黃曉華

摘 要：導數是數學中的一個核心概念，其影響力遍布多個學科，從數學到物理、經濟等各個領域都可見其身影。然而，在高中導數教學中，存在一些問題，這些問題不僅影響了學生的學習效果，也限制了導數知識的深入理解和應用。本文旨在探討高中導數教學中存在的問題，并提出相應的對策，以期為師生在導數學習中提供有效的幫助和指導。

關鍵詞：導數；微積分；高中數學；切線方程

導數，這個在微積分中占據核心地位的概念，常常讓人望而生畏。然而，通過深入了解其本質和應用，我們會發(fā)現它實際上是對函數局部行為的一種精確描述。導數，也被稱為導函數值或微商，其核心概念在于通過極限的思想對函數進行線性逼近。在微積分的語境下，導數可以被視為函數在某一點附近的變化率。這意味著，如果我們知道了一個函數在某一點的導數，就能了解這個函數在這一點的“斜率”，從而推斷出函數在這一點附近是上升還是下降，以及上升或下降的速度。導數作為微積分中的核心基石，不僅具有深厚的理論價值，還有廣泛的實際應用。通過深入理解導數的本質和應用，我們可以更好地掌握微積分的精髓，為解決各種實際問題提供有力的數學工具。它不僅可以幫助我們理解函數的動態(tài)行為，還能在解決實際問題的過程中發(fā)揮巨大作用。例如，在物理學中，導數被用來描述物體的速度、加速度等運動狀態(tài)；在經濟學中，導數被用來分析成本、收入等經濟指標的變化趨勢[1]。

導數專題的知識難度較大，常常在壓軸題中出現。在山東高考中這種題型的特點通常是一大一小，分值在17分左右，需要考生具備扎實的數學基礎和靈活的解題能力。因此，對于學習微積分的同學來說，掌握導數的概念和性質，以及熟練運用導數求解各種問題，都是至關重要的。

一、導數教學存在的問題

（一）學情分析

對于許多學生來說，導數是一個相對抽象的概念，它可能難以理解和應用。導數涉及函數的變化率、切線斜率等概念，這些概念需要一定的抽象思維能力來理解。在學習導數之前，學生需要掌握一定的基礎知識，如函數、極限、連續(xù)、導數的性質、定義以及幾何意義等。如果學生對這些基礎知識理解不透徹，那么在學習導數時就會遇到困難。導數問題需要較強的邏輯思維能力，對思維強度要求較高。例如導數的運算法則，學生難理解、記不住。此外，學生缺乏實踐機會，忽略了對學生實際應用能力的培養(yǎng)。這可能導致學生對導數的理解停留在理論層面，而無法將其應用到實際問題中。

（二）教情分析

數學是一門嚴謹的學科，教師的教學語言應該準確、簡潔且邏輯性強。然而，在實際教學中，有時教師的語言可能過于隨意或缺乏邏輯性，導致學生難以理解和接受教學內容。在教學過程中，教師和學生之間缺乏足夠的交流。學生可能難以理解某些概念，或者他們的觀念與教師的觀念存在矛盾，但由于缺乏有效的溝通，這些問題無法得到及時解決，導致學生對導數的理解越來越模糊。教師的站位太高，不能積極地了解學生，不了解學生的痛點在哪里。教師在設計教學內容時未能充分考慮學生的認知基礎，導致教學內容與學生實際掌握的知識水平存在較大的差距。這會影響學生的學習效果，甚至使他們對導數產生畏懼和排斥心理。教師知識面的廣度和對導數的應用能力也是影響教學效果的原因之一[2]。某些教師注重習題的講解，忽視對習題的歸納總結，導致學生難以形成系統(tǒng)的解題思路和方法。另外，有些教師的教學方法過于單一，缺乏靈活性和創(chuàng)新性，這也會影響學生的學習興趣和積極性。

（三）教材分析

導數不僅是數學知識，也是一種數學思想，蘊含著函數思想和極限的思想方法。在人教版高中數學教材中，導數的概念出現在選修2-2的第一章，是學生在學習了物理的平均速度和瞬時速度，以及前節(jié)課所學的平均變化率基礎上進行學習的。通過學習導數，學生可以更好地理解函數的變化趨勢和性質，為以后更好地研究導數的幾何意義和導數的應用奠定基礎。人教版高中數學導數章節(jié)主要包括導數的概念、導數的幾何意義、導數的計算、導數的應用等內容。教材通過實例引入導數的概念，讓學生從實例中感受導數的本質和思想方法。同時，教材還注重培養(yǎng)學生的計算能力和應用意識，通過設置適當的練習和實際應用問題，讓學生逐步掌握導數的計算方法和應用技巧。

