小學(xué)階段的幾何知識(shí)點(diǎn)教學(xué)集中在認(rèn)識(shí)常規(guī)幾何圖形、計(jì)算面積等層面上，為了初中幾何認(rèn)識(shí)、空間思維、輔助線(xiàn)思維等能力奠定基礎(chǔ)，小學(xué)數(shù)學(xué)幾何問(wèn)題中的“復(fù)雜圖形陰影面積”需要突破。通過(guò)學(xué)習(xí)復(fù)雜圖形陰影面積，學(xué)生能夠更進(jìn)一步認(rèn)識(shí)幾何圖形的折疊、重合、翻轉(zhuǎn)等，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)幾何公式的應(yīng)用，提升空間思維。

一、教學(xué)理念

針對(duì)小學(xué)階段的學(xué)生，教師應(yīng)當(dāng)充分考量其學(xué)習(xí)能力以及興趣，通過(guò)開(kāi)放式的教學(xué)形式，如“游戲教學(xué)”“實(shí)踐活動(dòng)”等，來(lái)弱化學(xué)生自主理解的困難之余，提升學(xué)生的自主參與度。教師在課堂中通過(guò)畫(huà)幾何圖形圖紙、旋轉(zhuǎn)拼湊圖紙、現(xiàn)實(shí)測(cè)量等游戲活動(dòng)方法，把“完善圖形”“輔助線(xiàn)”的技巧滲透其中，創(chuàng)設(shè)高參與性、高思考性的課堂。

二、學(xué)情分析

在此之前，學(xué)生已經(jīng)通過(guò)課堂教學(xué)完成了正方形、長(zhǎng)方形、三角形、梯形、圓形等幾個(gè)常規(guī)幾何知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)。在簡(jiǎn)單解題應(yīng)用中，學(xué)生能夠熟練使用面積公式進(jìn)行幾何圖形以及生活幾何應(yīng)用題的簡(jiǎn)單求解。但是經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的綜合實(shí)踐訓(xùn)練得知，學(xué)生在面積計(jì)算的綜合應(yīng)用上存在諸多難點(diǎn)，其中，最明顯的一個(gè)問(wèn)題就是“復(fù)雜圖形面積”。

“復(fù)雜圖形面積”中經(jīng)常存在“陰影面積問(wèn)題”，也就是圖形重疊、翻轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)、多個(gè)圖形交叉形成的陰影面積計(jì)算。這類(lèi)題型中的“陰影面積”不能一眼看出陰影圖形所屬，無(wú)法直接截取邊長(zhǎng)、高的長(zhǎng)度等進(jìn)行計(jì)算，需要學(xué)生從復(fù)雜圖形中推理出已知圖形面積，從而確定陰影圖形的所屬，從而計(jì)算各邊長(zhǎng)，然后計(jì)算面積，涉及的方法包括推理、畫(huà)圖、空間、陰影填補(bǔ)、輔助線(xiàn)等，就小學(xué)階段的學(xué)生而言，各種方法的綜合應(yīng)用還存在一定難度。

三、教學(xué)思路框架圖示

四、教學(xué)目標(biāo)

1.認(rèn)識(shí)復(fù)雜圖形的陰影面積，能夠從復(fù)雜圖形中找到已知圖形。

2.熟練使用各個(gè)圖形的面積計(jì)算公式。

3.掌握一定強(qiáng)度的空間幾何思維，能夠做到完善圖形、輔助線(xiàn)技巧的基本掌握。

4.逐步掌握復(fù)雜圖形陰影面積計(jì)算技巧，為初中立體幾何學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

