摘" 要：二次函數(shù)與幾何綜合問題是初中數(shù)學(xué)的重點和難點問題，也是初高中數(shù)學(xué)的銜接點，是歷年全國各地中考的熱點問題，常常以中考壓軸題的形式出現(xiàn).二次函數(shù)與幾何綜合題涉及的知識點較多，對學(xué)生的邏輯思維、推理能力要求較高，主要考查學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的理解.基于此，筆者以常見的二次函數(shù)與幾何綜合問題為例，突出解決問題的關(guān)鍵步驟，立足于點的坐標表示，進而確定線段長度，最后解決圖形面積等問題，以此完成素養(yǎng)目標的培養(yǎng).

關(guān)鍵詞：二次函數(shù)；幾何問題；綜合題；關(guān)鍵步驟；素養(yǎng)目標

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2025）05-0033-03

收稿日期：2024-11-15

作者簡介：王芳，碩士，中學(xué)一級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究；馮俊，碩士，中學(xué)高級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

在歷年全國各地中考試題中，經(jīng)常出現(xiàn)以二次函數(shù)為背景的幾何綜合題，這類問題通常涉及最值問題，其綜合性較強，對學(xué)生而言具有一定的難度.在復(fù)習(xí)備考過程中，最主要的教學(xué)思路有：進行單元模塊化教學(xué)，使學(xué)生逐步感受二次函數(shù)與全等三角形、相似三角形的有機融合，二次函數(shù)與特殊三角形的存在性相結(jié)合，二次函數(shù)與特殊四邊形相結(jié)合，等等.筆者以一道原創(chuàng)的二次函數(shù)與幾何綜合問題為例，探究關(guān)鍵步驟在問題解決過程中的作用，以此提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1" 題目呈現(xiàn)

如圖1，已知拋物線L：y=-23x2+bx+c，與y軸的交點為C（0，2），與x軸的交點分別為A（3，0），B（點A在點B右側(cè)）.

（1）求拋物線的表達式；

（2）點P是第一象限內(nèi)拋物線L上的任意一點，過點P作PQ∥y軸交AC于點Q，求線段PQ的最大值；

（3）如圖2，點D，G在x軸的上方，點D在點G的左側(cè)，點E，F(xiàn)在x軸上，且四邊形DEFG為矩形，是否存在點D，使得矩形DEFG的周長最大？若存在，求點D坐標；

（4）如圖3，將拋物線沿x軸向左平移m（mgt;0）個單位，所得拋物線與x軸的左交點為M，與y軸負半軸的交點為N，若∠NMO=∠CAO，求m的值.

2" 題目分析

本題是一道典型的二次函數(shù)與幾何問題綜合題，主要涉及二次函數(shù)表達式的確定、線段最值及周長最值、確定點的坐標、相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)圖象的平移變換等知識，涉及的知識點較多，具有較強的綜合性，對學(xué)生而言具有極強的挑戰(zhàn)性.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，為降低解題難度，不妨引導(dǎo)學(xué)生從點的坐標表示入手，為問題解決創(chuàng)造有利條件.

對于問題（1），主要考查待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的表達式.根據(jù)已知條件，拋物線L與y軸的交點為C（0，2），與x軸的交點分別為C（0，2），即點C（0，2）和C（0，2）都在拋物線L上，將點C和點A的坐標代入y=-23x2+bx+c，即可得到關(guān)于b和c的二元一次方程組，從而易得到拋物線L的表達式為y=-23x2+43x+2，這種求函數(shù)表達式的方法即為待定系數(shù)法.

對于問題（2），它是關(guān)于線段的最值問題，解決此問題時，首先需要表示點的坐標.根據(jù)題意，可設(shè)P（m，-23m2+43m+2），根據(jù)點A與點C的坐標，容易得出直線AC的表達式為y=-23x+2.由此可以得到Q（m，-23m+2），然后根據(jù)兩點之間的位置關(guān)系，容易用含m的代數(shù)式表示線段PQ的長度，即PQ=-23m2+43m+2-（-23m+2）=-23m2+2m.不難發(fā)現(xiàn)，PQ是關(guān)于m的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)易知，當m=32時，線段PQ能夠取得最大值，其最大值為32.由此解題過程可以發(fā)現(xiàn)，借助點的坐標可以得到線段的長度.在本題中，易發(fā)現(xiàn)線段PQ的長度是不斷變化的，最后借助二次函數(shù)的性質(zhì)得到了最大值.根據(jù)已知條件及圖形結(jié)構(gòu)特征，易發(fā)現(xiàn)△APC的面積可轉(zhuǎn)化為32PQ，即三角形面積的最值與線段PQ的最值本質(zhì)上是一樣的［1］.

對于問題（3），類比問題（2）的研究思路，從點的坐標入手，可設(shè)點D為（n，-23n2+43n+2），易知點E為（n，0），由于拋物線的對稱軸為直線x=1，根據(jù)對稱性可知xE+xG2=1，即n+xG2=1.由此可知點G的坐標為（2-n，-23n2+43n+2）.從而可得線段DE=-23n2+43n+2，線段DG=2-n-n=2-2n.所以矩形DEFG的周長可以表示為2DE+2DG=-43n2+83n+4+4-4n=-43n2-43n+8.由此可以看出，矩形DEFG的周長是n的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當n=-12時，矩形DEFG的周長取得最大值，最大值為253.

