陳紀(jì)韋華 黃玉霞

[ 摘 要 ]文章針對(duì)福建省中考中的兩道試題進(jìn)行剖析，抓住素養(yǎng)培育的基準(zhǔn)點(diǎn)，繼而挖掘同類型試題的特征，找準(zhǔn)思維的觸發(fā)點(diǎn)，探索思路，形成方法體系，并基于邏輯推理，培植發(fā)散點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生形成幾何推理的思路、方法，發(fā)展核心素養(yǎng).

[ 關(guān)鍵詞 ]推理能力；核心素養(yǎng)；試題解法；提出新問(wèn)題

基金項(xiàng)目：2022年度福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃專項(xiàng)課題“基于數(shù)學(xué)閱讀的初中數(shù)學(xué)‘讀思達(dá)課堂建構(gòu)研究”（Fjxczx22-131）.

在中學(xué)解題教學(xué)中，如何提出問(wèn)題，分析問(wèn)題，解決問(wèn)題，并系統(tǒng)化問(wèn)題來(lái)突出知識(shí)主線，如何挖掘試題蘊(yùn)含的高層次的數(shù)學(xué)思想方法來(lái)歸納方法暗線，如何理解試題本質(zhì)構(gòu)建一系列問(wèn)題結(jié)構(gòu)來(lái)提升素養(yǎng)明線，是數(shù)學(xué)教師們孜孜不倦研究的重要內(nèi)容.特別是在平面幾何的教學(xué)中，理應(yīng)利用有意義且不復(fù)雜的試題啟發(fā)學(xué)生，示之以思維之道，筑牢研究平面幾何問(wèn)題的基本方法和思維體系，一以貫之地培養(yǎng)學(xué)生重論據(jù)，有條理，合乎邏輯的思維品質(zhì)和理性精神，以此提升學(xué)生的推理能力.下面，本文以2020年福建省中考第23題和2021年福建省中考第22題為例，闡述這方面的思考.

抓住基準(zhǔn)點(diǎn)：立足本質(zhì)，聚焦素養(yǎng)

例1 （2020年福建中考第23題）如圖1，C為線段AB外一點(diǎn).

（1）求作四邊形ABCD，使得CD∥AB，且CD=2AB；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）如圖2，在（1）中的四邊形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)P，AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N，求證：M，P，N三點(diǎn)在同一條直線上.

例2 （2021年福建中考第22題）如圖3，已知線段MN=a，AR⊥AK，垂足為A.

（1）求作四邊形ABCD，使得點(diǎn)B，D分別在射線AK，AR上，且AB=BC=a，∠ABC=60°，CD∥AB；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）如圖4，設(shè)P，Q分別為（1）中四邊形ABCD的邊AB，CD的中點(diǎn)，求證：直線AD，BC，PQ相交于同一點(diǎn)G.

這兩道中考試題的位置分別位于整卷的第23題和第22題，整卷共25題，與尺規(guī)作圖相結(jié)合，屬于中檔題.兩題的第（2）問(wèn)是典型的綜合幾何題，通過(guò)證明“共線點(diǎn)”和“共點(diǎn)線”，考查推理能力、空間想象、幾何直觀、化歸與轉(zhuǎn)化思想等.“共線點(diǎn)”和“共點(diǎn)線”是射影幾何學(xué)中的常見問(wèn)題，是研究射影變換下的不變性，在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中常見，然而在其他各地市的中考中并不常見，可謂獨(dú)樹一幟.近五年福建省的中考題為何連續(xù)考查“共線點(diǎn)”和“共點(diǎn)線”？其命題意圖何在？

1.回歸教材，追本溯源

一道好的中考試題往往能從課本中找到其影子.如下題，人教版教材八下第62頁(yè)，習(xí)題18.2第16題：

例3 如圖5，在△ABC中，BD，CE分別是邊AC，AB上的中線，BD與CE相交于點(diǎn)O.BO與OD的長(zhǎng)度有什么關(guān)系？BC邊上的中線是否一定過(guò)點(diǎn)O？為什么？

2.強(qiáng)調(diào)對(duì)幾何本質(zhì)的考查

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，初中階段，學(xué)生將進(jìn)一步學(xué)習(xí)點(diǎn)、線、面、角、三角形、多邊形和圓等幾何圖形，從演繹證明、運(yùn)動(dòng)變化、量化分析三個(gè)方面研究這些圖形的基本性質(zhì)和相互關(guān)系.直線是基本幾何圖形，要通過(guò)刻畫直線直的形狀特征來(lái)研究直線的性質(zhì)，課本首先介紹兩點(diǎn)確定一條直線這一基本事實(shí)，然后通過(guò)對(duì)直線的命名（直線AB或直線BA）來(lái)說(shuō)明直線的構(gòu)成要素以及可以向兩邊無(wú)限延伸來(lái)說(shuō)明直線的方向，最后通過(guò)點(diǎn)在直線上（點(diǎn)在直線外）、直線過(guò)點(diǎn)（直線不過(guò)點(diǎn)），及三點(diǎn)共線（三點(diǎn)不共線），來(lái)說(shuō)明直線構(gòu)成元素之間的關(guān)系，刻畫了直線的直.因此，“共線點(diǎn)”“共點(diǎn)線”問(wèn)題就是幾何的平直性問(wèn)題，證明“共線點(diǎn)”“共點(diǎn)線”是考查直線的性質(zhì)、點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，是考查幾何的對(duì)稱性和平直性，是對(duì)幾何圖形最本質(zhì)的考查，是關(guān)注推理能力中“邏輯起點(diǎn)”的考查.

