摘" 要：研究幾何問(wèn)題的關(guān)鍵在于對(duì)圖象的處理，我們通常需要進(jìn)行例如平移、放縮、旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)等一系列操作，而這些操作就是對(duì)圖象的仿射變換，它主要的目的在于將一些復(fù)雜問(wèn)題特殊化、簡(jiǎn)單化，能夠讓讀者對(duì)題意有更深刻、更全面的理解.

關(guān)鍵詞：仿射變換；仿射對(duì)應(yīng)；幾何圖形

中圖分類(lèi)號(hào)：G632""" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A""" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）22-0060-03

收稿日期：2024-05-05

作者簡(jiǎn)介：王龍友（1977.11—），男，安徽省東至人，本科，中學(xué)二級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

幾何中，我們?cè)谘芯繄D形的點(diǎn)線結(jié)合關(guān)系、平行性、單比、面積比等問(wèn)題時(shí)，若站在仿射變換的角度來(lái)思考，利用仿射變換的“關(guān)系性、映射性、反演性”對(duì)問(wèn)題加以處理，即通過(guò)對(duì)特殊圖形的證明經(jīng)仿射變換得出一般圖形的結(jié)論，能夠大大地降低解題的難度.所以，研究仿射變換在幾何中的應(yīng)用，可以幫助讀者開(kāi)闊視野、擴(kuò)大幾何領(lǐng)域的知識(shí)面，極大地激發(fā)讀者學(xué)習(xí)幾何的興趣.

1" 基礎(chǔ)知識(shí)

1.1" 仿射變換定義

（1）f：p（x，y）→p′（x′，y′）是由x′=a11x+a12y+a13，y′=a21x+a22y+a23確定的平面xOy上的一個(gè)線性變換；

（2）Δ=a11a21 a12a22≠0，

則稱(chēng)f是平面上的一個(gè)仿射變換［1］.

1.2" 仿射變換

仿射變換也叫仿射映射，它是指在幾何中，對(duì)一個(gè)向量空間進(jìn)行線性變換并接上一個(gè)平移，從而變換成另一個(gè)向量空間的變換.

1.3" 仿射變換的性質(zhì)

f保持同素性：點(diǎn)A→點(diǎn)A′，直線a→直線a′；

f保持結(jié)合性：若A∈a，f：A→A′，a→a′，則A′∈a′.

推論" （1）f保持共線三點(diǎn)單比不變：f：p1→p1′，

p2→p2′，p3→p3′，

則（p1， p2，p3）=（p1′，p2′，p3′） ；

（2）f保持平行性：若a∥b，f：a→a′， b→b′，則a′∥b′；

（3）f保持兩個(gè)圖形的面積比不變：一組三個(gè)不共線的點(diǎn)P1，P2，P3和另一組三個(gè)不共線的點(diǎn)Q1，Q2，Q3且f：P1→P1′，P2→P2′，P3→P3′， f：Q1→Q1′

，Q2→Q2′，Q3→Q3′，則有 S△P1P2P3S△Q1Q2Q3=S△P1′P2′P3′S△Q1′Q2′Q3′.

（4）伸縮變換：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）在伸縮變換φ：x′=λx，λgt;0，y′=μy，μgt;0下，可以變成另一個(gè)橢圓或者圓，且變換后的面積S′與變換前的面積S滿足：S′=λμS.

1.4" 仿射變換在幾何問(wèn)題中常見(jiàn)的幾個(gè)重要結(jié)論

（1）一般三角形可以經(jīng)仿射變換成正三角形或等腰三角形；

（2）一般四邊形可以經(jīng)仿射變換成平行四邊形或正方形；

（3）一般梯形可以經(jīng)仿射變換成等腰梯形；

（4）橢圓可以經(jīng)仿射變換成圓.

2" 應(yīng)用舉例

例1" 證明三角形的三條中線交于一點(diǎn).

圖1" 任意三角形仿射變換成等腰三角形

證明" 如圖1，將△ABC仿射變換成正△A′B′C′（或等腰 △A′B′C′），中線AD，BE，CF分別相應(yīng)變換成A′D′，B′E′，C′F′.

由正三角形的對(duì)稱(chēng)性知B′E′，C′F′的交點(diǎn)O′必在A′D′上.

由點(diǎn)線結(jié)合性可知AD，BE，CF相交于一點(diǎn)O.

例2" 證明梅涅勞斯定理.

梅涅勞斯定理" 任何一條直線截三角形的各邊或延長(zhǎng)線，都使得三條不相鄰線段之積等于另外三條線段之積［2］.

圖2" 三條線段不共線仿射變換成三條線段共線

分析" 本題要求證明：如圖2，當(dāng)L，M，N三點(diǎn)共線時(shí)，BLLC·CMMA·ANNB=1成立.

