任洪群

在“角的分類”一課教學(xué)中,當(dāng)我引領(lǐng)學(xué)生們發(fā)現(xiàn)“銳角都是大于0度而小于90度”時(shí),生1不由自主站起來說:“老師,我發(fā)現(xiàn)最大的銳角是89度?！?/p>

生2(馬上反駁):89.5度也比這個(gè)角要大,但它還是銳角呀。

生3:不是的,最大的銳角應(yīng)該是89.9度。

(越來越多的小手舉起來,我邊思索邊讓學(xué)生們發(fā)言)

生4:我認(rèn)為小數(shù)點(diǎn)后每增加一個(gè)9,這個(gè)銳角就大一點(diǎn)點(diǎn)了。

生5:自然數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的,小數(shù)點(diǎn)后面9的個(gè)數(shù)也可以是無限的,我認(rèn)為最大的銳角應(yīng)該是沒有吧。

生6:我認(rèn)為最大銳角好像有,又好像沒有。

生7:我感覺最大銳角肯定是有的,因?yàn)樗戎苯切∫稽c(diǎn)點(diǎn),更不可能像自然數(shù)一樣有無限大的,但我不知道它是幾度。

經(jīng)他這么一說,學(xué)生們似乎有點(diǎn)認(rèn)同他的答案,卻都把目光投向了我,希望我揭開答案。我環(huán)視了一下全班學(xué)生,看著他們期待的目光說:“剛才同學(xué)們提的問題非常有探討價(jià)值,這是許多數(shù)學(xué)家都研究過的問題,許多同學(xué)的想法和數(shù)學(xué)家們的想法非常接近。當(dāng)小數(shù)點(diǎn)后的‘9越多這個(gè)銳角就越大,當(dāng)這個(gè)‘9是無限多時(shí),它就越接近直角了,所以我們可以把它近似地看成是直角但又不是直角。”

下課后,我腦中一直思索著課堂上的爭論。這“最大的銳角是多少”的問題真讓我在課堂上有點(diǎn)尷尬,我知道這里涉及的極限思想是無法讓小學(xué)生接受的,他們需要的是有沒有這個(gè)最大的銳角,如果有是多少度這樣的答案。帶著這樣的問題,我開始了網(wǎng)上搜索、書籍查詢、同伴交流,好像這個(gè)問題自古以來就只在我這個(gè)班的學(xué)生提出過一樣,難以找到令我興奮的答案。于是我開始了各種假設(shè)、論證,慢慢地也有如下一些思考,現(xiàn)借貴刊一角和編輯及廣大同行們交流。

1.我認(rèn)為最大的銳角應(yīng)該就是“90度”,同時(shí)“90度”也是最小的鈍角。證明如下:

首先假設(shè)最大銳角的度數(shù)是X=89.9999……①,

將等號兩邊同時(shí)乘10得:10X=899.9999……②;

再將②式減去①式,得:9X=810,X=90,

所以最大的銳角89.9999……度正好是90度。

同理,假設(shè)最小的鈍角是 y=90.0000…01 ……①,

將等號兩邊同時(shí)乘10得: 10y=900.0000…01

……②;

再將②式減去①式,則得: 9y=810,y=90,

所以最小的鈍角90.0000…01度正好是90度。

由此可得:“90度”既是最大的銳角,也是最小的鈍角。

2.我認(rèn)為“90度”是無限多個(gè)角度中的一個(gè),它如30度、150度、7.5度等一樣,都可以在數(shù)軸上找到相應(yīng)的點(diǎn)。在《幾何原本》中有這樣一條定義:“當(dāng)一條直線和另一條橫的直線交成的鄰角彼此相等時(shí),這些角中的每一個(gè)被叫做直角,而且稱這一條直線垂直于另一條直線,一個(gè)直角等于90度?！庇纱宋覀兛梢钥闯?給90度角命名為直角有它的特殊性,如果兩條直線夾角稍微偏離一點(diǎn)后交成的鄰角度數(shù)就不會(huì)相等了,就出現(xiàn)了銳角和鈍角,所以我們應(yīng)該把“90度”看成是銳角和鈍角的臨界點(diǎn),具有最大的銳角和最小的鈍角的雙重意義。這類似于夜里鐘面上12時(shí)所表示的既是今天的結(jié)束,又是明天的開始的雙重意義。

3.同理,我們可以推算最大的鈍角就是平角180度,“180度”是優(yōu)角和劣角的臨界點(diǎn)。