摘 要：高三二輪復(fù)習(xí)期間，一道立體幾何測(cè)試題的考查結(jié)果不理想，講評(píng)過(guò)程存在問(wèn)題。為了提高教學(xué)效益，高三復(fù)習(xí)必須保持一定的思維張力，以不斷培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。為此，要在精心選擇題目的基礎(chǔ)上，精心設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，發(fā)揮題目應(yīng)有的教育價(jià)值，尤其要激勵(lì)學(xué)生正視困難，引導(dǎo)學(xué)生突破化解；鼓勵(lì)學(xué)生多向思考，促進(jìn)學(xué)生聯(lián)系比較。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；高三復(fù)習(xí)；立體幾何；解題教學(xué)；思維能力

一、 一道立體幾何測(cè)試題的講評(píng)

高三二輪復(fù)習(xí)期間，我市舉行了一次中檔題專(zhuān)項(xiàng)測(cè)試，其中一道立體幾何題如下：

如圖1，在三棱錐A-BCD中，DA=DB=DC，BD⊥CD ，∠ADB=ADC=60°，E為BC 的中點(diǎn)。

（1） 證明：BC⊥DA；

（2） 空間一點(diǎn)F使得四邊形ADEF是平行四邊形，求二面角D-AB-F的正弦值。

這道題改編自2023年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅱ卷第20題，滿分12分。某校A班學(xué)生的均分僅為6.28分，遠(yuǎn)低于該校的均分。

按理說(shuō)，經(jīng)過(guò)一輪復(fù)習(xí)，一道中檔的立體幾何題不應(yīng)該成為學(xué)生的障礙。是什么原因?qū)е聹y(cè)試結(jié)果不理想呢？

我調(diào)閱了A班學(xué)生的答題卡，發(fā)現(xiàn)所有學(xué)生解第一問(wèn)用的都是綜合幾何法，解第二問(wèn)用的都是空間向量坐標(biāo)法。解第二問(wèn)時(shí)，以D為原點(diǎn)建系的學(xué)生很多，卻無(wú)一人沿著這條路走到底；其他學(xué)生都以E為原點(diǎn)建系，但是其中不少人因?yàn)榉N種原因未能走到底，只有少數(shù)人完全做對(duì)。

班級(jí)整體測(cè)試結(jié)果不理想，通常都不只是學(xué)生的問(wèn)題，還與教師（之前）的教學(xué)有關(guān)。為了了解教師的教學(xué)情況，我又到該校聽(tīng)了A班數(shù)學(xué)老師的試卷講評(píng)課。該題的講評(píng)過(guò)程大致如下：

教師讀題后，先請(qǐng)一位學(xué)生板演第一問(wèn)的解答過(guò)程：

（1）因?yàn)镋為BC 中點(diǎn)，DB=DC，所以DE⊥BC（記為①）。

因?yàn)镈A=DB=DC，∠ADB=∠ADC=60° ，所以△ABD與△ACD均為等邊三角形，所以AC=AB，從而連接AE可得AE⊥BC（記為②）。

由①②，且AE∩DE=E，AE、DE平面ADE，所以BC⊥ 平面ADE。

而AD平面ADE，所以BC⊥DA。

教師打?qū)μ?hào)評(píng)價(jià)后總結(jié)：對(duì)于立體幾何解答題，一般地，第一問(wèn)用綜合幾何法，第二問(wèn)用空間坐標(biāo)法。

然后問(wèn)學(xué)生：第二小題應(yīng)該怎么建系？學(xué)生作出圖2后回答：以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。教師點(diǎn)評(píng)：這樣建系沒(méi)有充分利用題目中隱含的三條直線兩兩垂直的信息，最好以E為原點(diǎn)建系。