五、教學(xué)方法

（一）巧設(shè)游戲活動(dòng)，抓住學(xué)生的興趣與學(xué)習(xí)專(zhuān)注度

小學(xué)生對(duì)于游戲和動(dòng)手活動(dòng)有著極強(qiáng)的興趣。在游戲活動(dòng)中，學(xué)生能夠積極開(kāi)動(dòng)大腦，動(dòng)手操作和嘗試，通過(guò)動(dòng)手和直觀(guān)的感受，形成平面幾何思維。所謂游戲活動(dòng)的動(dòng)手實(shí)踐數(shù)學(xué)教學(xué)策略，就是把抽象的概念具象化。這并不是完全沒(méi)有依據(jù)的，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中對(duì)于“操作”“動(dòng)手”等關(guān)鍵詞的出現(xiàn)頻率非常高，明確指出了知識(shí)的收獲并不是聽(tīng)老師教，練習(xí)習(xí)題，而是在動(dòng)手操作與實(shí)踐的過(guò)程中去探究，形成數(shù)學(xué)概念的深入理解。學(xué)生應(yīng)該有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀(guān)察、實(shí)驗(yàn)、計(jì)算、動(dòng)手、驗(yàn)證等活動(dòng)過(guò)程。

（二）教師精準(zhǔn)引導(dǎo)，把思考的主體地位歸還給學(xué)生

在學(xué)生有興趣參與課堂學(xué)習(xí)與動(dòng)手操作的過(guò)程中，教師需要考量的是如何激發(fā)學(xué)生的主體地位。教師應(yīng)通過(guò)精準(zhǔn)的引導(dǎo)來(lái)設(shè)置思考的方向，利用巧妙的銜接語(yǔ)言，激發(fā)學(xué)生自主思考的興趣。因此，課堂中，教師的身份應(yīng)當(dāng)是問(wèn)題引出者、解難答疑者、評(píng)價(jià)者，切不可做牽著學(xué)生思維走的“牽牛者”。學(xué)生只有主動(dòng)思考、積極思考、善于思考，才能不斷地熟練技巧，運(yùn)用公式，提升空間思維能力。

（三）科學(xué)開(kāi)展探究游戲活動(dòng)，滲透技巧和知識(shí)點(diǎn)

游戲活動(dòng)要滲透技巧和知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)畫(huà)圖、裁紙、拼圖、拆分、折紙等多種嘗試，讓學(xué)生理解陰影面積是可以拆分或者合并到某一個(gè)已知的幾何圖形中。在游戲活動(dòng)的開(kāi)展中，教師不能僅停留于簡(jiǎn)單的裁剪、拼圖中，更重要的是結(jié)合技巧點(diǎn)和重點(diǎn)內(nèi)容讓學(xué)生通過(guò)自主嘗試的裁紙游戲探究如何解決復(fù)雜圖形陰影面積問(wèn)題。

六、教學(xué)設(shè)計(jì)及步驟

（一）基礎(chǔ)學(xué)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)

通過(guò)陰影面積復(fù)雜圖形的呈現(xiàn)，學(xué)生認(rèn)知基本形狀與概念。

如圖1：以O(shè)為原點(diǎn)的半圓，半徑為4 cm，陰影部分的面積是多少？

這兩塊陰影面積所屬的圖形不能直觀(guān)確定，此時(shí)就需要先引導(dǎo)學(xué)生思考兩塊陰影面積是否可以拆分或者能夠結(jié)合到一個(gè)圖形中去。此時(shí)開(kāi)展陰影面積圖形基本認(rèn)識(shí)的游戲活動(dòng)。

★游戲活動(dòng)設(shè)置：

1.陰影部分的拆分、重組、合并認(rèn)識(shí)。教師請(qǐng)學(xué)生在一張A4紙上畫(huà)出該圖形，并嚴(yán)格按照4 cm半徑進(jìn)行作畫(huà)。學(xué)生作畫(huà)完成，教師要求部分學(xué)生講述怎么畫(huà)的，在制作畫(huà)的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了哪些問(wèn)題。其中包括半圓的一部分在正方形為4 cm的圖形中，以O(shè)為原點(diǎn)的左半邊圖形在一個(gè)半圓的一半的圖形中。從作畫(huà)和發(fā)現(xiàn)中去認(rèn)識(shí)復(fù)雜圖形的陰影面積其實(shí)是合并在一個(gè)已知圖形中的。

