摘 要：解題教學是數(shù)學教學的重要組成部分。文章在“雙新”“雙減”背景下，從數(shù)學解題教學存在的困惑出發(fā)，對核心素養(yǎng)要求下的解題教學進行了研究，提出數(shù)學解題教學應該教什么題，以“六步四化”進行解題教學設(shè)計，旨在優(yōu)化課堂效果，提升教學質(zhì)量，培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng)；數(shù)學解題教學；結(jié)構(gòu)化

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8918（2024）32-0069-04

作者簡介：藍詠梅（1987～），女，畬族，浙江麗水人，浙江省杭州市惠興中學，研究方向：解題教學。

一、 問題的提出

根據(jù)中共中央辦公廳、國務院辦公廳印發(fā)《關(guān)于進一步減輕義務教育階段學生作業(yè)負擔和校外培訓負擔的意見》，文件中指出“要優(yōu)化教學方式，提升課堂教學質(zhì)量”?！读x務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）首次明確提出義務教育階段數(shù)學課程要培養(yǎng)的學生核心素養(yǎng)，課程目標和課程內(nèi)容的確定以核心素養(yǎng)為導向。

然而，如何探究優(yōu)化路徑提升教學質(zhì)量成為當前迫切需要思考的問題，解題教學作為數(shù)學課堂教學的重要組成部分，存在較多困惑。

一是教師之困：教師自認為講得很清楚，很到位了，但是學生再遇到同樣類型的題目還是不會做。若是教師給予學生足夠的思考時間，上課時間有限導致教學任務無法完成。教師沒有相應教學模式可借鑒，缺少學習資源。

二是學生之困：學生自認為上課聽懂了，能解決問題了，但是自己再遇到同樣類型的題目還是不會做。學生花了大量的時間反復練習，自認為已經(jīng)掌握了這些題，但是題目條件或題目情景改變之后就不會了。學生沒有積累相應的數(shù)學活動經(jīng)驗，也沒有反復應用這些經(jīng)驗的機會。

二、 理論基礎(chǔ)

新課標指出，課程內(nèi)容組織重點是對內(nèi)容進行結(jié)構(gòu)化整合，探索發(fā)展學生核心素養(yǎng)的路徑。同時指出為實現(xiàn)核心素養(yǎng)導向的教學目標，不僅要整體把握教學內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)，注重教學內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化，還要把握教學內(nèi)容主線與相應核心素養(yǎng)發(fā)展之間的關(guān)聯(lián)。

三、 數(shù)學解題教學應該教什么題

要想在有限的時間內(nèi)實現(xiàn)解題教學效率最大化，教師首先要選“好題”。章建躍博士在《數(shù)學教育隨想錄》中提出，“好題”應與重要的數(shù)學概念和性質(zhì)相關(guān)，能夠體現(xiàn)基礎(chǔ)知識的聯(lián)系性，解題方法自然、多樣，具有自我生長的能力；從培養(yǎng)思維能力的角度，則指問題是自然的，對學生的智力有適度的挑戰(zhàn)性，題意明確、不糾纏于細枝末節(jié)，表述形式簡潔、流暢、好懂。綜合考慮后，筆者選擇了一道條件簡潔、圖形簡單、解法多樣的母題。

母題：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB，BD⊥AD，AD與BC交于點E，若AB=5，AC=3，求AD的長。

圖1

為了讓學生從不同的角度選擇不同的方法解決問題，筆者將原題中的圓隱去，激發(fā)學生多維思考。

四、 數(shù)學解題教學的設(shè)計路徑

通過反復地實踐，筆者總結(jié)了初中數(shù)學解題教學設(shè)計的六步路徑。即根據(jù)條件寫出顯性條件和隱形條件“教審題”；根據(jù)分析法和綜合法尋找解題思路“教聯(lián)想”；根據(jù)不同思路和視角尋找解題方法“教一題多解”；分析知識的本質(zhì)，更換知識情境、圖形，學生反復得到經(jīng)驗“教多解歸一”；根據(jù)已有知識和條件進行變式拓展，使知識結(jié)構(gòu)化“教拓展”；通過系列活動使學生積累基本活動經(jīng)驗，從而達到方法結(jié)構(gòu)化，能力結(jié)構(gòu)化，經(jīng)驗結(jié)構(gòu)化“教反思”。

