普林斯頓拓?fù)鋵W(xué)派在美國甚至在世界上都是一個極具影響力的學(xué)派。普林斯頓數(shù)學(xué)學(xué)派在20世紀(jì)初快速崛起，20世紀(jì)30年代快速成長為美國數(shù)學(xué)界的新生代——普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)系和普林斯頓高等研究院數(shù)學(xué)部，在拓?fù)鋵W(xué)、代數(shù)學(xué)、數(shù)論、運籌學(xué)和博弈論方面做出了非凡的研究成果，可以媲美于歐洲數(shù)學(xué)，并持續(xù)到20世紀(jì)50年代。

新澤西學(xué)院的初衷是為基督教培養(yǎng)長老，不搞科研，1896年才改名為普林斯頓大學(xué)。1903年威爾遜出任大學(xué)校長，才重視起學(xué)術(shù)和科研。1933年普林斯頓高等研究院建立，獨立于普林斯頓大學(xué)，但兩個機構(gòu)可以互使設(shè)備，也可以互加研討會。高等研究院成立的頭四年，組織了許多拓?fù)鋵W(xué)活動，如萊夫謝茨和亞歷山大共同主持拓?fù)鋵W(xué)為期兩年的討論班等。萊夫謝茨和亞歷山大帶領(lǐng)拓?fù)鋵W(xué)數(shù)學(xué)家逐步發(fā)展了普林斯頓拓?fù)鋵W(xué)派。

普林斯頓拓?fù)鋵W(xué)派的代表性人物

普林斯頓拓?fù)鋵W(xué)派的奠基人——法恩。亨利·伯查德·法恩于1858年9月14日在賓夕法尼亞州的錢伯斯堡出生，其父親去世較早，后為了他們的教育，一家人于1875年來到普林斯頓。法恩1876年進入新澤西學(xué)院，學(xué)習(xí)成績一直名列前茅，于1880年以一等榮譽獲得文學(xué)學(xué)士學(xué)位。霍爾斯特德于1875年畢業(yè)于普林斯頓大學(xué)，在約翰·霍普金斯大學(xué)師從西爾維斯特后，于1878年至1981年在普林斯頓大學(xué)擔(dān)任“研究生數(shù)學(xué)講師”。霍爾斯特德將他的熱情傳達(dá)給了一小部分本科生，尤其是法恩，因為法恩天生喜歡邏輯問題。

畢業(yè)后法恩留校曾擔(dān)任實驗科學(xué)研究員，但他對其不感興趣。1881年到1884年他出任數(shù)學(xué)導(dǎo)師的職位。為了更好地進行數(shù)學(xué)研究，1884年他去萊比錫跟隨克萊因?qū)W習(xí)，1885年獲得了博士學(xué)位，同年的夏季學(xué)期去柏林聽了克羅內(nèi)克的講座。

在短暫接觸數(shù)學(xué)界的主流之后，法恩想把最先進的知識帶回普林斯頓，于是他在普林斯頓大學(xué)擔(dān)任助教，一直工作到1889年。在此期間，他在《美國數(shù)學(xué)雜志》上發(fā)表了幾篇關(guān)于微分方程方面的文章：《論雙曲率曲線的奇點》（1886年），1887年將其結(jié)果擴展到n維；《論微分方程定義的函數(shù)以及普伊塞多邊形構(gòu)造對這些方程的擴展》（1889年）；《常微分方程的奇異解》（1890年）。1889年法恩晉升為教授，1898年被任命為Dod數(shù)學(xué)教授，法恩也是美國數(shù)學(xué)會的創(chuàng)始人員。

