二次函數(shù)綜合題涵蓋了初中數(shù)學(xué)的大部分知識(shí)，也是數(shù)形結(jié)合的完美呈現(xiàn)。下面就其中一種題型進(jìn)行剖析，帶領(lǐng)同學(xué)們關(guān)注數(shù)學(xué)的本質(zhì)，悟出通性通法。

例題 已知二次函數(shù)y=x2-2x-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，若點(diǎn)P是拋物線第四象限上的動(dòng)點(diǎn)，求△CPB面積的最大值。

解：如圖1，過點(diǎn)P作PE∥y軸，交BC于點(diǎn)E。

由題意得點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0）、

C（0，-3）。

∵點(diǎn)P在拋物線上，設(shè)P（m，m2-2m-3），點(diǎn)E在直線BC上，則有E（m，m-3），

∴PE=yE-yP=-m2+3m。

∴S△CPB=S△EPB+S△EPC

=[12]×PE×（xB-xC）

=-[32]m2+[92]m

=-[32]（m-[32]）2+[278]。

當(dāng)m=[32]時(shí)，S△CPB有最大值[278]，即

△CPB的面積的最大值是[278]。

點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，△CPB的面積隨著點(diǎn)P位置的變化而變化，可以設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，用含m的代數(shù)式表示△CPB的面積，運(yùn)用求函數(shù)最值的方法求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想。用點(diǎn)坐標(biāo)表示三角形面積的方法有很多，本解法將三角形分割成以與y軸平行的線段PE為底的兩個(gè)三角形，此時(shí)兩個(gè)三角形的高之和為定值，運(yùn)算簡(jiǎn)便很多。在函數(shù)綜合題中，我們常常通過設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，用坐標(biāo)差表示與坐標(biāo)軸平行的線段的長(zhǎng)，將此作為解決問題的重要橋梁，如本題中的線段PE就是解決與拋物線上動(dòng)點(diǎn)P相關(guān)問題的重要橋梁。通過所給的幾何條件，找到問題所求與PE的數(shù)量關(guān)系，建立與點(diǎn)P坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解。

在例題的條件下，我們繼續(xù)研究。

問題1：求點(diǎn)P到直線BC的距離PH的最大值。

線段PH是△CPB中CB邊上的高，我們可以利用例題求得的面積求解。但更簡(jiǎn)單的解法是作輔助線PE。

解：過點(diǎn)P作PE∥y軸交BC于點(diǎn)E，如圖2。

在Rt△PEH中，∠PEH=∠OCB=45°，

∴PH=[22]PE=[22]×（-m2+3m）=[-22]（m-[32]）2+[928]，即PH的最大值是[928]。

通過作輔助線PE，在Rt△PEH中可以找到PH與PE的數(shù)量關(guān)系，可以將PH用含PE的式子進(jìn)行表示，從而求解。

問題2：連接AP，交BC于點(diǎn)M，求[PMAM]的最大值。

同樣的，[PMAM]的值隨著點(diǎn)P位置的變化而變化。解決問題2的關(guān)鍵是找到[PMAM]的值與點(diǎn)P坐標(biāo)之間的關(guān)系。

在平面直角坐標(biāo)系中，斜線段之比通常轉(zhuǎn)化為平行于坐標(biāo)軸的線段之比。我們可以通過構(gòu)造平行相似，將此比例式轉(zhuǎn)化為與線段PE有關(guān)的表達(dá)式。

解：如圖3，過點(diǎn)P作PE∥y軸，交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AG∥y軸，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則有G（-1，-4）。

∴AG=4。

∵AG∥PE，

∴[PMAM]=[PEAG]=[-m2+3m4]=[-14]（m-[32]）2

+[916]，即[PMAM]的最大值是[916]。

問題3：過點(diǎn)P作PF∥AC，交BC于點(diǎn)F，求PF的最大值。

此問題給出了過點(diǎn)P的線段與已知線段平行的條件，因?yàn)榫€段AC為已知線段，所以線段PF的最大值同樣由點(diǎn)P的位置決定。問題3的難點(diǎn)在于如何將兩條直線的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化成與線段PF相關(guān)的數(shù)量關(guān)系。充分研究圖形特征后，我們可以用以下方法進(jìn)行求解。

（方法1）運(yùn)用“兩條線段平行，對(duì)應(yīng)線段成比例”進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

解：如圖4，連接AP，交BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作PE∥y軸，交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AG∥y軸交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G。

同問題2，得[PFAC]=[PMAM]=[PEAG]。

∵AC=[10]，AG=4，

∴PF=[104]PE=[104]×（-m2+3m）

=- [104]（m- [32]）2+ [91016]，

即PF的最大值是[91016]。

圖中也可直接證得△PEF∽△AGC，∴[PFAC]=[PEAG] ，同上可得結(jié)論。

（方法2）構(gòu)造兩個(gè)三角形相似，進(jìn)行線段間的轉(zhuǎn)化。

解：如圖5，過點(diǎn)A作AK∥BC，交y軸于點(diǎn)K。

此時(shí)點(diǎn)K的坐標(biāo)為（0，1），由PF∥AC得△PEF∽△CKA，

∴[PFAC]=[PECK]，

∴PF=[104]PE，同方法1可得結(jié)論。

此類問題一般是從函數(shù)問題出發(fā)，通過幾何圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，建立函數(shù)模型來求解。在直角坐標(biāo)系中，同學(xué)們要關(guān)注坐標(biāo)與線段的轉(zhuǎn)換，從圖形角度進(jìn)行分析，獲得線段之間的數(shù)量關(guān)系，而與坐標(biāo)軸平行的線段則是函數(shù)與幾何圖形間轉(zhuǎn)換的重要“橋梁”。

（作者單位：江蘇省無錫市東林中學(xué)）