2.空間思維的現(xiàn)實(shí)化。要求學(xué)生把所畫(huà)的圖形進(jìn)行裁剪，然后沿著正方形以O(shè)點(diǎn)向上這一條邊進(jìn)行對(duì)折，然后通過(guò)測(cè)量和觀(guān)察，確定兩個(gè)陰影面積重疊后有什么情況發(fā)生。實(shí)踐結(jié)果：經(jīng)過(guò)對(duì)折后發(fā)現(xiàn)兩個(gè)陰影面積塊能夠嚴(yán)絲合縫地形成一個(gè)三角形，并占據(jù)了邊長(zhǎng)為4 cm的正方形的一半。此時(shí)要求學(xué)生直接計(jì)算面積。

3.補(bǔ)充圖形，輔助線(xiàn)思維。學(xué)生按照實(shí)際游戲活動(dòng)探究的結(jié)果進(jìn)行陰影面積計(jì)算。計(jì)算后，教師需要提出問(wèn)題：“根據(jù)折疊我們可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)陰影面積塊成為一個(gè)三角形，那么還能通過(guò)什么方法來(lái)驗(yàn)證呢？”讓學(xué)生自主思考把左邊正方形的邊長(zhǎng)延長(zhǎng)，形成一個(gè)長(zhǎng)方形，也可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)陰影面積可以嚴(yán)絲合縫地重疊形成一個(gè)三角形。

4.推理與面積計(jì)算公式應(yīng)用。引導(dǎo)學(xué)生思考，剛才是通過(guò)實(shí)踐活動(dòng)展開(kāi)計(jì)算。如果在不能折疊的情況下應(yīng)該怎么計(jì)算呢？教師板書(shū)“圓面積計(jì)算公式、正方形面積計(jì)算公式”，設(shè)置小組活動(dòng)，讓學(xué)生開(kāi)展探究。最后得出圓的半徑為4 cm，可以計(jì)算出圓的面積，左側(cè)的陰影部分面積為?個(gè)圓的面積減去邊長(zhǎng)為4 cm的等腰三角形面積，右側(cè)陰影面積為正方形面積減去?個(gè)圓的面積，兩者相加即為兩個(gè)陰影部分的面積。

★教師板書(shū)技巧總結(jié)：

1.復(fù)雜的圖形中，陰影面積可以合并到一個(gè)已知圖形中或者拆分成其他已知圖形。

2.陰影面積沒(méi)有直接計(jì)算公式，可以看看陰影面積的圖形是否可以延長(zhǎng)形成新的已知圖形。

3.面積計(jì)算公式一定要牢記，所有的陰影面積都可以通過(guò)合并圖形的相減或者相加或者公用的邊以及等邊的條件來(lái)計(jì)算。

（二）深入學(xué)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)

深入學(xué)習(xí)就是提升學(xué)生的自主思考、公式應(yīng)用能力、輔助線(xiàn)思維、圖形空間想象思維等能力。

如圖2：正方形邊長(zhǎng)為8 cm，請(qǐng)計(jì)算陰影部分面積是多少？

圖2更為復(fù)雜，學(xué)生無(wú)從下手。教師針對(duì)學(xué)生在上一節(jié)點(diǎn)學(xué)習(xí)到的復(fù)雜圖形拆分和重組，通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)、拼湊等知識(shí)要點(diǎn)進(jìn)行提點(diǎn)，提出下列幾個(gè)思考問(wèn)題：

△上半部分的陰影面積是否和下半部分的空白處的圖形面積一致呢？

△如果上面陰影部分和下面空白處面積一致能否計(jì)算出陰影面積呢？

△請(qǐng)嘗試在A4紙上畫(huà)出圖形、裁剪，將上下兩個(gè)長(zhǎng)方形通過(guò)旋轉(zhuǎn)、對(duì)折、平移等操作是否能夠證明陰影部分和下面空白處面積一致呢？