通過解題教學設(shè)計的六步路徑，獲得“四化成果”（圖2），即引導學生在實踐中梳理知識形成知識線，實現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)化；多視角和思路尋找“方法集”，實現(xiàn)方法結(jié)構(gòu)化；研究過程中培養(yǎng)不同能力，形成“能力群”，實現(xiàn)能力結(jié)構(gòu)化；運用經(jīng)驗解決不同問題，獲得“經(jīng)驗域”，實現(xiàn)經(jīng)驗結(jié)構(gòu)化。以期在“雙新”背景下優(yōu)化課堂教學，提升教學質(zhì)量，真正提升學生的核心素養(yǎng)。

圖2 解題教學四化成果

（一）教審題

問題是數(shù)學的心臟，學生正是在解決一個個數(shù)學問題的過程中加深對數(shù)學概念的理解，達到鞏固數(shù)學知識，鍛煉和發(fā)展思維能力的目的。那么，要解決問題第一個過程便是審題。對審題方法和技巧的研究有利于學生正確找到問題和條件的關(guān)系，快速聯(lián)想到問題解決所需的知識點。

已知條件可分為直接的已知條件（顯性條件）和間接的已知條件（隱性條件），隱性條件不直接應用于解答過程，往往容易被忽視，從而使學生思維受阻。

如母題中含有的顯性條件：∠ACB=90°，AD平分∠CAB，BD⊥AD，AB=5，AC=3，隱性條件（圖3）：①有關(guān)角的結(jié)論：∠CAD=∠BAD=∠CBD=∠ADO，∠BAC=∠BOD，∠ACB=∠ADB=90°；②有關(guān)弧、線段的結(jié)論（A，B，C，D四點共圓）：CD=DB，CD=DB，OD∥AC，OD垂直平分BC，……；③等腰三角形：△AOD，△BOD，△BCD，直角三角形：△ABC，△ABD，△BDE，△DEF，△BFD，△ACE，△BOF，相似三角形：△BFO∽△BCA，△ACE∽△BDE∽△BFD∽△DFE。

圖3

（二）教聯(lián)想

在平時教學中，教師希望學生看到題目的已知信息（特別是圖形的特征），然后聯(lián)想到有關(guān)性質(zhì)定理，得到解題思路，從而解決問題，由于時間緊張，教師對學生的思維特點不了解等原因，容易出現(xiàn)學生“看到”而“聯(lián)想不到”的情況，如何解決這樣“尷尬”的現(xiàn)象呢？

一般的解題思路主要體現(xiàn)三類思維特征：一是以已知信息為基礎(chǔ)，結(jié)合圖形聯(lián)想有關(guān)幾何圖形的性質(zhì)和定理，從而得到新的信息，即由因?qū)ЧC合法；二是以待求的結(jié)果為起點，通過變形，轉(zhuǎn)化，猜想等，尋找使待求結(jié)論成立的條件，即由果索因——分析法；三是從解決問題的整個角度來看，在綜合法和分析法單向思維的基礎(chǔ)上，進行綜合分析，找到會合點，回顧已知信息，對已有的思路進行評估和調(diào)整，做出合理的猜想。

教師要引導學生善于前思后想，通過條件梳理，利用啟發(fā)式問題幫助學生聯(lián)想，找到解題的突破口，同時回顧求線段長的基本方法，結(jié)合聯(lián)想的結(jié)果和求線段長的基本方法找到解決方案。分析法和綜合法是解決問題的通法，對較難的問題，需要這兩種方法的“會合”，基于以上分析，筆者認為可以用以下的分析方式。通過條件可以聯(lián)想到角平分線性質(zhì)定理，角平分線加垂直構(gòu)造等腰三角形，角平分線分線段成比例定理，四點共圓。也可以通過求線段長的方式出發(fā)，等積法，勾股定理，相似，三角函數(shù)等。