對于問題（4），拋物線向左平移m個單位得y=-23（x-m）2-43（x-m）+2，由條件∠NMO=∠CAO及∠NOM=∠COA易發(fā)現(xiàn)△MON∽△AOC.從點的坐標入手，由平移可知M（-1-m，0），因為點N在y軸上，所以可得N（0，-23m2+43m+2）.從而可知線段OM=-1-m=1+m，ON=-23m2+43m+2=23m2-43m-2，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得ONOC=OMOA，即2/3m2+4/3m-22=1+m3，解得m=4或m=-1.因為m＞0，所以m=4.

3" 教學(xué)思考

3.1" 模塊化教學(xué)模式對學(xué)生解題的不良影響

二次函數(shù)與幾何綜合問題是歷年全國各地中考的重點內(nèi)容，也是學(xué)生解答的難點問題之一，對于學(xué)生的運算能力要求較高.多數(shù)學(xué)生處理二次函數(shù)與幾何綜合問題的能力較弱，面對復(fù)雜多變的題目顯得措手不及，缺乏分析問題的思路.究其原因，它與教師在教學(xué)過程中采用的模式有關(guān).通常情況下，教師將此類問題分為二次函數(shù)與特殊三角形的存在性結(jié)合題、二次函數(shù)與全等三角形或相似三角形問題綜合題、二次函數(shù)與線段最值綜合題、二次函數(shù)與平行四邊形綜合題、二次函數(shù)與幾何圖形變換等［2］.這樣的模塊化教學(xué)模式的想法固然是對的，教師也想通過這種方式讓學(xué)生學(xué)會解決不同類型的二次函數(shù)與幾何綜合題.但是這樣的模塊化教學(xué)方式存在兩個問題：一是學(xué)生只關(guān)注教師介紹的幾類問題，如果出現(xiàn)從未見過的綜合問題，學(xué)生就會束手無策；二是學(xué)生普遍認為上述模塊彼此之間無因果關(guān)系，學(xué)習(xí)過程中采用的方式是分模塊理解并消化，一旦出現(xiàn)綜合性問題，就會出現(xiàn)解題困難.

3.2" 學(xué)生須準確把握解決問題的關(guān)鍵步驟

學(xué)生的主要問題是無法把握核心關(guān)鍵步驟，只是單純依照模塊進行理解與學(xué)習(xí).在學(xué)習(xí)過程中，當學(xué)生碰到復(fù)雜問題時，就會出現(xiàn)無法有效分析、加工問題的現(xiàn)象.不難發(fā)現(xiàn)，解決二次函數(shù)與幾何綜合問題的關(guān)鍵步驟是首先表示點的坐標，然后表示線段的長度，最后研究幾何圖形的周長、面積、相似三角形及特殊三角形等問題，具體過程如圖4所示.

3.3" 基于二次函數(shù)與幾何綜合題培養(yǎng)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要包含三個方面，即用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界.關(guān)鍵步驟的理解對于核心素養(yǎng)的培養(yǎng)至關(guān)重要.在二次函數(shù)與幾何綜合題中，用字母表示點的坐標是一種符號意識，學(xué)生要通過設(shè)某點的橫坐標進而表示縱坐標，這里學(xué)生必須清楚點在某條直線上或者某拋物線上，這其實就是一種數(shù)學(xué)眼光，即已知點的橫坐標可代入確定縱坐標的值，不知道橫坐標的情況下可以用字母表示.

從確定位置到點的坐標再到線段長度，最后到幾何圖形的周長、面積、三角形相似等問題，從邏輯上看，它符合學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界的方法，從一維直線到二維平面，點動成線、線動成面、面動成體等思考方式.學(xué)生可以通過已知的事實，合乎邏輯地得出結(jié)論，構(gòu)建嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)邏輯體系.

數(shù)學(xué)語言主要體現(xiàn)在數(shù)據(jù)意識或數(shù)據(jù)觀念、模型意識或模型觀念、應(yīng)用意識.在解決二次函數(shù)與幾何綜合題時，三角形相似問題最終轉(zhuǎn)化為線段之比，即利用線段的比就可以表達三角形相似.簡單來說，線段的長度或線段之間的數(shù)量關(guān)系可以表達幾何圖形的關(guān)系，這符合數(shù)學(xué)語言表達世界的認知.

4" 結(jié)束語

二次函數(shù)與幾何綜合題是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點和難點.在教學(xué)過程中，教師需引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)學(xué)解題中的核心步驟，以此實現(xiàn)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).在復(fù)雜的二次函數(shù)與幾何綜合題中，關(guān)鍵步驟往往能夠起到畫龍點睛的效果，可以幫助學(xué)生迅速解決問題.

參考文獻：［1］ 王麗.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用：以“二次函數(shù)與幾何圖形”問題為例［J］.數(shù)理化解題研究，2024（2）：38-40.

［2］ 王東國.例析二次函數(shù)與幾何綜合題的最值問題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2023（16）：69-70，77.

［責(zé)任編輯：李慧嬌］