殷國(guó)偉

數(shù)學(xué)思想方法是人類(lèi)思想文化寶庫(kù)中的瑰寶，是數(shù)學(xué)的精髓?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在總體目標(biāo)中提出：通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，使學(xué)生能夠“獲得適應(yīng)未來(lái)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識(shí)（包括數(shù)學(xué)事實(shí)、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能”。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師有計(jì)劃、有意識(shí)、有步驟地滲透一些數(shù)學(xué)思想方法，是未來(lái)社會(huì)的要求和國(guó)際數(shù)學(xué)教育發(fā)展的必然結(jié)果。正是基于這種考慮，現(xiàn)行蘇教版教材從四年級(jí)開(kāi)始把“解決問(wèn)題的策略”作為獨(dú)立的一個(gè)單元進(jìn)行教學(xué)?！靶纬山鉀Q問(wèn)題的一些基本策略，體驗(yàn)解決問(wèn)題的多樣性，發(fā)展實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神?！?/p>

然而在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)很多教師在教學(xué)這一單元時(shí)為了策略而策略，僅僅著眼于“解決問(wèn)題”，追求某一類(lèi)型題的能解會(huì)算。我們認(rèn)為：新教材之所以增加這類(lèi)內(nèi)容，其目的不僅在于要讓學(xué)生“學(xué)會(huì)做這些題”，獲得這些問(wèn)題的結(jié)論與答案，更在于讓學(xué)生經(jīng)歷并體驗(yàn)每一種策略的形成過(guò)程，獲得對(duì)策略的認(rèn)識(shí)與理解，感受策略給問(wèn)題解決帶來(lái)的便利，真正形成自覺(jué)運(yùn)用策略的意識(shí)。下面就通過(guò)國(guó)標(biāo)本蘇教版數(shù)學(xué)教材六年級(jí)下冊(cè)《解決問(wèn)題的策略》談?wù)勅绾芜\(yùn)用多媒體讓數(shù)學(xué)思想在解決問(wèn)題中發(fā)揮其作用。我們?cè)诔浞掷斫饨滩木帉?xiě)意圖后對(duì)單元教學(xué)內(nèi)容從整體上進(jìn)行了構(gòu)思，進(jìn)一步豐富了教與學(xué)的素材，并根據(jù)教學(xué)實(shí)際增設(shè)了第三課時(shí)的教學(xué)，現(xiàn)采擷幾個(gè)教學(xué)片斷。

●轉(zhuǎn)化的思維方法

如果不“變化問(wèn)題”我們幾乎不能有什么進(jìn)展。轉(zhuǎn)化應(yīng)該是數(shù)學(xué)教育過(guò)程的核心——用基本的和一般的觀念來(lái)不斷擴(kuò)大和加深知識(shí)。

——Ｇ.波利亞

【片斷1】

1.[練習(xí)題]

求下列各圖形的陰影部分面積，都需要用到轉(zhuǎn)化的策略嗎？分別說(shuō)一說(shuō)。

（學(xué)生均認(rèn)為第1、2幅圖都不需要轉(zhuǎn)化，能直接求出陰影部分面積，而第3、4幅圖均需要轉(zhuǎn)化，并說(shuō)出了具體如何轉(zhuǎn)化。）媒體的出現(xiàn)很好地解決了靜狀思維，通過(guò)化靜為動(dòng)，讓學(xué)生直觀地感知轉(zhuǎn)化對(duì)解決問(wèn)題的幫助。

2.[練習(xí)題]

Ａ.一種鹽水中，鹽的含量是水的1/9，810克這樣的鹽水中，含鹽多少克？

Ｂ.一種鹽水中，鹽的含量是鹽水的1/10，810克這樣的鹽水中，含鹽多少克？

學(xué)生獨(dú)立練習(xí)，部分學(xué)生到黑板上板演。（學(xué)生在解答時(shí)進(jìn)一步明晰了何時(shí)需要用轉(zhuǎn)化的策略：當(dāng)題中“未知量”與“已知量”沒(méi)有直接關(guān)系時(shí)，一般要用“轉(zhuǎn)化策略”進(jìn)行解決。）

