周紅亞

［摘? 要］ “鉛垂高”這一數(shù)學(xué)模型在生產(chǎn)與生活中有著重要的應(yīng)用，具有廣泛的研究價值. 研究者以生長數(shù)學(xué)理念為指引，結(jié)合教學(xué)實際精心設(shè)計指向深度學(xué)習的問題鏈，讓學(xué)生在問題的驅(qū)動下自主建構(gòu)“鉛垂高”這一數(shù)學(xué)模型，并提供機會讓學(xué)生靈活應(yīng)用該模型解決不同背景的實際問題，促進學(xué)生思維生長，提高學(xué)生的學(xué)習品質(zhì).

［關(guān)鍵詞］ 問題鏈；思維生長；深度學(xué)習；鉛垂高

教學(xué)立意

1. 價值立意

“鉛垂高”這一概念雖然在教材中沒有出現(xiàn)，但是其在解決問題的過程中經(jīng)常出現(xiàn)，是解決某些數(shù)學(xué)問題的重要工具，具有一定的探究意義. 在教學(xué)中，教師若僅將“鉛垂高”作為數(shù)學(xué)模型讓學(xué)生簡單套用，則學(xué)生的學(xué)只能停留于模仿和套用上，很難體現(xiàn)其教學(xué)價值，難以引發(fā)有深度的學(xué)習. 為了改變這一局面，教師應(yīng)設(shè)計有效的問題情境，讓學(xué)生在問題的驅(qū)動下主動構(gòu)建“鉛垂高”這一實用型工具，以此讓學(xué)生通過經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程，深化對知識的理解，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用水平，落實數(shù)學(xué)素養(yǎng).

為了引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“鉛垂高”這一數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程，教師應(yīng)設(shè)計生長路徑明顯的數(shù)學(xué)問題，幫助學(xué)生深入理解這一數(shù)學(xué)模型的基本特征及現(xiàn)實意義，同時通過多場景、多角度、多層次的探索幫助學(xué)生了解不同問題的區(qū)別與聯(lián)系，揭示問題的本質(zhì). 另外，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)一些獨立思考和合作交流的時間和空間，幫助學(xué)生更好地發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、拓展問題、感悟問題，運用問題促進學(xué)生思維生長，提升學(xué)生的綜合學(xué)力.

2. 教學(xué)方法

對于“鉛垂高”，其最初形態(tài)為“絕對值”，然后是“平面直角坐標系”，其廣泛應(yīng)用于解斜三角形面積的問題中. 在學(xué)習過程中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生追根溯源，讓學(xué)生在知識發(fā)現(xiàn)、發(fā)展和應(yīng)用過程中深刻理解知識，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題的能力. 基于以上內(nèi)容的邏輯分析，教學(xué)中可以專題的方式展開，讓學(xué)生在任務(wù)的驅(qū)動下主動思考、主動交流、主動建構(gòu)，通過運用任務(wù)驅(qū)動、分析討論等多種“以生為主”的教學(xué)活動的開展，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習能力，讓學(xué)生學(xué)會合作、學(xué)會學(xué)習.

教學(xué)過程

1. 專題復(fù)習，建立邏輯關(guān)聯(lián)

例1? 如圖1，請指出A，B，C，D各點分別表示的數(shù)，計算兩點間的距離，并說一說你的計算過程.

例2? 如圖2，在平面直角坐標系xOy中，A，B，C，D各點的坐標是什么？請分別求出線段AB，CD，AD，BC的長度，并說一說你的計算過程.

師生活動：例題給出后，教師讓學(xué)生獨立思考，然后點名讓基礎(chǔ)較為薄弱的學(xué)生呈現(xiàn)計算結(jié)果及解題過程. 從學(xué)生反饋來看，學(xué)生能夠靈活運用絕對值和平面直角坐標系中平行于坐標軸的兩點之間距離的表示方式寫出兩點之間的距離.

設(shè)計意圖? 通過上述兩個例題的設(shè)計，了解學(xué)生對已有知識的掌握情況，并結(jié)合學(xué)生的實際反饋進行有效的指導(dǎo)，以此掃清知識障礙，感悟知識間的邏輯聯(lián)系，為接下來探究“鉛垂高”這一數(shù)學(xué)模型做鋪墊.

