《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界?？梢?，數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)語言是構(gòu)成學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的三大方面。史寧中教授將數(shù)學(xué)基本思想歸結(jié)為抽象、推理、模型三個(gè)要素，正好對(duì)應(yīng)核心素養(yǎng)的三大方面：抽象即通過觀察客觀世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式進(jìn)行概括從而發(fā)現(xiàn)本質(zhì)規(guī)律，推理就是對(duì)觀察到的現(xiàn)象與規(guī)律進(jìn)行合乎邏輯的分析與理解，模型則是建立在抽象與推理基礎(chǔ)之上的應(yīng)用形式和方法。下面筆者以執(zhí)教“平行四邊形的面積”的課堂教學(xué)為例來談對(duì)數(shù)學(xué)思想滲透與核心素養(yǎng)培養(yǎng)的一些思考。

一、問題驅(qū)動(dòng)，在觀察中滲透抽象

“問題”是數(shù)學(xué)的心臟，不斷促進(jìn)學(xué)生深入思考。數(shù)學(xué)問題是促使學(xué)生萌發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、激發(fā)學(xué)習(xí)興趣的肥沃土壤。例如，教學(xué)“平行四邊形的面積”時(shí)的導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師可從比較兩個(gè)不同形狀圖形的大小問題（如圖1所示）開始導(dǎo)入。

學(xué)生發(fā)現(xiàn)平行四邊形的面積無法求出?；厮菝娣e的概念，聯(lián)想到用數(shù)方格的方法求面積，在數(shù)方格的過程中，學(xué)生用到了兩種不同的觀察方法：

生1：我是先數(shù)完整的方格，然后再把不完整的兩個(gè)拼起來，拼成一個(gè)方格。完整的有12個(gè)，面積就是12平方厘米；半格的有6個(gè)，面積就是3平方厘米；面積一共是15平方厘米。

生2：把左邊的三角形搬到右邊，就變成一個(gè)長方形，根據(jù)長方形面積的求法，這個(gè)長方形的面積是6×3=18（平方厘米）。

這時(shí)候教師用課件演示后指出像第二個(gè)同學(xué)所說的這樣先剪后拼的過程叫做平移，同時(shí)提出新的數(shù)學(xué)問題：還有一個(gè)平行四邊形（如圖2所示），用哪一種方法最方便求出它的面積？

學(xué)生通過觀察，發(fā)現(xiàn)這個(gè)平行四邊形中除了整格之外還有半格的，直接數(shù)格子的方法很麻煩；用平移的方法求面積更方便。教師在學(xué)生運(yùn)用平移得出長方形面積后，引導(dǎo)學(xué)生觀察這個(gè)長方形的面積也就是原來平行四邊形的面積，并適時(shí)指出：像剛才這樣把不好數(shù)的平行四邊形轉(zhuǎn)變成方便數(shù)格子的長方形來研究的方法在數(shù)學(xué)里叫做轉(zhuǎn)化。

轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)重要思想，學(xué)生在教師精心設(shè)計(jì)的問題驅(qū)使下，把不易解決的“數(shù)”平行四邊形方格問題轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的長方形面積來計(jì)算，問題的解決自然水到渠成。學(xué)生在觀察、思考、交流中發(fā)現(xiàn)平行四邊形和長方形之間的等積關(guān)系，抽象意識(shí)和轉(zhuǎn)化思想正悄然生長，為后續(xù)探究平行四邊形面積的計(jì)算方法做好鋪墊。

二、親歷體驗(yàn)，在思考中助力推理

多元智能理論要求學(xué)生不再盲目接受和被動(dòng)記憶所學(xué)知識(shí)，只有經(jīng)過自己動(dòng)手操作、親身體驗(yàn)之后所獲取的知識(shí)才是終生難忘的。但是基于小學(xué)生的年齡特點(diǎn)，那些沒有引導(dǎo)和目標(biāo)不清的操作與體驗(yàn)都是低效的。