（三）教“一題多解”

“一題多解”有助于聯(lián)結(jié)不同領(lǐng)域知識間的關(guān)聯(lián)，綜合知識碎片，讓問題由點成線、由線及面，形成完整的知識體系，幫助學生多層次、廣視角、全方位地認清數(shù)學問題，達到方法結(jié)構(gòu)化。

［視角一］在圖1基礎(chǔ)上，根據(jù)AD平分∠CAB聯(lián)想到了角平分線的性質(zhì)定理，從而有方法一、方法二和方法三（圖4）。

方法一：角平分線性質(zhì)定理+等積法

通過角平分線性質(zhì)定理知CE=EF，在直角三角形BEF中，由勾股定理求出EF和AE，通過△ABE的面積求出BD和AD。

方法二：角平分線性質(zhì)定理+相似

同方法一求得CE=32，BE=52，再利用△BDE∽△ACE，計算得到DE的長，從而求出AD的長。

圖4

方法三：角平分線性質(zhì)定理+三角函數(shù)

同方法一求得CE=32，BE=52，再利用 sin∠CAE=CEAE=sin∠DBE=DEBE，計算得到DE的長，從而引出求出AD的長。

［視角二］根據(jù)AD平分∠CAB，BD⊥AD聯(lián)想得到△ABG是等腰三角形，從而有方法四、方法五。

方法四：角平分線+垂直+勾股定理

通過AD是角平分線和AD⊥BD得到△ABG是等腰三角形，從而得到AG，CG的長，進而得到BG，AD的長。

方法五：角平分線+垂直+相似

從方法四中我們已經(jīng)得到△ABG是等腰三角形，點D是BG的中點，過點D作DH∥BC交AG于點H，通過△BDE∽△ACE得到BD的長，從而知道AD的長。

［視角三］根據(jù)AD平分∠CAB聯(lián)想到角平分線分線段成比例定理，從而有方法六。

方法六：角平分線分線段成比例定理+相似

通過角平分線分線段成比例定理求出CE，BE的長，再根據(jù)△BDE∽△ACE，求出BD，AD的長。當然這里可以利用cos∠CAE=cos∠BAD進行計算。

［視角四］根據(jù)∠ACB=90°，BD⊥AD聯(lián)想到點A，B，C，D四點共圓（圖5），利用垂徑定理，托勒密定理以及圓的軸對稱性，從而有方法七、方法八、方法九和方法十。

方法七：垂徑定理+中位線定理

通過垂徑定理知道OD垂直平分BC，由中位線定理知OF，DF的長，通過勾股定理便可求BD，AD的長。

方法八：托勒密定理+勾股定理

由托勒密定理得：AC×BD+AB×CD=AD×BC。

圖5

方法九：圓的對稱性+勾股定理

過點D作DH⊥AB交AB于點H，交⊙O于點K，根據(jù)垂徑定理得BD=BK=CD，所以DK=BC=4，DH=2，在Rt△ODH中，OD=52，DH=2，所以O(shè)H=32，AD=25。

方法十：旋轉(zhuǎn)變換

將△ACD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)得到△MDB，則△ADM是等腰三角形，從而得到AD的長。

（四）教“多解歸一”

“多解歸一”是讓學生將各種方法進行歸納整理，找到知識的根源，從而建立知識系統(tǒng)，總結(jié)解決問題的基本方法，最終達到“做一題，會一類，通一片”的目的，進一步提升數(shù)學核心素養(yǎng)。這是落實解題教學主導作用的主要環(huán)節(jié)。

如圖6，AB是半圓的直徑，BC是半圓的弦，BC沿弦BC折疊交直徑AB于點D。

圖6

（1）當AD=BD=5時，則BC的長為 ；

（2）當AD=4，BD=6時，則BC的長為 。

通過上述的練習，學生能將已經(jīng)得到的數(shù)學活動經(jīng)驗應用于這樣的問題解決過程中，通過這樣的學習模式，學會審題，學會聯(lián)想，學會“一題多解”，學會反思，從而培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)。