2. 問題變式，深化“鉛垂高”的理解

問題場景：已知拋物線y=-x2+2x+3與x軸相交于點A（-1，0），B（3，0），與y軸相交于點C（0，3）.

問題1? 如圖3，點P為拋物線上一動點，且僅在直線BC的上方運動，過點P作PD∥y軸交直線BC于點D，設(shè)點P的橫坐標為m，求線段PD的長（用含m的代數(shù)式表示）.

問題2? 如圖4，點P為拋物線上一動點，且僅在直線BC的下方運動，過點P作PD∥y軸交直線BC于點D，設(shè)點P的橫坐標為m，求線段PD的長（用含m的代數(shù)式表示）.

問題3? 點P為拋物線上一動點，過點P作PD∥y軸交直線BC于點D，設(shè)點P的橫坐標為m，求線段PD的長（用含m的代數(shù)式表示）.

師生活動：上述三個問題難度不大，教師先讓學(xué)生獨立完成，然后以小組為單位讓學(xué)生交流探究結(jié)果，最后對學(xué)生的探究結(jié)果進行點評、歸納. 當然，一些基礎(chǔ)較為薄弱的學(xué)生面對動點問題時容易產(chǎn)生畏難情緒，基于此，教師要及時啟發(fā)和指導(dǎo)，并鼓勵學(xué)生進行互動交流，以此通過相互啟發(fā)、相互幫扶消除學(xué)生的畏難情緒，提高學(xué)生學(xué)習信心.

設(shè)計意圖? 上述三個問題構(gòu)成了一個變式題組，審視題目不難看出，點P的位置雖然不同，但是其結(jié)構(gòu)相同，以此通過“變與不變”加深對“鉛垂高”表示方法的理解. 三個問題逐層呈現(xiàn)，逐層遞進，讓學(xué)生在探究中體會“鉛垂高”表示上的細微區(qū)別，使學(xué)生的思維自然生長，為接下來引出三角形面積問題做好鋪墊.

3. 問題驅(qū)動，促進思維生長

問題4? 通過前面問題的探究，大家對“鉛垂高”這一模型已經(jīng)有了一定的了解，你能說一說“鉛垂高”可以解決哪些問題嗎？

問題5? 請設(shè)計幾個利用“鉛垂高”求三角形面積的問題.

結(jié)合已有經(jīng)驗易知，“鉛垂高”是解決三角形面積問題的重要工具. 在教學(xué)中，教師沒有直接呈現(xiàn)相關(guān)的三角形面積問題讓學(xué)生求解，而是將題目設(shè)計主動權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生以上述問題場景為背景，設(shè)計對應(yīng)的求三角形面積的問題，讓學(xué)生在設(shè)計問題的過程中體會“鉛垂高”的工具意義，提高學(xué)生學(xué)習的積極性. 在教師的啟發(fā)和引導(dǎo)下，在原有問題的基礎(chǔ)上學(xué)生設(shè)計了如下對應(yīng)的三角形面積問題.

問題6? 如圖5，點P為拋物線y= -x2+2x+3上一動點，且僅在直線BC的上方運動，過點P作PD∥y軸交直線BC于點D，連接PC，PB，設(shè)點P的橫坐標為m，求△PBC的面積（用含m的代數(shù)式表示）.

問題7? 如圖6，點P為拋物線y= -x2+2x+3上一動點，且僅在直線BC的下方運動，過點P作PD∥y軸交直線BC于點D，連接PC，PB，設(shè)點P的橫坐標為m，求△PBC的面積（用含m的代數(shù)式表示）.

問題8? 已知點P為拋物線y=-x2+2x+3上一動點，過點P作PD∥y軸交直線BC于點D，連接PC，PB，設(shè)點P的橫坐標為m，求△PBC的面積（用含m的代數(shù)式表示）.

師生活動：在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生改編原有問題——將求線段的問題改編為求三角形面積的問題. 教師整理并投影展示上述三個問題，然后預(yù)留時間讓學(xué)生以小組合作的方式解決問題. 在解題過程中，有些小組遇到了障礙，教師啟發(fā)學(xué)生將一個三角形的面積轉(zhuǎn)化為兩個三角形面積的和或差，這樣各個小組便順利地解決了問題. 解題后，教師預(yù)留時間讓學(xué)生對解題過程進行對比分析，進而揭示問題的本質(zhì)，讓學(xué)生掌握解決此類問題的通法.