★設(shè)置游戲活動(dòng)：

1.在紙上畫(huà)出這個(gè)復(fù)雜圖形，在作畫(huà)的過(guò)程中，許多學(xué)生肯定存在難點(diǎn)，因?yàn)樯习氩糠趾拖掳氩糠种鴮?shí)難以畫(huà)出。此時(shí)，教師提醒學(xué)生，是否可以嘗試上半部分為半徑為4 cm的?圓畫(huà)作呢？嘗試一下是否能夠完成？下半部分留白的地方是否可以嘗試半徑為4 cm的?圓畫(huà)作呢？經(jīng)過(guò)提醒，學(xué)生能夠完成畫(huà)作的創(chuàng)作，同時(shí)也能夠了解到上下部分可能是重合的。

2.對(duì)畫(huà)出的圖形利用上下對(duì)折或者左右對(duì)折去發(fā)現(xiàn)。進(jìn)行裁剪，并嘗試平移、旋轉(zhuǎn)、上下左右折疊等方式，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，上下的中線(xiàn)對(duì)折后，可以把左上部分陰影面積轉(zhuǎn)換到右邊的正方形中去，陰影面積和右下邊的留白處形成了一個(gè)新的半圓，如此解決思路明了，嘗試驗(yàn)證上下部分的面積是否一致也變得簡(jiǎn)單。

3.要求學(xué)生根據(jù)游戲活動(dòng)結(jié)果進(jìn)行計(jì)算。但同時(shí)提出問(wèn)題：“同學(xué)們，現(xiàn)實(shí)解題中，我們不可能裁剪和旋轉(zhuǎn)，我們應(yīng)該怎么計(jì)算呢？還記得前面講過(guò)的補(bǔ)充圖形和輔助線(xiàn)嗎？我們可不可以創(chuàng)造圖形呢？還有剛才我們發(fā)現(xiàn)左右對(duì)折后，形成了新的圖形，是不是可以以此作為輔助線(xiàn)，構(gòu)造新的已知圖形呢？”

教師板書(shū)輔助線(xiàn)圖形如圖3：

教師提問(wèn)學(xué)生：“設(shè)置這樣的輔助線(xiàn)有什么幫助呢？是不是能夠構(gòu)造很多已知圖形，同時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)，沿著中線(xiàn)所作的輔助線(xiàn)，沿著對(duì)折就可以把左邊上半部分的陰影面積重疊到右上方的正方形里，這樣是不是就有了解題思路呢？”

此時(shí)要求學(xué)生對(duì)所作輔助線(xiàn)思考后，設(shè)置小組活動(dòng)探究，開(kāi)始面積的計(jì)算應(yīng)用。

★教師板書(shū)技巧總結(jié)：

1.通過(guò)畫(huà)圖、裁紙游戲，我們可以發(fā)現(xiàn)，其實(shí)大部分陰影面積都可以存在于一個(gè)已知圖形中，這也是輔助線(xiàn)設(shè)置的秘訣。我們的對(duì)折線(xiàn)、旋轉(zhuǎn)、構(gòu)造新的已知圖形都是輔助線(xiàn)。

2.一個(gè)復(fù)雜圖形要學(xué)會(huì)拆分、構(gòu)造、空間想象來(lái)進(jìn)行初步的嘗試。然后找出已知圖形，利用正方形、長(zhǎng)方形、三角形、圓形的面積計(jì)算公式減去留白處就能得到陰影面積。

（三）課堂訓(xùn)練教學(xué)設(shè)計(jì)

設(shè)置課堂訓(xùn)練應(yīng)該遵循“由易到難”的梯度，不宜過(guò)多。在游戲活動(dòng)探究的過(guò)程中，學(xué)生的思維訓(xùn)練得到極大的提升。每一個(gè)例題講解后，配備的訓(xùn)練題為一個(gè)變式題。

訓(xùn)練題的主要考核內(nèi)容為復(fù)雜圖形陰影面積的合并、構(gòu)造新圖形等知識(shí)點(diǎn)和技巧，強(qiáng)化學(xué)生的幾何思維能力和公式應(yīng)用能力。

（作者單位：福建省莆田市仙游縣園莊鰲峰小學(xué)）

編輯：溫雪蓮