帶領(lǐng)學(xué)生證明DE⊥AE后，教師投影標(biāo)準(zhǔn)答案的解答過(guò)程：

（2） 不妨設(shè)DA=DB=DC=2，則AB=AC=2，故△DBC≌△ABC。

因?yàn)锽D⊥CD，所以AB⊥AC，并且BC=22，DE=AE=2。

所以DE2+AE2=AD2，所以DE⊥AE。

又因?yàn)镈E⊥BC、AE⊥BC，于是以E為原點(diǎn)，ED、EB、EA所在直線分別為x、y、z軸，建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系，

則E（0，0，0）、D（2，0，0）、B（0，2，0）、A（0，0，2）。又因?yàn)樗倪呅蜛DEF是平行四邊形，所以F（-2，0，2）。

設(shè)平面DAB與平面ABF的一個(gè)法向量分別為n1=（x1，y1，z1）、n2=（x2，y2，z2），由n1·AD=0，n1·AB=0得2x1-2z1=0，2y1-2z1=0，取x1=1得n1=（1，1，1）。由n2·AB=0，n2·AF=0得2y2-2z2=0，-2x2=0，取y2=1得n2=（0，1，1）。

設(shè)二面角D-AB-F的平面角為θ，則cosθ=n1·n2/n1·n2=2/3×2=6/3，所以sinθ=3/3。

停頓片刻后，教師總結(jié)：有了空間坐標(biāo)法之后，立體幾何題相當(dāng)于計(jì)算題，只需要按部就班地運(yùn)算，確保無(wú)誤即可。

二、 對(duì)高三復(fù)習(xí)教學(xué)的啟示

這道題的講評(píng)，引發(fā)了我對(duì)高三復(fù)習(xí)教學(xué)的思考。數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)教學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，這是數(shù)學(xué)教育工作者的共識(shí)。然而，筆者看到的現(xiàn)狀是：不少教師認(rèn)為，培養(yǎng)思維能力是新授教學(xué)的事，高三復(fù)習(xí)時(shí)間緊、任務(wù)重，只需要多練題、多講題。實(shí)際上，如果不從根本上提升學(xué)生的思維水平，則無(wú)法應(yīng)對(duì)常變常新的高考發(fā)展要求——尤其是在從知識(shí)立意轉(zhuǎn)向能力和素養(yǎng)立意的高考改革背景下，反套路、反機(jī)械刷題已成為共識(shí)，新穎別致的試題層出不窮。因此，為了提高教學(xué)效益，高三復(fù)習(xí)必須始終保持一定的思維張力，即讓學(xué)生多做有思維含量的事，把學(xué)生的思維調(diào)動(dòng)起來(lái)，使其處于一種適度緊張的狀態(tài)。

顯然，保持思維張力，要精心選擇例題和習(xí)題，將選題的落腳點(diǎn)放在是否有助于學(xué)生思維的展開(kāi)，能否發(fā)展學(xué)生思維的深刻性、靈活性、批判性和創(chuàng)造性上。在此基礎(chǔ)上，還要精心設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，發(fā)揮題目應(yīng)有的教育價(jià)值。尤其要做好以下兩點(diǎn)：

（一） 激勵(lì)正視困難，引導(dǎo)突破化解

保持思維張力，不能片面追求抓牢基礎(chǔ)，讓學(xué)生反復(fù)做簡(jiǎn)單題——不少地方存在這樣的“應(yīng)試”做法。對(duì)于較難的題目，要激勵(lì)學(xué)生正視困難，不輕易放棄，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生積極探索，深入思考，或者迎難而上正面突破，或者另尋他途迂回化解，從而克服困難解決問(wèn)題，從中增強(qiáng)意志品質(zhì)（解題信心與毅力），磨煉思維品質(zhì)（解題思想與智慧）。為此，首先要尊重學(xué)生的想法，理解學(xué)生的思路，從而準(zhǔn)確把握學(xué)生在解題過(guò)程中遇到的困難。

上述測(cè)試題A班學(xué)生的均分不高，說(shuō)明這道題對(duì)他們而言是普遍存在困難的。分析學(xué)生的答題情況和課堂表現(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的困難具有一定的共性，主要在于怎樣合理地建系，建系后如何寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)。