設(shè)計意圖? 此環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生將線段問題轉(zhuǎn)化為三角形面積問題，使數(shù)形結(jié)合更加緊密. 對于上述三個問題（問題6、問題7、問題8），無論點P在何位置，△PBC的面積最終都可以轉(zhuǎn)化為線段OB與線段PD的乘積的一半，而這里的OB為定值，因此解題關(guān)鍵就是求線段PD的長. 分析至此，問題迎刃可解. 這樣以不同背景為依托，讓學(xué)生感受“鉛垂高”在解決此類斜三角形問題中的妙用，提高學(xué)生學(xué)習積極性.

問題9? 以上各題所研究的均為過點P作PD∥y軸，交直線BC于點D，然后用點P的橫坐標來表示PD的長. 如果將問題“變一變”，如圖7，過點P作PE⊥BC，垂足為E，那么此時線段PE的長是否依然可以用點P的橫坐標來表示呢？

問題10? 在問題9的基礎(chǔ)上，用點P的橫坐標還可以表示什么呢？能否表示△PDE的周長和面積呢？

設(shè)計意圖? 通過以上問題的解決，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“斜高”與“鉛垂高”同根而生，緊密聯(lián)系. 這樣由平行到垂直，引導(dǎo)學(xué)生將相關(guān)知識進行合理的串聯(lián)，拓寬學(xué)生的視野.

問題11? 如圖8，點P為直線BC上方拋物線上的一動點，連接OP，交線段BC于點Q，設(shè)點P的橫坐標為m，求（用含m的代數(shù)式表示）.

問題12? 如圖9，點P為直線BC上方拋物線上的一動點，連接OP，交線段BC于點Q，連接PC，記△PCQ的面積為S，△OCQ的面積為S，設(shè)點P的橫坐標為m，求（用含m的代數(shù)式表示）.

設(shè)計意圖? 上述兩個問題有一定難度，教師可以啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想相似三角形和“等高”模型，引導(dǎo)學(xué)生用線段PD加以 表示，讓學(xué)生進一步感知“鉛垂高”在解決三角形面積問題中的價值. 解題后，教師應(yīng)有意識地引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納解題過程，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)上述問題雖然形式不同，但是其求解方法前后一致，以此在深化知識理解的同時，提高學(xué)生舉一反三的能力.

在教學(xué)過程中，教師可以根據(jù)實際學(xué)情確定是否繼續(xù)進行拓展延伸. 若學(xué)生通過獨立思考和合作交流能夠順利解決以上問題，教師還可以繼續(xù)拓展，延伸出定值，如問題1到問題3，若PD=2，求點P的坐標；又如問題6到問題8，若△PBC的面積為定值2，求點P的坐標；抑或在問題9的基礎(chǔ)上，給出PE的長為2，求點P的坐標；對于問題11，不妨給出=1，求點P的坐標. 當然還可以將問題推廣為求最值的問題，如點P為直線BC上方拋物線上的一個動點，PD，S，PE，，是否存在最大值？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由. 這樣引導(dǎo)學(xué)生從不同角度分析與探究問題本質(zhì)，既有利于知識的深化，又能幫助學(xué)生積累豐富的活動經(jīng)驗，促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維的生長.

4. 體驗感悟，促進知識的升華

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，若想讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習，僅僅靠講授和練習是不夠的，還要預(yù)留時間讓學(xué)生進行反思與感悟. 在本節(jié)課教學(xué)中，教師從學(xué)生最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，結(jié)合學(xué)生實際學(xué)情設(shè)計問題鏈，使學(xué)生在問題鏈的驅(qū)動下掌握了核心的基礎(chǔ)知識，鍛煉了學(xué)生的解題技能. 同時通過有效的歸納總結(jié)讓學(xué)生體會許多看似不同的問題，其解題方法卻有異曲同工之妙，以此激發(fā)學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)的積極性. 在歸納總結(jié)環(huán)節(jié)中，教師又設(shè)計了如下問題引導(dǎo)學(xué)生回頭看.