（五）教拓展

在解題教學中，我們不僅要教會學生解這道題、這類題，同時要引導學生在這個基本圖形的條件下，還能不能提出新的問題，進行進一步拓展。本節(jié)課中筆者設(shè)計了以下問題串。

追問1：你能用直尺和圓規(guī)畫出這個圖形嗎？學生不能解決這個問題往往是不能將條件中的顯性和隱性條件進行綜合分析，這時若是能利用尺規(guī)作圖將圖形畫出來，說明學生能分析出問題解決的思路。

追問2：你能求出直角三角形ABC的外接圓半徑，內(nèi)切圓半徑嗎？

追問3：你能求出等腰三角形ABG的外接圓半徑，內(nèi)切圓半徑？

追問4：你能求出扇形OBD的面積、BD的長嗎？若要方便計算，需要怎樣改變條件？

追問5：你能梳理有關(guān)軸對稱的知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖嗎？通過這個問題，引導學生將零散的知識進行梳理，用知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖進行展示。

（六）教反思

教師要引導學生反思、提煉，形成數(shù)學學習和研究的基本經(jīng)驗。若不經(jīng)過反思，學生得到的經(jīng)驗是零散的，獲得的解題技能是短暫的。完成解題后，它需要一個梳理、內(nèi)化的過程。讓學生回顧如何審題，如何分析顯性和隱性條件，遇到障礙之后如何突破，數(shù)學基本活動經(jīng)驗的獲得需要經(jīng)歷“活動——反思——活動”的過程。

因此，解題教學應當著重開發(fā)學后反思的支架功能，通過設(shè)計包括“復述”“關(guān)聯(lián)”和“轉(zhuǎn)化”的進階的反思路徑，構(gòu)建學后反思的“三階六級水平”（表1），幫助學生認識自己的水平、管理自己的學習、反思自己的能力，使得我們的學生不僅能夠在新舊知識間、知識與生活間建立“聯(lián)結(jié)”，而且能夠通過反思建立起知識與自我間的“聯(lián)結(jié)”。

從課堂效果看，隱去之前的⊙O，學生的解題思路更開闊了，同時對比十種方法，學生體會到利用圓的知識解決這個問題的優(yōu)勢，體會“道是無圓卻有圓，圓中自有新天地”，同時利用角平分線的性質(zhì)定理和圓的知識都是源于軸對稱性，進一步提升了知識高度。

五、 結(jié)論

匈牙利數(shù)學家波利亞在《怎樣解題》中說：“解題過程就是一個運用探索法誘發(fā)學生靈感的過程，是形成和發(fā)展學生核心素養(yǎng)的基本途徑?！惫P者深感精確。通過近六年“六步四化”解題教學實踐，筆者帶領(lǐng)學生獲得了一些基礎(chǔ)知識和基本技能，在解決問題的活動中感悟到數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展過程，獲得了數(shù)學基本活動經(jīng)驗，形成了帶有數(shù)學學科特征的價值觀，思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力，從而培養(yǎng)了學生的核心素養(yǎng)。

筆者將堅持以“六步四化”解題教學實踐為研究起點，努力探索優(yōu)化課堂，提升教學質(zhì)量，在理解數(shù)學的基礎(chǔ)上，不斷研究題目、研究課堂、研究數(shù)學的本質(zhì)，從而改進自己的教學方式，提升學生的思維品質(zhì)，落實包括數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析等方面的數(shù)學素養(yǎng)。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準［S］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］章建躍.學習機會與核心素養(yǎng)的發(fā)展［J］.中小學數(shù)學（高中版），2023（5）：64-65.

［3］郭洪瑞，張紫紅，崔允漷.試論核心素養(yǎng)導向的綜合學習［J］.全球教育展望，2022，51（5）：36-48.

［4］邢成云，費禎紅.“雙減”背景下對數(shù)學解題教學的思考［J］.中小學課堂教學研究，2022（6）：11-14.