師：遇到比較難的應(yīng)用題時(shí)，對(duì)關(guān)鍵句進(jìn)行合適的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵。

3.轉(zhuǎn)化下列關(guān)鍵句

（1）男生人數(shù)是全班人數(shù)的3/7。

（2）學(xué)校飼養(yǎng)小組養(yǎng)的白兔與黑兔只數(shù)的比是4︰5。

（3）學(xué)校十月份的用電量比九月份節(jié)約了10％。

（此環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生從部分與部分，部分與總體以及分?jǐn)?shù)、比、百分?jǐn)?shù)等不同的形式方面考慮，讓學(xué)生進(jìn)行了多角度思考，有效實(shí)施了轉(zhuǎn)化。）

【解讀】

本練習(xí)通過(guò)媒體“需要轉(zhuǎn)化”與“不需要轉(zhuǎn)化”的圖形及應(yīng)用題的對(duì)比，引導(dǎo)學(xué)生在比較中體悟轉(zhuǎn)化策略的應(yīng)用情境，在反思中形成自覺(jué)運(yùn)用轉(zhuǎn)化策略的意識(shí)。就轉(zhuǎn)化的思維方法而言，應(yīng)該分為“需不需要轉(zhuǎn)化”、“轉(zhuǎn)化什么”、“怎么來(lái)轉(zhuǎn)化”三個(gè)層次來(lái)考慮，就圖形的轉(zhuǎn)化求面積、周長(zhǎng)來(lái)說(shuō)，因?yàn)槠渚哂泻軓?qiáng)的直觀性，也很難歸納出一個(gè)具有典型代表意義的方法，因此，第一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)僅僅停留在“要不要轉(zhuǎn)化”上，并不需要學(xué)生解決之。而應(yīng)用題中的轉(zhuǎn)化則是比較典型的，也是學(xué)生在后續(xù)的學(xué)習(xí)中會(huì)經(jīng)常遇到的，所以在第二環(huán)節(jié)的教學(xué)中重點(diǎn)分“需不需要轉(zhuǎn)化”、“轉(zhuǎn)化什么”、“怎么來(lái)轉(zhuǎn)化”三個(gè)步驟引導(dǎo)學(xué)生掌握轉(zhuǎn)化的一般思維方法。如果說(shuō)第

一環(huán)節(jié)僅僅是轉(zhuǎn)化意識(shí)滲透的話(huà)，那么第二、三環(huán)節(jié)則是扎扎實(shí)實(shí)的能力、方法的訓(xùn)練。

●數(shù)形結(jié)合的思維方法

數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離。

——華羅庚

【片斷2】

1.媒體出題：6+7+8+9+10+11+12+13+14+15＝

師：此題你會(huì)做嗎？如何思考？

生：會(huì)，用（6+15）×10÷2=105，也就是用等差數(shù)列求和公式來(lái)求。

師：真厲害，都能用公式求和了。剛才你說(shuō)的這個(gè)公式，老師小時(shí)候也學(xué)過(guò)，但總是忘記，你們有沒(méi)有好方法幫助我記住呢？

生1：可以借助圖形來(lái)幫助理解記憶。

生2：對(duì)，我們可以把它轉(zhuǎn)化成正方形圖來(lái)求和（學(xué)生嘗試，但未成功）。

師：你們的想法很好，思路很開(kāi)闊。的確，很多計(jì)算題有時(shí)是能借助圖形來(lái)理解和解決的，但你們都想到了用“正方形”，是受第一節(jié)課內(nèi)容影響了吧?。ㄉ硎举澩?，教師同時(shí)用多媒體由最上面一層6個(gè)小圓、第二層7個(gè)小圓……依次呈現(xiàn)出了如下梯形）。