很多學(xué)生抓住BD⊥CD這一特征，以圖2所示的方式建系。這種建系方式有一定的合理性，我們要尊重學(xué)生的這一想法。這時(shí)，學(xué)生的困難在于無(wú)法求出點(diǎn)A和點(diǎn)F的坐標(biāo)。課堂觀察發(fā)現(xiàn)，教師是清楚學(xué)生在此處存在困難的，可惜他輕易地滑過(guò)了這一學(xué)情，強(qiáng)行拉到圖3所示的建系方式下。事實(shí)上，即便以圖3所示的方式建系，仍然有不少學(xué)生無(wú)法求出點(diǎn)F的坐標(biāo)。課堂中，教師呈現(xiàn)了標(biāo)準(zhǔn)答案供學(xué)生記錄，卻忽略了隱藏在答案背后的學(xué)生困惑。

面對(duì)這一困難，我們既可以引導(dǎo)學(xué)生正面突破，也可以引導(dǎo)學(xué)生迂回化解。當(dāng)然，即便是迂回化解，也應(yīng)是在嘗試正面突破后作出的理性選擇。

首先是正面突破。以圖2所示的方式建系，怎樣求出點(diǎn)A的坐標(biāo)呢？它不像B、C等點(diǎn)的坐標(biāo)可以簡(jiǎn)單地觀察或向坐標(biāo)軸投影直接得到。我們可以引導(dǎo)學(xué)生分析點(diǎn)A的幾何特征，借助于方程思想間接地求出它的坐標(biāo)。不妨令DA=DB=DC=2，設(shè)A（x，y，z），可以由長(zhǎng)度條件AB=AC=AD=2得x2+y2+z2=4，（x-2）2+y2+z2=4，x2+（y-2）2+z2=4，據(jù)此得A（1，1，2）；也可由角度條件∠ADB=60°得cos∠ADB=DA·DB/DA·DB=2x/2×2=1/2，據(jù)此得x=1，同理得y=1，再由長(zhǎng)度條件DA=2得x2+y2+z2=4，據(jù)此得z=2。經(jīng)歷了求點(diǎn)A坐標(biāo)的過(guò)程，學(xué)生遷移相關(guān)的方法與經(jīng)驗(yàn)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)自然不在話下：可以由ADEF是平行四邊形得DF=DA+DE=DA+1/2（DB+DC），進(jìn)而得DF（即點(diǎn)F）的坐標(biāo)——這里其實(shí)融入了向量基底法的思想。

其次是迂回化解。在學(xué)生感受到以圖2所示的方式建系求點(diǎn)A和點(diǎn)F坐標(biāo)時(shí)陷入復(fù)雜的數(shù)式運(yùn)算后，我們可以追問(wèn)：為什么這樣建系？還有沒(méi)有其他建系方式？如何選擇更合理的建系方式？事實(shí)上，學(xué)生以圖2所示的方式建系，說(shuō)明他們潛意識(shí)里已經(jīng)發(fā)覺(jué)利用BD⊥CD這一條件能夠使一些點(diǎn)落在軸上或軸面內(nèi)，這是降維思想的萌芽。上述追問(wèn)可以引發(fā)學(xué)生的關(guān)注，引導(dǎo)學(xué)生將無(wú)意識(shí)的行為轉(zhuǎn)化為有意識(shí)的思考，將直覺(jué)的判斷轉(zhuǎn)化為理性的選擇，將模糊的認(rèn)識(shí)升華為清晰的策略。學(xué)生最終選擇以圖3所示的方式建系解決問(wèn)題后，教師可以通過(guò)更多的例題幫助學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到：選擇坐標(biāo)系時(shí)，要充分利用已有的垂直關(guān)系，盡量讓更多的點(diǎn)落在軸上或軸面內(nèi)，從而優(yōu)化解題的運(yùn)算過(guò)程?？蛇x取的例題如：

1. （2016年高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙理科卷）如圖4，在以A、B、C、D、E、F為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60°。