例如，在“平行四邊形的面積”教學(xué)中的探究環(huán)節(jié)，推導(dǎo)平行四邊形的面積計(jì)算公式是關(guān)鍵，教師在學(xué)生初識(shí)“轉(zhuǎn)化”的基礎(chǔ)上，質(zhì)疑：“是不是所有的平行四邊形都能轉(zhuǎn)化成長方形呢？”學(xué)生在肯定與不確定之間困惑時(shí)引發(fā)思考，議論紛紛并用手比畫著；教師繼續(xù)引導(dǎo)：剪完之后要能拼成一個(gè)長方形，那么長方形跟平行四邊形最大不同又是什么呢？有學(xué)生脫口而出“長方形有四個(gè)直角，而平行四邊形只有銳角和鈍角”“沿高剪開可以制造長和寬”“可以直接制造直角”……怎樣剪開？為什么這樣剪？這些有針對(duì)性的數(shù)學(xué)問題最能激發(fā)學(xué)生思維的火花，課堂教學(xué)中的層層追問，讓學(xué)生能夠更加胸有成竹地動(dòng)手畫一畫、剪一剪、拼一拼，有效促進(jìn)學(xué)生的推理和探究。

下面是學(xué)生在動(dòng)手操作之后的匯報(bào)展示環(huán)節(jié)。

生1：先畫出平行四邊形的高，然后沿著高這條虛線把它剪下來，將一邊三角形移到另一邊，剛好拼成一個(gè)長方形。

生2：先畫出平行四邊形的高，然后沿著高這條虛線剪開，然后就會(huì)變成一個(gè)三角形和一個(gè)梯形，再把這個(gè)直角三角形放到這里，就變成一個(gè)長方形。

師：有沒有不同的剪法？

生3：先畫出平行四邊形的高，再沿著虛線剪下來，就變成兩個(gè)相同的直角梯形，然后再把其中一個(gè)直角梯形拼到這就成了一個(gè)長方形。

師：他剛才和前面那個(gè)同學(xué)最大的不同是什么？

生4：畫高的地方不同。前兩個(gè)同學(xué)都是從頂點(diǎn)畫高，而他是從邊的中間開始畫高。

師：那這樣畫高可以嗎？只能從頂點(diǎn)或者中點(diǎn)剪開嗎？

生（七嘴八舌）：隨便哪個(gè)點(diǎn)都行。

師：從頂點(diǎn)或邊上隨便哪個(gè)點(diǎn)都可以，在數(shù)學(xué)上用一個(gè)詞……

生（齊）：任意。

師：對(duì)，從任意一點(diǎn)沿高剪開，平移后可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)長方形。

師：請(qǐng)你認(rèn)真觀察，仔細(xì)思考，同桌互相交流。

（1）想一想，轉(zhuǎn)化后什么變了？什么不變？

（2）在拼成的長方形上找一找原來平行四邊形的底和高。

轉(zhuǎn)化思想的掌握與運(yùn)用僅僅停留在知道“轉(zhuǎn)化”的名稱或“轉(zhuǎn)化就是把新知識(shí)變成舊知識(shí)”是不夠的，只有讓學(xué)生經(jīng)歷轉(zhuǎn)化的思維過程并循序漸進(jìn)地形成比較固定的思維模式，才能在今后的學(xué)習(xí)過程中自覺地運(yùn)用到其他數(shù)學(xué)推理中去。充分的觀察思考與合作交流是引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)體驗(yàn)轉(zhuǎn)化思想的重要途徑，同伴間的互動(dòng)交流特別有利于學(xué)生用數(shù)學(xué)的思考進(jìn)行質(zhì)疑、推理、反思，從而順利推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式。學(xué)生在動(dòng)手做、動(dòng)腦想、動(dòng)口說的體驗(yàn)過程中獲得推理的實(shí)踐與思維的成長。

三、拓展應(yīng)用，在表達(dá)中鞏固模型

數(shù)學(xué)模型是對(duì)數(shù)量關(guān)系和空間形式進(jìn)行抽象概括的產(chǎn)物，建立模型是用形式化的數(shù)學(xué)語言來描述數(shù)學(xué)現(xiàn)象的過程。例如，教學(xué)“平行四邊形的面積”時(shí)的練習(xí)環(huán)節(jié)，學(xué)生已經(jīng)初步建立了平行四邊形面積公式模型，這時(shí)教師精心設(shè)計(jì)一些課堂練習(xí)，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言去進(jìn)一步構(gòu)建和鞏固模型，并從中獲得成功的喜悅，提升數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

在基礎(chǔ)練習(xí)環(huán)節(jié)中，教師要求學(xué)生口算下面（如圖3所示）每個(gè)平行四邊形的面積。

教師逐一出示題目，學(xué)生完成前面兩題時(shí)，都能應(yīng)用公式快速口算出圖形的面積。但在完成第3小題時(shí)（已知條件為不對(duì)應(yīng)的底和高），部分學(xué)生在思維定式的影響下脫口而出“5×4=20（dm2）”，這時(shí)引發(fā)了爭議，學(xué)生的表達(dá)是這樣的：