生3：我們所說(shuō)的求和公式中的“首項(xiàng)”即相當(dāng)于梯形面積公式中的“上底”……（眾生恍然大悟）

生4：今后我們?cè)僖膊粫?huì)忘記“等差數(shù)列求和公式”了，它就跟我們學(xué)過(guò)的梯形面積公式差不多。（喜形于色）

生5（搶說(shuō)）：我發(fā)現(xiàn)了，今后如果遇到不會(huì)的計(jì)算題可以想能否“轉(zhuǎn)化”成圖形來(lái)解決。當(dāng)然，不一定都是轉(zhuǎn)化成正方形，也可以轉(zhuǎn)化成梯形，也可能轉(zhuǎn)化成圓……（眾生笑）

2.媒體再現(xiàn)教材P72中的“試一試”，題目如下：

1－1/2－1/4－1/8－1/16＝

師：看了這道題，你打算怎么做？（通分）對(duì)，通分也是一種轉(zhuǎn)化的方法，把異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成同分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)。那有沒(méi)有更好的方法呢？（學(xué)生分組討論）

學(xué)生很快想到可以用圖形來(lái)幫助分析、思考，具體如下：

學(xué)生到實(shí)物投影儀上展示了上圖，并說(shuō)出了理由：大正方形就相當(dāng)于數(shù)字“1”，左半部分表示減去了1/2……（匯報(bào)后，教師又組織學(xué)生進(jìn)行了充分交流）。

師：根據(jù)同學(xué)們剛才的發(fā)現(xiàn)，你們能很快說(shuō)出下列算式的結(jié)果嗎？（多媒體出示）

1－1/2－1/4－1/8－1/16＝

1－1/2－1/4－1/8－1/16－1/32＝

1－1/2－1/4－1/8－1/16－1/32－1/64＝

……（學(xué)生很快說(shuō)出了上面算式的結(jié)果）

師：觀察這些算式與結(jié)果，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：每一個(gè)算式中的結(jié)果與最后一個(gè)減數(shù)都相同。

生2：結(jié)果相同的原因是可以把上面的每一個(gè)算式都與正方形結(jié)合起來(lái)思考，圖形中剩下的部分就是與最后一次要減的部分同樣大。

生3：上面算式的結(jié)果越來(lái)越小，好像越來(lái)越接近0了。

師：你太棒了，那老師想請(qǐng)同學(xué)們想想，像這樣減下去，結(jié)果會(huì)等于0嗎？

（教室里出現(xiàn)了學(xué)生們發(fā)自?xún)?nèi)心的小聲爭(zhēng)論，但一會(huì)兒，學(xué)生們即統(tǒng)一了意見(jiàn)：這個(gè)結(jié)果會(huì)越來(lái)越接近0，但永遠(yuǎn)也不會(huì)是0。）

師：這個(gè)有意思的現(xiàn)象很早以前就有人發(fā)現(xiàn)了。2300多年前，莊子就說(shuō)：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭?！保襟w呈現(xiàn)）你能解釋這句話(huà)嗎？

【解讀】

數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)質(zhì)，就是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，通過(guò)媒體化抽象為直觀來(lái)深化數(shù)學(xué)內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)抽象與形象的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化。“數(shù)缺少形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。”本教學(xué)設(shè)計(jì)利用媒體把枯燥的數(shù)（算式）轉(zhuǎn)化成規(guī)則的圖形，使學(xué)生在體會(huì)數(shù)學(xué)美妙一面的同時(shí)，也充分感受到把數(shù)形結(jié)合的直觀性與便捷性，有效溝通數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，凸顯數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征。作為一種策略的選擇，或者說(shuō)一種思維方法的滲透，我們關(guān)注的不僅僅是要解決某一個(gè)具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，更重要的是讓學(xué)生在這一過(guò)程中體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的多姿多彩、五彩斑斕，并能自覺(jué)運(yùn)用這種思維方法觀察、分析、解決數(shù)學(xué)內(nèi)、外的各種問(wèn)題。