（1） 求證：平面ABEF⊥平面EFDC；

（2） 求二面角E-BC-A的余弦值。

對(duì)于本題的第二問(wèn)，注意到平面ABEF⊥平面EFDC，因此，最好讓z軸落在平面EFDC（x、y軸落在平面ABEF）中， 進(jìn)一步考慮讓點(diǎn)C或D落在z軸上。這樣，可以過(guò)點(diǎn)C或D作EF的垂線（垂足為G），過(guò)點(diǎn)G在平面ABEF內(nèi)作EF的垂線GH，以G為原點(diǎn) ，GE、GH、GC（或GD）所在直線為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。由此，題中各點(diǎn)的坐標(biāo)都容易表示，后續(xù)的計(jì)算便不成為困難。

2. （2017年高考數(shù)學(xué)浙江卷）如圖5，已知四棱錐P-ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，點(diǎn)E為PD的中點(diǎn)。

（1）證明：CE∥平面PAB；

（2）求CE與平面PBC所成角的正弦值。

本題中蘊(yùn)含著很多垂直關(guān)系，但是，到底怎樣建系更容易計(jì)算大有講究。過(guò)點(diǎn)B作BO⊥AD于O，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，這時(shí)點(diǎn)P恰好在軸面內(nèi)。設(shè)BC=1，不難表示出圖中所有點(diǎn)的坐標(biāo)，下面就一馬平川了。

（二） 鼓勵(lì)多向思考，促進(jìn)聯(lián)系比較

保持思維張力，不能片面追求熟練度，讓學(xué)生大量做題。對(duì)于精選的例題，要舍得花時(shí)間，讓學(xué)生從不同的角度，運(yùn)用不同的思維方法去解決。在多向思考中，學(xué)生勢(shì)必要廣泛地運(yùn)用到有關(guān)的概念、公式、定理等，從而匯聚不同部分的知識(shí)，密切各個(gè)板塊的聯(lián)系，這對(duì)于發(fā)展思維、培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識(shí)與方法的能力無(wú)疑大有裨益。在多向思考中，還可以引導(dǎo)學(xué)生反思解題過(guò)程、比較解題方法，歸納發(fā)現(xiàn)問(wèn)題本質(zhì)、感悟解題通法，進(jìn)而優(yōu)化解題思維，提升思維品質(zhì)。

立體幾何是發(fā)展學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的絕佳載體，歷來(lái)是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容。對(duì)于立體幾何解答題，一般有綜合幾何和空間坐標(biāo)兩種基本的解題方法。綜合幾何法對(duì)于直觀想象、邏輯推理能力有較高的要求，而空間坐標(biāo)法操作流程固定清晰，思維含量相對(duì)較低，因此，在實(shí)際應(yīng)用中更受到師生的青睞。那么，是不是有了空間坐標(biāo)法，綜合幾何法就可以退出數(shù)學(xué)的舞臺(tái)了呢？我們要辯證地看待這個(gè)問(wèn)題。

首先需要指出，即使不考慮空間坐標(biāo)法本身是算法思想凝結(jié)的思維之花，也不考慮數(shù)學(xué)運(yùn)算本質(zhì)上屬于邏輯推理這種思維活動(dòng)，而只從順利解題的功利視角出發(fā)，空間坐標(biāo)法也并非如某些師生認(rèn)為的只需要“無(wú)腦”地運(yùn)算，其中充滿著思維的成分，尤其是需要思考如何建系：建系方式不同，解題（運(yùn)算）繁簡(jiǎn)迥異。例如上述迂回化解過(guò)程。

此外，一方面，空間坐標(biāo)法相較于綜合幾何法，往往運(yùn)算量比較大，稍有不慎，就前功盡棄；另一方面，空間坐標(biāo)法雖然套路固定清晰，但是也將很多數(shù)學(xué)內(nèi)涵隱藏在運(yùn)算中，不利于學(xué)生感悟蘊(yùn)含于問(wèn)題中的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