證明

由于結(jié)論中的三條線段不在同一條直線上，證明起來(lái)比較困難，這時(shí)我們利用仿射變換分別將A，M，N平行投影到直線BC上，分別對(duì)應(yīng)：A→K，M→L′，N→L′，則將原來(lái)不共線的三點(diǎn)對(duì)應(yīng)成共線的點(diǎn)，則有BLLC·CMMA·ANNB=BL′L′C·CL′KL′·KL′L′B=1.

逆命題" 當(dāng)有向線段BC，CA，AB上三點(diǎn)L′，M，N滿足BL′L′C·CMMA·ANNB=1時(shí)，L′，M，N三點(diǎn)共線.

證明" 設(shè)直線MN交BC于點(diǎn)L′時(shí)，

在△MCL′中由正弦定理知

CL′sin∠M=CMsin∠ML′C.

所以sin∠ML′Csin∠M=CMCL′.

在△AMN中由正弦定理知 MAsin∠MNB=ANsin∠M.所以sin∠Msin∠MNB=ANMA.

在△BL′N(xiāo)中由正弦定理知BNsin∠BL′N(xiāo)=BL′sin∠BNL′.所以sin∠BNL′sin∠BL′N(xiāo)=BL′BN.

則BL′N(xiāo)B·CML′C·ANMA=sin∠BNL′sin∠BL′N(xiāo)·sin∠BL′N(xiāo)sin∠M·sin∠Msin∠MNB

=sin∠BNL′sin∠MNB=1.

所以點(diǎn)L′與點(diǎn)D重合，也即L′，M，N三點(diǎn)共線.

例3" 橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的內(nèi)接△ABC，過(guò)點(diǎn)A，B，C分別作橢圓切線，分別相交于E，F(xiàn)，G三點(diǎn)，構(gòu)成橢圓的外切△EFG，若BC∥EG，AC∥EF，求證：AB∥FG.

圖3" 三角形內(nèi)切橢圓仿射變換成三角形內(nèi)切圓

證明" 如圖3，作仿射轉(zhuǎn)換，

x′=xa，y′=yb，1a00 1bxy=x′y′.

所以橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）經(jīng)仿射變換后得到圓x2+y2=1，相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)變換成：A→A′，B→B′，C→C′，E→E′，G→G′，F(xiàn)→F′.

因?yàn)锽′C′∥E′G′，A′C′∥E′F′，

所以∠B′A′C′=∠E′B′A′，∠A′E′B′=∠C′B′F′.

所以∠G′E′F′=∠A′C′B′.

所以F′G′∥A′B′.

由仿射變換保持平行性可知FG∥AB.

例4" 在四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在DC上，連接AF，DE交于點(diǎn)L，連接AC，BD交于點(diǎn)N，連接BF，CE交于點(diǎn)M，證明：L，M，N三點(diǎn)共線.

圖4" 任意四邊形經(jīng)仿射變換為平行四邊形

證明" 如圖4，將四邊形ABCD經(jīng)仿射變換成平行四邊形，A→A′，B→B′，C→C′，D→D′，E→E′，F(xiàn)→F′，L→L′，M→M′，N→N′，則在A′B′C′D′中很顯然L′，M′，N′三點(diǎn)共線.

由仿射變換的性質(zhì)知L，M，N三點(diǎn)共線.

例5" 求橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的面積.

解析" 建立仿射變換：橢圓仿射成圓，由仿射變換性質(zhì)“兩個(gè)圖形的面積比保持不變”得出結(jié)論：

圖5" 橢圓經(jīng)仿射變換為圓

如圖5，進(jìn)行仿射變換：

A（-a，0）→A′（-1，0），B（0，b）→B′（0，1），C（a，0）→C′（1，0）.

所以S△A′B′C′=12×2×1=1.

所以S△ABCS△A′B′C′=S橢圓S圓.

所以ab1=S橢圓π×12.

所以S橢圓=abπ.

3" 結(jié)束語(yǔ)

從以上的一些典型例題中不難看出，通過(guò)對(duì)特殊幾何圖形的證明得到一般幾何圖形的證明，可以大大地降低解題的難度，而這一過(guò)程的轉(zhuǎn)換只需要通過(guò)“仿射變換”就可以實(shí)現(xiàn).事實(shí)上，仿射變換的好處還遠(yuǎn)不止于此，甚至還可以自己動(dòng)手編制和構(gòu)建新的幾何題型.

當(dāng)然，仿射變換在幾何中不是萬(wàn)能的，不能面面俱到，它一般運(yùn)用于幾何中屬于仿射幾何的那部分內(nèi)容，對(duì)于一旦牽涉到長(zhǎng)度、角度等幾何內(nèi)容時(shí)，我們的仿射變換就失去了效果，因此讀者們?cè)谘芯繒r(shí)要注意.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 朱得祥.初等幾何［M］.北京：高等教育出版社，2000.

［2］ 陳啟旭，林達(dá)堅(jiān).高等幾何［M］.北京：高等教育出版社， 1983.

［責(zé)任編輯：李" 璟］