuǎn)化法.

依題意，f（x）=aex-ln x，則f′（x）=aex-1x.

而函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞增，可得f′（x）≥0，x∈（1，2）.

于是有aex≥1x，考察函數(shù)y=aex和函數(shù)y=1x，x∈（1，2）的圖象.

顯然，當(dāng)a>0時，函數(shù)y=aex在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞增，函數(shù)y=1x在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞減.

所以滿足ae1≥11即可，解得a≥1e=e-1，即a的最小值為e-1.

故選：C.

點評：抓住基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用圖象的直觀來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，處理起來比較簡單易懂.

2.2 參變分離思維

根據(jù)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，利用函數(shù)的單調(diào)性來構(gòu)建涉及導(dǎo)函數(shù)的不等式（恒成立），可以借助不同的思維視角來進行參變分離處理，利用不等式的一邊為參數(shù)式一邊為變量式，借助函數(shù)的構(gòu)建以及求導(dǎo)處理，通過函數(shù)的單調(diào)性以及最值的確定來構(gòu)建涉及參數(shù)式的不等式，從而實現(xiàn)參數(shù)的最值或最值范圍的求解.

解法2：分離參數(shù)法.

依題知f（x）=aex-ln x，則f′（x）=aex-1x.

而函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞增，可得f′（x）≥0，x∈（1，2），

則有a≥1xex.設(shè)函數(shù)g（x）=1xex，x∈（1，2），

求導(dǎo)可得g′（x）=-x+1x2ex<0，則函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞減，

所以g（x）≤g（1）=1e，則有a≥1e=e-1，即a的最小值為e-1.

故選：C.

點評：不同思維視角的參變分離處理，是解決此類問題的一種“巧技妙法”，對于數(shù)學(xué)運算與邏輯推理等方面的能力有不同的要求.

3 目標(biāo)變式，探尋“出路”

目標(biāo)問題的變式與應(yīng)用，是在問題的分析與解決的前提下，總結(jié)解題過程，歸納技巧方法，剖析思維方式等，對問題進行再探究與再學(xué)習(xí).在此基礎(chǔ)上，探尋問題的“出路”，對問題進行合理的、多層面的變式與應(yīng)用，是基于原問題解決的深度學(xué)習(xí).

當(dāng)然，對于目標(biāo)變式的不同深入方式，可以達(dá)到不同程度的深度學(xué)習(xí)，可以有不同的體會與收獲，往往可以圍繞“一題多變”“多題一解”“結(jié)論歸納”等方式加以目標(biāo)變式與拓展應(yīng)用，為學(xué)習(xí)和積累提供一個很好的空間，有效提升關(guān)鍵能力與培養(yǎng)核心素養(yǎng).

3.1 性質(zhì)變化

借助含參函數(shù)在給定區(qū)間上單調(diào)性的變化，對應(yīng)參數(shù)的最值也應(yīng)發(fā)生變化，得到以下相應(yīng)的變式問題.

變式1? 已知函數(shù)f（x）=aex-ln x在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞減，則a的最大值為.

教學(xué)活動：當(dāng)a≤0時，顯然函數(shù)f（x）=aex-ln x在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞減，滿足條件；

當(dāng)a>0時，依題可得f′（x）=aex-1x，

而函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞減，則f′（x）≤0，x∈（1，2），

于是有a≤1xex.設(shè)函數(shù)g（x）=1xex，x∈（1，2），

求導(dǎo)可得g′（x）=-x+1x2ex<0，則函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞減，

所以g（x）≥g（2）=12e2，故0＜a≤12e2.

綜上，a≤12e2，故a的最大值為12e2.

3.2 函數(shù)變化

借助含參函數(shù)中參數(shù)對應(yīng)位置的變化，從而含參函數(shù)的解析式也對應(yīng)產(chǎn)生變化，得到以下相應(yīng)的變式問題.

變式2? 已知函數(shù)f（x）=ex-aln x在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞增，則a的最大值為.

教學(xué)活動：當(dāng)a≤0時，函數(shù)f（x）=ex-aln x在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞增，滿足條件；

當(dāng)a>0時，依題可得f′（x）=ex-ax.

而f（x）在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞增，則f′（x）≥0，x∈（1，2），

于是有a≤xex.

設(shè)函數(shù)g（x）=xex，x∈（1，2），求導(dǎo)得

g′（x）=（x+1）ex>0，所以g（x）在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞增，

所以g（x）≥g（1）=e.故a≤e.

4 拓展反思，總結(jié)“套路”

及時的、不間斷的歸納與總結(jié)，合理的反思與反饋，給自身以不斷提升的動力與能量.而總結(jié)問題的“套路”，特別是基于解決問題與深度學(xué)習(xí)的拓展、反思，就是學(xué)習(xí)中良好思維習(xí)慣的一個重要體現(xiàn).

基于合理的拓展反思，通過“解一題”，合理“拓一類”，巧妙“變一通”，達(dá)到“會一片”的教學(xué)目的.

涉及含參函數(shù)的單調(diào)性及其綜合應(yīng)用問題，“通性通法”就是對相應(yīng)的含參函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)所對應(yīng)的不等式（恒成立）問題，借助函數(shù)的圖象與性質(zhì)來處理，是解決參數(shù)最值或取值范圍問題的常用技巧方法；而參變分離后再利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)來分析與處理，也是解決問題的基本“巧技妙法”.

無論哪種解題思維與解法，恒等變換是基礎(chǔ)，求導(dǎo)處理是方法，合理構(gòu)建是關(guān)鍵，圖象性質(zhì)是手段，借助整體換元思維、同構(gòu)思維等加以應(yīng)用，最終達(dá)到確定參數(shù)的最值或取值范圍問題.

在破解一些典型的數(shù)學(xué)問題后，不要直接“翻篇”，要合理停留，深挖內(nèi)涵，領(lǐng)悟反思，對問題進行多角度、多層面剖析、探究，達(dá)到觸類旁通、舉一反三的良好效果.借此機會，可以嘗試對問題進行“一題多思”“一題多解”，徹底“吃透”問題，進而開動思維，合理“一題多變”“一題多得”.

這樣，學(xué)生對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與數(shù)學(xué)基本技能的理解與掌握會更加熟練，知識體系的構(gòu)建會更加完善，解題思路也會更加開闊，從而真正提高數(shù)學(xué)解題效益.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)散思維能力，更加有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性、積極性和趣味性，從而全面提高他們的知識水平和思維能力.