生1：不能用5×4=20（dm2）求面積，因?yàn)? dm不是5 dm這條底邊上的高，所以求這個(gè)圖形的面積不能用5×4來計(jì)算。

師：5 dm是不是平行四邊形的一條底邊？4 dm是高嗎？

生2：4 dm是高，但不是5 dm這條底邊上的高，它是4.5 dm這條底邊上的高。

生3：4 dm這條高與5 dm這條底邊，不是相對(duì)應(yīng)的高和底。

師：太棒了！那為什么一定要用到相對(duì)應(yīng)的底和高呢？

（學(xué)生沉默。）

師：能不能從公式推導(dǎo)的過程想起呢？

生4：因?yàn)閯偛虐哑叫兴倪呅无D(zhuǎn)化成長方形后，長方形的長就是原來的底，寬就b6xx29AtlBYxIC7wgSu8KQ==是原來的高，長方形的面積等于長乘寬，所以平行四邊形的面積等于底乘高。

師追問：對(duì)啊，底乘高，所以用5乘4就可以了呀？

（安靜下來，教師在黑板上用手勢(shì)比畫引導(dǎo)。）

生5：那長和寬會(huì)垂直，這里的底和高不垂直。

生6：要“對(duì)應(yīng)”才會(huì)互相垂直。

教師的質(zhì)疑、同伴的爭論、獨(dú)立自主的思考和有理有據(jù)的表達(dá)，抽絲剝繭、層層遞進(jìn)，從懵懂到清晰，知識(shí)模型的構(gòu)建在不斷破與立的思辨中得到鞏固與深化。

練習(xí)環(huán)節(jié)中，教師還呈現(xiàn)了一道題：明明家想購買一個(gè)汽車停車位，小區(qū)里有以下兩種不同形狀的車位（如圖4所示），你建議他們家買哪一種？說說你的理由。

基于生活情境的數(shù)學(xué)問題，使原本枯燥抽象的數(shù)學(xué)更加貼近學(xué)生的實(shí)際生活，更能激發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法解決問題。學(xué)生在解決這個(gè)問題時(shí)都能從生活實(shí)際出發(fā)，有的建議“買長方形的車位，直直的好停車”，有的建議“買平行四邊形的車位，它的面積會(huì)小一點(diǎn)兒，總價(jià)應(yīng)該會(huì)低”。這時(shí)就需要結(jié)合本節(jié)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中的“購買車位”問題。學(xué)生運(yùn)用公式模型比較兩個(gè)圖形面積時(shí)發(fā)現(xiàn)“底邊都是2.8 m，長方形的高是6 m，平行四邊形的高不到6 m……”，教師追問：“你怎么知道它的高不到6 m？”有思維敏捷的學(xué)生回答“它的斜邊是6 m，那高一定比6 m短呀?！苯處煘樽屓w學(xué)生都能感悟到準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)結(jié)論，安排同桌間交流和運(yùn)用長方形框架演示環(huán)節(jié)，讓學(xué)生直觀地發(fā)現(xiàn)：從長方形到平行四邊形，底不變，高變小，面積也隨著變小。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的在于應(yīng)用，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，是素質(zhì)教育的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)之一。因此，教師在教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題、從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，使學(xué)生善于用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)和解決現(xiàn)實(shí)生活當(dāng)中的問題，進(jìn)一步建構(gòu)和鞏固大腦中的數(shù)學(xué)模型，不斷提升自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

四、總結(jié)

數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，通過對(duì)數(shù)量關(guān)系和空間圖形的抽象、推理、構(gòu)建模型，形成數(shù)學(xué)的結(jié)論和方法，幫助人們觀察、思考和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律。數(shù)學(xué)素養(yǎng)是學(xué)生未來生活必須具備的基本素養(yǎng)，是綜合運(yùn)用各種數(shù)學(xué)思想創(chuàng)造性地解決實(shí)際問題的一種能力。數(shù)學(xué)教學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度觀察世界的習(xí)慣與意識(shí)，學(xué)會(huì)合乎邏輯地探究現(xiàn)實(shí)中的數(shù)學(xué)規(guī)律、欣賞數(shù)學(xué)語言的簡潔與優(yōu)美，養(yǎng)成用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá)與交流的習(xí)慣，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（作者單位：1.福州市錢塘小學(xué)屏北分校；2.福州市溫泉小學(xué)）

編輯：孫守春