二、新課標對導數的要求

新課標強調對導數概念的理解，包括導數的定義、幾何意義和物理意義。學生需要理解導數描述的是函數在某一點處的瞬時變化率，以及它在圖形上表現為切線的斜率。熟練掌握導數的基本運算，包括求導法則（如常數法則、冪函數法則、三角函數法則等）以及復合函數的求導。此外，還需要理解并掌握高階導數的概念及計算方法。新課標要求學生理解導數在實際問題中的應用，如極值問題、最值問題、曲線的形狀分析等。學生需要能夠運用導數知識解決這些問題，理解導數在這些問題中的幾何和物理意義。通過導數的學習，培養(yǎng)學生的數學素養(yǎng)，包括邏輯思維能力、抽象思維能力、分析問題和解決問題的能力等。同時，也希望通過導數的學習，讓學生感受到數學在現實生活中的應用，提高學習數學的興趣和動力。對導數的要求不僅僅是掌握基本的運算和概念，更重要的是理解導數的幾何和物理意義，以及它在解決實際問題中的應用[3]。同時，通過導數的學習，培養(yǎng)學生的數學素養(yǎng)和解決問題的能力，達到提高數學核心素養(yǎng)的目標。

三、高考導數的考點分析

（一）導數的定義與性質：這是導數的基礎，包括導數的定義、幾何意義（切線斜率）、物理意義（速度、加速度等）以及基本性質。

（二）導數的計算：深入探索各類函數的導數求解。它涵蓋了基礎函數、復合函數、隱函數以及參數方程等復雜函數的導數計算，此外，還包括高階導數的計算。

（三）導數與函數單調性、極值、最值：結合具體問題的背景和條件，深入探索導數在函數分析中的應用。

（四）導數與曲線形狀的分析：通過導數，我們可以分析曲線的形狀，如凹凸性、拐點等。

（五）導數的實際應用：導數在實際生活中有廣泛的應用，如物理學、經濟學、工程學等。在高考中，可能會出現給定實際問題，需要建立數學模型并求解的問題。

四、導數的教學策略

（一）注重基礎知識、基本規(guī)律的教學

導數的基本知識、基本規(guī)律，是學好導數的必備條件。在新課教學中，要注重知識、概念、規(guī)律的形成過程。例如，我們在講解導數的概念時，可以結合物理上的瞬時速度、瞬時加速度的概念，讓學生更加深刻地理解導數就是變化率。再如，在講解極值、最大值、最小值的時候，我們可以這樣做，想象一下你站在一座山的山頂上，無論你往哪個方向看，都是下坡。這就是一個“極大值”點。相反，如果你站在一個山谷底部，無論你往哪個方向看，都是上坡。這就是一個“極小值”點。在數學中，函數的極值也是這樣的點。在函數圖像上，這些點周圍的函數值都比這個點上的值?。▽τ跇O大值）或大（對于極小值）。接下來，引入導數的概念。告訴他們，我們可以通過求函數的導數來找到可能的極值點。導數為0的點，可能是極值點。但僅僅找到導數為0的點還不夠，因為有些點可能并不是極值點。我們還需要進一步驗證。

（二）開展分層教學，重視基礎和拔高

根據學生的學習能力、基礎知識和興趣等因素，將學生分為不同的層次。這樣可以確保教學內容和教學方法與每個層次的學生相匹配。針對不同層次的學生，制定不同的教學目標。對于基礎較弱的學生，教學目標應側重于導數的基本概念和性質；對于基礎較好的學生，教學目標可以更加注重導數的應用和解題技巧。根據教學目標，為不同層次的學生設計不同的教學內容。對于基礎較弱的學生，可以從簡單的導數概念入手，逐步引入導數的性質和計算方法；對于基礎較好的學生，可以深入探討導數的應用，如極值問題、曲線分析等。對于基礎較弱的學生，可以采用直觀的教學方法，如圖形演示、實例分析等，幫助他們更好地理解導數概念；對于基礎較好的學生，可以采用啟發(fā)式的教學方法，引導他們自主探索和解決問題。針對不同層次的學生，制定不同的評估標準和反饋機制。對于基礎較弱的學生，可以注重他們的學習過程和進步情況，給予更多的鼓勵和幫助；對于基礎較好的學生，可以注重他們的解題能力和創(chuàng)新思維，給予更高層次的挑戰(zhàn)和激勵。

（三）導數問題的審題策略

導數問題，許多時候已知條件比較隱蔽，學生不理解、難以切入。因此，在審題時，學生需要具備一定的敏銳度和技巧。首先，學生需要認真閱讀題目，理解題目的要求和已知條件。對于不明確的條件，可以通過畫圖、列表等方式進行輔助理解。其次，學生需要分析題目的特點，確定解題的策略。例如，對于函數單調性、極值、最值等問題，可以通過分析函數的導數來解決；對于曲線的形狀分析問題，可以通過分析導數的符號和變化來判斷。在審題過程中，學生還需要注意一些常見的錯誤和陷阱，避免被誤導。例如，有時候題目中的“在某點處”和“在某區(qū)間內”會有很大的差別，學生需要仔細辨別。此外，學生還需要靈活運用導數知識，結合其他數學知識，如函數、不等式、方程等，進行綜合分析和求解。在審題過程中，學生需要不斷總結經驗和教訓，提高自己的審題能力。同時，教師也需要加強對學生審題能力的培養(yǎng)和指導，幫助學生更好地掌握導數知識，提高數學學習的效果。