對(duì)于上述測(cè)試題，如果注意到DE⊥平面ABC，所以FA⊥平面ABC，不難發(fā)現(xiàn)平面FAB⊥平面ABC，即二面角F-AB-C為直二面角；而二面角D-AB-F可以分解為二面角D-AB-C和二面角F-AB-C，故要求二面角D-AB-F的大小，關(guān)鍵是求二面角D-AB-C。具體地，如圖6，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB于G，過(guò)點(diǎn)G作GH∥AF，交BF于H，連接GE，易知∠DGH為二面角D-AB-F的平面角，∠DGE為二面角D-AB-C的平面角，∠HGE為二面角F-AB-C的平面角，等于90°，所以sin∠DGH=sin（∠DGE+90°）=cos∠DGE=GE/DG=3/3。

相對(duì)于空間坐標(biāo)法，該解法簡(jiǎn)捷明快，不僅運(yùn)算量小，更能讓學(xué)生體驗(yàn)到思維的樂(lè)趣，而且能夠揭示這道題的本質(zhì)：在三棱錐A-BCD中，求二面角D-AB-C的大小。這是立體幾何的基本問(wèn)題，不難利用三垂線法作出其平面角來(lái)求解。這種感悟到問(wèn)題本質(zhì)的深層理趣是空間坐標(biāo)法所無(wú)法給予的。

A班所有學(xué)生第一問(wèn)都用綜合法，第二問(wèn)都用坐標(biāo)法。如此整齊劃一，想來(lái)與教師過(guò)分強(qiáng)調(diào)、過(guò)度馴化不無(wú)關(guān)系。綜合法和坐標(biāo)法無(wú)所謂優(yōu)劣，各擅勝場(chǎng)，因題而異，因人而異。讓學(xué)生通過(guò)反思比較，迅速判斷并作出選擇，這也是需要培養(yǎng)的思維能力。

另外，需要說(shuō)明的是，坐標(biāo)法只是向量法的特殊狀態(tài)。教學(xué)中，教師不應(yīng)將向量法窄化為坐標(biāo)法，而應(yīng)讓學(xué)生充分地感受到向量法的靈活性（可以任意選定基底）及其基本想法（將向量用選定的基底線性表示，即求各基底向量前的系數(shù)）與坐標(biāo)法（求各維度的坐標(biāo)）的一致性。

具體到上述測(cè)試題，提供的條件強(qiáng)烈地暗示可以DB、DC、DA 作為基底來(lái)解決（這三個(gè)向量大小相等、兩兩的夾角已知）。過(guò)程如下：

（1） 設(shè)DB=e1，DC=e2，DA=e3，則e1=e2=e3=2，e1·e2=0，e1·e3=e2·e3=2，則BC=DC-DB=e2-e1，所以BC·DA=（e2-e1）·e3=0，所以BC⊥DA。

（2） 設(shè)平面DAB的一個(gè)法向量為n1=ue1+ve2+we3，則由n1·DA=0，n1·DB=0 得e1·（ue1+ve2+we3）=0，e3·（ue1+ve2+we3）=0，取u=1得n1=e1+3e2-2e3。類(lèi)似地，由AF=DE=1/2（e1+e2），AB=DB-DA=e1-e3，可得平面ABF的一個(gè)法向量為n2=e2-e3。據(jù)此，不難求得二面角D-AB-F的平面角的正弦值為3/3。

處理立體幾何解答題，在強(qiáng)調(diào)學(xué)生掌握空間坐標(biāo)法的同時(shí)，也不應(yīng)關(guān)閉其他方法的大門(mén)。我們應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生“既愛(ài)康莊的大道，也愛(ài)泥濘的小路”。事實(shí)上，那種罕有人至的小路更能培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，而只能按既定的路線行走的人注定是沒(méi)有批判性與創(chuàng)造力的平庸者。

*本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“指向高中生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的解題教學(xué)實(shí)踐研究”（編號(hào)：D/2020/02/220）的階段性研究成果。