●歸納的思維方法

歸納這種方法……選出一個(gè)類(lèi)似的、較易的問(wèn)題，去解決它，改造它的解法，以便它可以用作一個(gè)模式。在外人看來(lái)似乎是迂回繞圈子，但在數(shù)學(xué)上或數(shù)學(xué)以外的科學(xué)研究中是常用的。

——Ｇ.波利亞

【片斷3】

[練習(xí)題]

有4支足球隊(duì)參加比賽，比賽以單場(chǎng)淘汰制（即每場(chǎng)淘汰1支球隊(duì)）進(jìn)行。一共要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽后才能產(chǎn)生冠軍？如果是64支球隊(duì)呢？（第二問(wèn)稍后出示）

[練習(xí)過(guò)程]

1.這樣的題你能畫(huà)出示意圖嗎？（指導(dǎo)學(xué)生用樹(shù)形圖表示）

2.學(xué)生畫(huà)圖。（大部分學(xué)生應(yīng)該很容易地得出是3場(chǎng)比賽）

3.出示第二問(wèn)。如果是64支球隊(duì)呢？還想畫(huà)圖嗎？

4.學(xué)生思考后，教師引導(dǎo)：遇到這種比較難的、數(shù)字比較大的題，我們可以先找?guī)讉€(gè)數(shù)學(xué)比較小的題進(jìn)行嘗試，得到規(guī)律后再解決原來(lái)的題。

5.學(xué)生用畫(huà)樹(shù)形圖的方法，自己獨(dú)立解決8支球隊(duì)、16支球隊(duì)需要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽。

6.剛才我們分別解決了4支、8支、16支球隊(duì)比賽需要的場(chǎng)數(shù)。你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律了么？（學(xué)生說(shuō)規(guī)律：需要的場(chǎng)數(shù)比球隊(duì)數(shù)少1）

7.現(xiàn)在你知道64支球隊(duì)需要比賽多少場(chǎng)了嗎？你是怎么想的？

8.還可以怎么想呢？

引導(dǎo)（轉(zhuǎn)化思路）：每進(jìn)行一場(chǎng)比賽淘汰一支球隊(duì)，64只球隊(duì)需要淘汰掉63只球隊(duì)才能決出冠軍，所以一共需要進(jìn)行63場(chǎng)比賽。

9.小結(jié)：轉(zhuǎn)化的不僅僅是圖形、關(guān)鍵句，更重要的是對(duì)思路的轉(zhuǎn)化。

【解讀】

不完全歸納的思維方法是對(duì)若干個(gè)特殊事例的考察，從中歸納出一般性的結(jié)論的一種推理方法。為了讓學(xué)生感受這種方法，在本練習(xí)中，讓學(xué)生先從簡(jiǎn)單的做起，分別用畫(huà)圖的策略得到4支、8支、16支球隊(duì)參賽時(shí)的場(chǎng)數(shù)，再推及到64支球隊(duì)的情況。讓學(xué)生完整地經(jīng)歷由一般到特殊，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，大題小做、歸納推理的方法，不但使學(xué)生的思維層次得到一次提升，更能促進(jìn)學(xué)生從“學(xué)會(huì)”到“會(huì)學(xué)”的跨越。

總之“解決問(wèn)題的策略”不僅僅是為了解決問(wèn)題，而應(yīng)該是以問(wèn)題的解決為載體，通過(guò)媒體引領(lǐng)學(xué)生在操作中體驗(yàn)，在對(duì)比中反思，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，初步形成用數(shù)學(xué)的眼光看待問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的頭腦分析問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的方法解決問(wèn)題的能力。在教學(xué)中，我們要善于捕捉數(shù)學(xué)思維的生長(zhǎng)點(diǎn)，用數(shù)學(xué)思維撐起解決問(wèn)題的脊梁，帶領(lǐng)學(xué)生感受數(shù)學(xué)豐富的方法、深邃的思想，分享數(shù)學(xué)前行足跡中的創(chuàng)造、超越及其背后折射出的人類(lèi)智慧和人性光芒?！?/p>