（四）總結解題步驟和方法

導數問題，比較復雜，難度也大，要善于總結一些解題步驟和方法。理解題意，弄清楚題目要求什么，給定的條件是什么。根據題目要求，確定使用哪種導數知識或方法，使用確定的策略進行計算。例如，如果要求找函數的極值，那么需要找到導數為零的點，并檢查這些點的左右兩側導數的符號。這可能包括求導、解方程、分析導數的符號等。最后，驗證答案是否滿足題目的所有要求。例如，如果找到了函數的極值點，那么需要驗證這些點確實是極值點，并且滿足題目給定的條件。

平時要善于給學生總結一下一些題型的解題步驟。

1.解決切線方程的問題步驟如下：

第一步：寫出切點坐標，你需要知道要求寫出曲線在哪一點上的切線方程。這個點稱為切點，它的坐標（， ）是求解切線方程的關鍵信息。第二步：寫出切線方程。

第三步：寫出導函數，并把切點坐標帶入導函數求導數：在微積分中，曲線的導數描述了曲線在某一點的斜率。因此，要找出切線的斜率，我們需要計算出曲線在切點處的導數。這通常通過求導函數在切點坐標（， ）的值來完成。

第四步：將導數帶入切線方程。

通過以上四個步驟，你就可以求解出曲線在給定點的切線方程。這個過程涉及了微積分和解析幾何的基本概念，展示了數學在描述和理解現實世界現象中的強大能力。

2.利用導數求函數單調區(qū)間的一般步驟：

第一步：確定原函數的定義域。

第二步：求出原函數的導函數。

第三步：讓導函數大于零，求出導函數的解集，在導函數解集與原函數的定義域的交集上為增函數。

第四步：讓導函數小于零，求出導函數的解集，在導函數解集與原函數的定義域的交集上為減函數。

通過以上步驟，可以求得函數的單調性。

（五）導數的實際應用

導數的實際應用非常廣泛，它可以幫助我們理解和描述許多自然現象、社會現象的變化規(guī)律。以下是一些導數的實際應用示例：

1.速度與加速度：在物理學中，速度是位移關于時間的導數，而加速度是速度關于時間的導數。通過求導數，我們可以得到物體在任意時刻的速度和加速度，從而了解物體的運動狀態(tài)。

2.最優(yōu)化問題：在經濟、工程和管理等領域，我們經常需要解決最優(yōu)化問題，如最大化利潤、最小化成本等。通過求函數的導數，我們可以找到函數的極值點，從而找到最優(yōu)解。

3.曲線擬合與插值：在數據處理和圖形繪制中，我們經常需要對一組離散的數據點進行擬合或插值，以得到一條光滑的曲線。通過求導數，我們可以得到曲線的斜率，從而進行擬合或插值。

4.圖像處理：在圖像處理中，導數被廣泛應用于邊緣檢測、噪聲去除和圖像增強等方面。通過求圖像的梯度（即像素值關于坐標的導數），我們可以檢測到圖像中的邊緣信息，從而進行后續(xù)的處理。

5.機器學習：在機器學習中，許多算法都涉及導數的計算。例如，梯度下降算法就需要計算損失函數關于模型參數的導數，以更新參數并降低損失。此外，深度學習中的反向傳播算法也依賴于導數的計算。

總之，導數在實際應用中具有廣泛的應用價值，它可以幫助我們更好地理解和描述自然現象，解決各種實際問題。

結束語

導數教學在數學教育中占有重要地位。由于學生在理解、應用、總結等方面都存在一定的困難，教師的站位太高、缺少總結和創(chuàng)新等問題，導致導數的教學往往達不到既定目標。導數教學不應僅僅停留在抽象的理論層面，更應通過圖像、實例等方式，使學生直觀地理解導數的概念。例如，通過讓學生觀察函數圖像的變化，理解導數在描述函數局部變化率中的作用。導數作為一種強大的數學工具，在實際問題中有廣泛的應用。教師可以設置一些開放性的問題，讓學生自行探究，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維和解決問題的能力。導數教學需要培養(yǎng)學生的邏輯思維能力。在教學中，應注重引導學生理解導數的定義、性質、計算方法等方面的邏輯關系，使他們在掌握知識的同時，也提高邏輯思維能力。導數教學的先進做法應注重直觀理解、實踐應用、自主探索、邏輯思維、現代技術利用以及跨學科聯(lián)系等方面，以全面提高學生的數學素養(yǎng)和解決問題的能力。

參考文獻

[1]毛慶華.借助化歸思想提升導數教學效率[J].中學數學，2024（5）：62-64.

[2]程建新，田闊.“大概念”引領下數學解題教學的實踐與思考：以“一類導數恒成立問題的策略”為例[J].中學教研（數學），2024（3）：23-27.

[3]劉雪亮.合理創(chuàng)新設計，優(yōu)化教學效果：基于“導數及其應用”的大單元教學[J].中學數學，2024（3）：94-95.