（1）本節(jié)課我們主要復(fù)習了哪些內(nèi)容？

（2）通過以上問題的解決，你有何發(fā)現(xiàn)？問題最后落在了何處？

（3）解決問題的過程中運用了哪些數(shù)學(xué)思想方法和策略？

設(shè)計意圖? 反思與回顧是課堂教學(xué)的重要一環(huán)，是完善認知、內(nèi)化能力的主要途徑. 該環(huán)節(jié)若僅預(yù)留時間讓學(xué)生總結(jié)歸納而不進行有效的指導(dǎo)，可能難以達到預(yù)期. 基于此，教師結(jié)合教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)目標精心設(shè)計問題，讓學(xué)生在問題的引領(lǐng)下積極思考、積極交流，以此理清知識的來龍去脈，逐步建立完善的認知結(jié)構(gòu)，提升分析和解決問題的能力.

教學(xué)反思

復(fù)習課不僅要讓學(xué)生知道知識和方法從哪里來，還要讓學(xué)生知道知識和方法到哪里去，在腦海中形成清晰的知識脈絡(luò)，以便學(xué)生能夠靈活應(yīng)用相關(guān)知識解決問題. 在本節(jié)課教學(xué)中，教師精心設(shè)計問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生回顧“絕對值”和“平面直角坐標系”相關(guān)內(nèi)容，讓學(xué)生感悟知識間的邏輯聯(lián)系. 在此基礎(chǔ)上引出“鉛垂高”的應(yīng)用，以此通過對問題的深入探究建構(gòu)起知識與方法的“前世今生”，逐步形成完整的知識結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用水平. 因此，在復(fù)習教學(xué)中，教師應(yīng)重視合理地引入問題鏈，充分發(fā)揮問題在誘發(fā)學(xué)生思考，啟迪學(xué)生智慧，優(yōu)化學(xué)生認知結(jié)構(gòu)等方面的價值，提高復(fù)習教學(xué)有效性. 為了充分發(fā)揮問題鏈的積極作用，教師在設(shè)計問題鏈時應(yīng)重視以下幾點.

1. 問題設(shè)計應(yīng)體現(xiàn)生長

在傳統(tǒng)復(fù)習教學(xué)中，為了實現(xiàn)“多講多練”的教學(xué)目標，部分教師在復(fù)習課堂的選題上呈現(xiàn)出一定的隨意性，使課堂上出現(xiàn)了一些重復(fù)題或無太大關(guān)聯(lián)的問題，而重復(fù)的練習容易造成思維疲勞，而關(guān)聯(lián)不大的問題會影響思維的自然生長，這樣的復(fù)習課堂看似豐富多彩，其實學(xué)生的收獲甚微，影響復(fù)習效果. 因此，教師在設(shè)計問題鏈時，應(yīng)注意問題的梯度性和生長性，使學(xué)生的思維潛移默化地發(fā)散和生長. 在本節(jié)課教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生用點P的橫坐標表示“鉛垂高”PD后，還可以讓學(xué)生思考若PD為確定值時，點P的坐標是什么？在此基礎(chǔ)上進一步延伸，讓學(xué)生思考“鉛垂高”是否存在最值，以此通過有效的拓展延伸，讓學(xué)生的思維自然生長.

2. 問題設(shè)計應(yīng)回歸本原

在本節(jié)課教學(xué)中，教師從不同角度引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出問題，并引導(dǎo)學(xué)生利用不同方法解決問題，以此通過多角度分析和全方位探討讓學(xué)生對如何應(yīng)用“鉛垂高”處理三角形面積問題了然于心. 如求PD的長和△PBC的面積，點P的位置雖然不同，但是其構(gòu)造方式相同，解題思路相同，應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想方法也相同，這樣通過全方位探討讓學(xué)生對“鉛垂高”的理解更加透徹，促進學(xué)生深入思考，提高學(xué)生分析和解決問題的能力.

總之，在復(fù)習教學(xué)中，教師應(yīng)精心選題，合理設(shè)置問題鏈，有意識地呈現(xiàn)知識的“前世今生”，以此讓學(xué)生全方位地理解知識，建構(gòu)完善的知識體系，提高課堂教學(xué)有效性.