在伍德羅·威爾遜管理普林斯頓大學(xué)期間，法恩是學(xué)院院長，法恩還身兼數(shù)學(xué)系主席、教務(wù)主任和科學(xué)系主任。在這段時間，法恩出版了著作《大學(xué)代數(shù)》《坐標(biāo)幾何》和《微積分》，這些都成了該大學(xué)的教科書。在威爾遜的推動下，1905年普林斯頓大學(xué)開始實行學(xué)前教育制度，以提供更小的班級和更個性化的教學(xué)。法恩是這一制度的堅定支持者。1900年，甚至在成為院長之前，法恩就邀請路德·法赫勒·艾森哈特加入了普林斯頓大學(xué)的教師隊伍；1905年，維布倫和布利斯加入了法恩和艾森哈特的行列。韋德伯恩幾年后從芝加哥來到了普林斯頓。布利斯回到芝加哥后伯克霍夫從1909年到1912年來到普林斯頓。法恩顯然是想把芝加哥眾多優(yōu)秀博士中的佼佼者吸引到普林斯頓。在這群杰出的年輕數(shù)學(xué)家中，艾森哈特和維布倫給普林斯頓留下了最深遠(yuǎn)影響，使它成為一個偉大的幾何和拓?fù)鋵W(xué)中心。晚年的法恩抓住了另一個促進科學(xué)發(fā)展的機會，主要由于他的信任，普通教育委員會向普林斯頓大學(xué)提供了一百萬美元用于純科學(xué)研究，到1928年籌集了300萬美元?？梢哉f法恩是普林斯頓數(shù)學(xué)學(xué)派的元老級人物。

1928年12月21日法恩與世長辭，為了紀(jì)念他，普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)系有一座以他名字命名的大樓——法恩樓。

普林斯頓拓?fù)鋵W(xué)派的鼻祖——維布倫。奧斯瓦爾德·維布倫1880年６月25日在美國迪科拉市出生，是挪威后裔。后遷往愛荷華市，在那維布倫不僅完成了初等教育，還在1894年進入愛荷華州立大學(xué)學(xué)習(xí)，1898年畢業(yè)。1900年他又在哈佛大學(xué)取得第二個學(xué)位。

1905年法恩將維布倫收至普林斯頓大學(xué)麾下，在這一年維布倫發(fā)表了《非度量位置分析平面曲線理論》，首次嚴(yán)格證明了若爾當(dāng)曲線定理。實際上，維布倫早在1905年證明若爾當(dāng)曲線定理時就開始思考拓?fù)鋵W(xué)的問題。1912年維布倫和亞歷山大聯(lián)合發(fā)表了論文“n維流形”。1916年維布倫受到美國數(shù)學(xué)會的邀請做討論會的報告，他選擇了位置分析這一主題。在美國數(shù)學(xué)會所做的６個報告中，維布倫發(fā)展了貝蒂數(shù)、撓系數(shù)、基本群的概念，并介紹了拓?fù)浞诸惖膯栴}。正是維布倫，數(shù)學(xué)家接觸到了代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的概念，該討論會的報告1922年才成書《位置分析》出版。1931年，為了將微分幾何建立在嚴(yán)格的基礎(chǔ)上，美國數(shù)學(xué)家維布倫與學(xué)生懷特黑德在組合拓?fù)鋵W(xué)方面首次以三組公理給出了微分流形的抽象內(nèi)蘊定義。維布倫還培養(yǎng)了亞歷山大，也招攬來了萊夫謝茨，在他們的努力下，普林斯頓一躍成為世界領(lǐng)先的拓?fù)鋵W(xué)中心。

維布倫在普林斯頓大學(xué)教授數(shù)學(xué)27年，1930年協(xié)助籌建普林斯頓高等研究院，建成之后，1932年就留在了高等研究院，并且他是該院的第一位教授。研究院又吸納亞歷山大、愛因斯坦、馮·諾依曼、韋爾、莫爾斯等著名學(xué)者大家，使普林斯頓成為強大的學(xué)術(shù)中心。20世紀(jì)30年代至40年代，維布倫在安置歐洲移民數(shù)學(xué)家時也發(fā)揮了重要作用，促進了美國數(shù)學(xué)的繁榮發(fā)展。同時維布倫也是美國數(shù)學(xué)會的活躍成員，通過向普林斯頓大學(xué)和美國數(shù)學(xué)會籌集資金支持?jǐn)?shù)學(xué)研究。

1960年8月10日在緬因州布魯克林，維布倫與世長辭。美國數(shù)學(xué)會設(shè)立了維布倫幾何獎以獎勵在幾何或是拓?fù)漕I(lǐng)域有杰出貢獻的數(shù)學(xué)家。

普林斯頓拓?fù)鋵W(xué)派的精英——亞歷山大。亞歷山大于1888年9月19日出生在新澤西州的海布萊特。亞歷山大家境富裕，1906年在普林斯頓大學(xué)接受教育，師從維布倫，1910年獲得學(xué)士學(xué)位，1911年取得碩士學(xué)位，1915年在格隆沃爾的指導(dǎo)下也獲得了博士學(xué)位。