3.傳遞推理能力的育人價(jià)值

例1和例2作為中考試卷的中檔題，不在圖形輔助線處設(shè)置難點(diǎn)是合適的，重點(diǎn)考查推理能力中“探索并表述論證過(guò)程”“初步形成邏輯表達(dá)與交流的習(xí)慣”.共線點(diǎn)和共點(diǎn)線的證明方法具有多樣性和系統(tǒng)性，解決過(guò)程考查學(xué)生是否理解來(lái)龍去脈和能否有序分析思考脈絡(luò)，例如問(wèn)題是怎樣產(chǎn)生和提出的，結(jié)論是怎樣猜測(cè)和探索的，證明的思路是怎樣形成的，以及試題結(jié)論的本質(zhì)意義和方法怎樣應(yīng)用于同類試題，反映了學(xué)生思維的發(fā)散性、靈活性、有序性、系統(tǒng)性和深刻性，而這一切都和推理能力相關(guān).其傳遞的育人價(jià)值是有助于養(yǎng)成重論據(jù)、合乎邏輯的思維習(xí)慣，形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和理性精神.

找準(zhǔn)觸發(fā)點(diǎn)：探索思路，厘清網(wǎng)絡(luò)

基于學(xué)生已有的認(rèn)知或有關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)試題，把握問(wèn)題中條件與條件、條件與結(jié)論之間的關(guān)聯(lián)，選擇適切的思維切入點(diǎn)，指導(dǎo)學(xué)生對(duì)論證思路進(jìn)行深度分析，據(jù)此形成論證思路，學(xué)會(huì)邏輯地思考問(wèn)題和數(shù)學(xué)地表達(dá)交流.下文以例2的解答為例.

從問(wèn)題結(jié)論入手，如何證明三線共點(diǎn)？

第一類證明的方法：將三線共點(diǎn)化歸為如何證明三點(diǎn)共線.化歸是指把待解決的問(wèn)題，通過(guò)某種轉(zhuǎn)化過(guò)程，歸結(jié)到一類已經(jīng)能解決或者比較容易解決的問(wèn)題中，最終獲得原問(wèn)題的解答的一種方法.

2.利用一點(diǎn)在另外兩點(diǎn)所成的直線上證明三點(diǎn)共線

①可以用同一法證明點(diǎn)在直線上.同一法是間接證法的一種，用同一法證明的一般步驟是先作出符合結(jié)論特性的圖形，再證明所作的圖形符合已知條件，最后推證出所作圖形與已知為同一圖形.

還可以用如下的同一法證明.

法三：設(shè)直線AD與BC相交于點(diǎn)G，問(wèn)題“直線AD，BC，PQ相交于點(diǎn)G”轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)G，Q，P共線.如圖9，連接DP，CP，連接PG交CD于點(diǎn)Q.在Rt△GAB中，點(diǎn)D，C，P分別為邊AG，BG，AB的中點(diǎn)，故DP，CP為△GAB的中位線，則CP∥DG，DP∥CG.故四邊形DPCG為平行四邊形.又對(duì)角線PG，CD相交于點(diǎn)Q，故DQ = CQ.又Q為CD的中點(diǎn)，故點(diǎn)Q與Q重合，即點(diǎn)G，Q，P共線.因此直線AD，BC，PQ相交于同一點(diǎn).

用同一法證明三點(diǎn)共線時(shí)，法二、法三是引入新點(diǎn)，證明該點(diǎn)與三點(diǎn)中的某點(diǎn)重合，即同一點(diǎn).法四、法五是引入新線，可用“過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”或“過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行”等定理，證明同一線，即重合法.

②還可以用解析法證明一點(diǎn)在另外兩點(diǎn)所在的直線上.

第二類證明的方法：可以利用一些定理（例如塞瓦定理、蒙日定理、梅涅勞斯定理、西姆松定理、帕斯卡定理、張角定理等）直接證明三線共點(diǎn)或三點(diǎn)共線，這些定理屬于競(jìng)賽內(nèi)容或者高等幾何內(nèi)容，本文不做討論.

構(gòu)建知識(shí)體系，整體把握知識(shí)的來(lái)龍去脈，抓住問(wèn)題的本質(zhì)，是反映推理能力水平的重要方面.共線點(diǎn)、共點(diǎn)線問(wèn)題考查幾何的本源性、方法的多樣性，因此教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)試題進(jìn)一步分析、歸納，建立解決問(wèn)題的網(wǎng)狀知識(shí)結(jié)構(gòu)，且在具體的、不同情境下的問(wèn)題解決過(guò)程中，最適宜思路的形成，而證明言語(yǔ)的書寫不拖沓、不重復(fù)，觀點(diǎn)明確，論述有理有據(jù)，也體現(xiàn)著推理水平的差異.