在1915年，亞歷山大證明了三維流形M3的貝蒂數(shù)的拓?fù)洳蛔冃裕暌步o出了同調(diào)的拓?fù)洳蛔冃砸粋€證明。在流形的拓?fù)浞诸悊栴}上，1919年，亞歷山大舉出了一個反例，兩個棱鏡空間同調(diào)及π1對應(yīng)相等，但不同胚。20世紀(jì)20年代亞歷山大對于紐結(jié)和環(huán)結(jié)的分類方面也做了大量工作。1922年著名的亞歷山大對偶定理影響著同調(diào)理論的發(fā)展。1924年亞歷山大發(fā)現(xiàn)的角球（面），其內(nèi)部不再是一個球體，大大推動了這部分近20多年對低維拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展。1926年對復(fù)合體的同調(diào)群的拓?fù)洳蛔冃宰隽诵碌淖C明。1928年利用基本群獲得了分類紐結(jié)的亞歷山大多項式。1935年參加了在莫斯科舉辦的國際拓?fù)鋵W(xué)大會，提出了上同調(diào)的概念。亞歷山大20世紀(jì)20年代都在普林斯頓大學(xué)，普林斯頓高等研究院建成之后，他成為了該研究所的教員，一直待在研究院直到退休。亞歷山大是一位卓越的拓?fù)鋵W(xué)家，是普林斯頓拓?fù)鋵W(xué)派當(dāng)之無愧的精英人員。

普林斯頓拓?fù)鋵W(xué)派的中堅力量——萊夫謝茨。萊夫謝茨1884年9月3日出生在俄羅斯莫斯科，但從小待在法國。1902年至1905年，萊夫謝茨在巴黎中央藝術(shù)與制造學(xué)院接受工程師培訓(xùn)，1905年獲得了“藝術(shù)與制造工程師”學(xué)位。同年又移居到美國，在鮑德溫火車頭工廠短暫工作些許時日，1907年到1910年在匹茲堡的西屋電氣公司工作。不幸的是在1907年11月，一次實變壓器爆炸事故燒毀了他的雙手。正是這次變故，萊夫謝茨將工作重心轉(zhuǎn)向了數(shù)學(xué)，通過自學(xué)成為了克拉克大學(xué)的研究生并與1911年取得數(shù)學(xué)博士學(xué)位。獲得數(shù)學(xué)博士學(xué)位后，他又在中西部的大學(xué)獲得一系列職位：內(nèi)布拉斯加大學(xué)講師、堪薩斯大學(xué)講師、堪薩斯大學(xué)助理教授、堪薩斯大學(xué)副教授。1924年萊夫謝茨受邀來到普林斯頓，之后他的研究逐漸轉(zhuǎn)向代數(shù)拓?fù)?，和其他拓?fù)鋵W(xué)家一起將普林斯頓建設(shè)成世界數(shù)學(xué)的中心。

在內(nèi)布拉斯加大學(xué)和堪薩斯大學(xué)時，萊夫謝茨寫了一系列關(guān)于拓?fù)鋵W(xué)的文章，1921年發(fā)表在《美國數(shù)學(xué)學(xué)會會刊》的《關(guān)于代數(shù)變種的某些數(shù)值不變量及其在阿貝爾變種的應(yīng)用》和1924年出版的專著《位置分析與代數(shù)幾何》包含著這一時期的重要成果。1923年，萊夫謝茨發(fā)表了《流形的連續(xù)變換》，他發(fā)現(xiàn)一個用于研究流形的連續(xù)映射，特別是不動點問題的新方法。1926年，發(fā)表《復(fù)形和流形的交與變換》主要證明了無邊界緊致可定向流形的不動點定理。1927年《帶邊界的流形的變換》把不動點理論擴展到了有邊界流形。1929年，《拓?fù)鋵W(xué)的對偶關(guān)系》不僅擴展了龐加萊的工作，并對已知的對偶關(guān)系證明進行了修正和一定程度上的擴展。1930年，萊夫謝茨和福萊克斯尼爾共同發(fā)表了《關(guān)于拓?fù)淞餍呜惖贁?shù)的對偶定理》，得到的萊夫謝茨對偶定理可以應(yīng)用到組合流形連續(xù)變換的重合點和不動點問題上。萊夫謝茨在拓?fù)鋵W(xué)方向也出版了著作《拓?fù)鋵W(xué)》和《代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)》。

萊夫謝茨除了代數(shù)拓?fù)涞姆欠渤删?，在代?shù)幾何和微分方程也頗有建樹。他對數(shù)學(xué)和普林斯頓大學(xué)的影響非常大，非常積極，也深刻影響了美國的數(shù)學(xué)。1972年10月5日萊夫謝茨患病逝世于普林斯頓。

普林斯頓拓?fù)鋵W(xué)派的后起之秀——惠特尼。惠特尼1907年出生在紐約州。其父親于1911年因病去世，母親帶著不滿4歲的惠特尼搬到康涅狄格州的紐黑文生活。1921年母親帶著他和妹妹又轉(zhuǎn)去瑞士定居。1923年惠特尼回到美國，次年進入耶魯大學(xué)的物理系，1928年獲得學(xué)士學(xué)位。出于對音樂的喜愛他又拿到了音樂學(xué)位。后來進入哈佛大學(xué)轉(zhuǎn)學(xué)數(shù)學(xué)研究四色問題，師從伯克霍夫。關(guān)于這方面的研究，他在短短兩年內(nèi)連發(fā)10篇文章，1932年獲得了博士學(xué)位，兩年后受聘為哈佛大學(xué)助理教授。在哈佛的日子惠特尼大大發(fā)展了圖論的研究，他對圖論的最大貢獻莫過于擬陣?yán)碚?。又?jīng)過幾何函數(shù)論研究的過渡，惠特尼最終決定研究拓?fù)鋵W(xué)，以微分流形的內(nèi)外蘊定義問題為核心。

1935年莫斯科的國際拓?fù)鋵W(xué)大會上，惠特尼作的報告《微分流形》與《球面空間》，提出了將抽象微分流形“實現(xiàn)”為歐氏空間中子流形的兩種方式：浸入與嵌入。這標(biāo)志著微分拓?fù)鋵W(xué)的開始，他還發(fā)明了單位分解的方法，修正了亞歷山大和柯爾莫哥洛夫關(guān)于上同調(diào)定義中的錯誤。1937年，惠特尼用上同調(diào)的語言來構(gòu)造斯蒂菲爾·惠特尼示性類。1940年他用ζ和W表示纖維叢和示性類。1940年在密歇根大學(xué)組織的拓?fù)鋵W(xué)會議上，惠特尼的報告《微分流形的拓?fù)洹穼χ葹?的纖維叢ζ1與ζ2給出了對偶定理的證明。同年，惠特尼將球面空間改稱為球面叢，指出球面可以換成任意一個拓?fù)淇臻g，在實質(zhì)上建立起了纖維叢的概念。1944年運用纖維叢與示性類的工具成功證明了更強的嵌入定理，至此惠特尼足夠擔(dān)當(dāng)起微分拓?fù)鋵W(xué)的奠基人稱號。

受到普林斯頓高等研究院奧本海默院長的邀請，1952年惠特尼來到研究院任職。1957年出版的著作《幾何積分論》，用微分形式的積分刻畫了上鏈、上邊界等拓?fù)涓拍?，系統(tǒng)地建立了幾何積分論。

1965年惠特尼發(fā)表的“解析簇的切平面”證明了具有相關(guān)切平面性質(zhì)的解析簇分層的存在性。1972年，惠特尼出版了第二本著作《復(fù)解析簇》。1977年惠特尼從普林斯頓高等研究院退休，惠特尼進一步拓展了拓?fù)鋵W(xué)，促進了普林斯頓拓?fù)鋵W(xué)派的繁榮發(fā)展。

不僅限于拓?fù)鋵W(xué)領(lǐng)域，惠特尼還涉獵圖論、幾何積分、可微映射和奇點理論。1985年美國數(shù)學(xué)會授予惠特尼斯蒂爾獎，這是對他學(xué)術(shù)貢獻的最好證明。1987年惠特尼在普林斯頓中風(fēng)去世，享年84歲。

普林斯頓拓?fù)鋵W(xué)派的發(fā)展不僅僅深刻影響著美國拓?fù)鋵W(xué)甚至數(shù)學(xué)研究越來越豐富，同時也會推動其他各國數(shù)學(xué)的發(fā)展。

（作者單位：吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院）