培植發(fā)散點(diǎn)：基于邏輯推理提出新問(wèn)題

1.條件與結(jié)論互換

演繹推理是必然性推理，能證明結(jié)論，歸納、類比推理是或然性推理，能發(fā)現(xiàn)結(jié)論，做出猜想，邏輯推理的水平以歸納、類比和演繹兩類推理形式體現(xiàn)出來(lái).在對(duì)圖形性質(zhì)進(jìn)行研究時(shí)，也往往以歸納、類比的形式思考圖形的判定.對(duì)于例1和例2，考慮其易位變形，可將題中的條件部分所含的事項(xiàng)與結(jié)論互易位置，從而得到逆命題，合情推理其正確與否并證明有助于對(duì)原試題進(jìn)行深刻理解.

2.改變題目背景

可在背景材料、表達(dá)方式、問(wèn)題設(shè)置等方面改頭換面，賦予試題以新貌、新意、新質(zhì).將例2中的條件“P，Q分別為（1）中四邊形ABCD的邊AB，CD的中點(diǎn)”進(jìn)行適當(dāng)隱藏，可以得到如下變式：如圖14，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為菱形ABCD的邊AB，BC的中點(diǎn)，連接EF，AC，BD.

（1）G為邊AD上靠近點(diǎn)D的一點(diǎn)，求作GH∥AC交CD于點(diǎn)H；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，連接EG，F(xiàn)H，求證：直線EG，BD，F(xiàn)H相交于同一點(diǎn).

3.用向量工具對(duì)“共線點(diǎn)”“共點(diǎn)線”進(jìn)行再研究

培養(yǎng)邏輯推理時(shí)要關(guān)注數(shù)學(xué)表達(dá)與交流，要注意各水平的不同要求以及水平的逐步提高.對(duì)于同一個(gè)問(wèn)題、同一個(gè)研究對(duì)象，要注意不同數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表述、不同數(shù)學(xué)工具的刻畫.而且在數(shù)學(xué)研究中，常常用新的工具、新的方法對(duì)已研究過(guò)的對(duì)象進(jìn)行再研究，這有利于站在新的高度重新審視研究對(duì)象，加深對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的認(rèn)識(shí)，并有所發(fā)現(xiàn).向量集數(shù)與形于一身，每一種向量運(yùn)算都與相應(yīng)的幾何圖形性質(zhì)有密切聯(lián)系，因此利用向量運(yùn)算研究“共線點(diǎn)”“共點(diǎn)線”問(wèn)題會(huì)更加方便、簡(jiǎn)潔.例如，對(duì)于例2，可以略去更多非核心條件，利用向量來(lái)證明：如圖15，在四邊形ABCD中，AB∥CD，P，Q分別為四邊形ABCD的邊AB，CD的中點(diǎn)，求證：直線AD，BC，PQ相交于同一點(diǎn)G.

上述證明僅僅用到了三角形回路和向量運(yùn)算，而且證明過(guò)程是程序化的，充分體現(xiàn)了向量運(yùn)算的作用，解法簡(jiǎn)單.一道好的試題應(yīng)既有教材的“前傳”，又有后續(xù)學(xué)習(xí)的“后傳”，既有跡可循，又連綿不絕.“共線點(diǎn)”“共點(diǎn)線”問(wèn)題在高中利用向量工具會(huì)再進(jìn)一步探究，例如用向量研究三角形的性質(zhì).可見“共線點(diǎn)”“共點(diǎn)線”問(wèn)題的生命力持久，從中也更能體會(huì)中考試題傳遞“有利于學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)發(fā)展需要”的命題理念.

結(jié)束語(yǔ)

高效、深度的中考復(fù)習(xí)需要教師有良好的解題教學(xué)習(xí)慣.特別是在中考二輪復(fù)習(xí)時(shí)，經(jīng)常采用“小專題復(fù)習(xí)”的教學(xué)形式，根據(jù)具體的教學(xué)目標(biāo)，抓住基準(zhǔn)點(diǎn)，將具有共同特征的某一類問(wèn)題確定為關(guān)鍵教學(xué)點(diǎn)，并梳理其中的重點(diǎn)、難點(diǎn)、核心關(guān)節(jié)處，找準(zhǔn)觸發(fā)點(diǎn)，設(shè)計(jì)成一個(gè)個(gè)教學(xué)問(wèn)題串，有序地層層遞進(jìn)，培植發(fā)散點(diǎn)，以期專題專練、專題專得，問(wèn)一問(wèn)“你認(rèn)為解這類題目的一般步驟是什么”“還有不同的方法嗎”“你是怎么想到的”.這樣的教學(xué)方式，能幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)和方法體系，既見樹木又見森林，觸類旁通，舉一反三，使學(xué)生思想通、方法熟、原理透、概念清，從而真正培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).