李洪巖

（大連市第八中學，遼寧 大連 116021）

立足課堂教學提高學生的數(shù)學能力
——以柯西不等式一課教學為例

李洪巖＊

（大連市第八中學，遼寧 大連 116021）

以柯西不等式為例，探討了立足課堂教學、提高高中學生的數(shù)學能力的策略。

高中數(shù)學；柯西不等式；課堂教學；數(shù)學能力

在目前大力提倡素質(zhì)教育、創(chuàng)新教育的形勢下，高考的考題也發(fā)生了很大的變化，從“知識立意”到“問題立意”，再發(fā)展到“能力立意”，一味的題海戰(zhàn)、滿堂灌已不適應時代的要求。只有立足課堂，實施有效教學，才能收到事半功倍的教學效果。如何才能做到立足課堂教學，提高學生的數(shù)學能力呢？

教師在教學中首先要根據(jù)教學條件和學生的學習實際確定教學內(nèi)容范圍和難度要求，教學目標設置要科學、合理，有針對性；要為學生創(chuàng)設寬松和諧的學習環(huán)境，使學生在學習和探究過程中不但學到知識，掌握技能，還能夠得到豐富的情感體驗。要在教學中注意滲透數(shù)學思想方法，教會學生從數(shù)學思想方法的高度去分析數(shù)學問題。要創(chuàng)設問題情境，培養(yǎng)學生的問題意識和質(zhì)疑精神。要以學生為中心，注重學習過程中學生的感受和體驗以及思維方法的學習和思維水平的提高，使其在主動積極地探索活動中實現(xiàn)創(chuàng)新和突破，提高悟性和數(shù)學素養(yǎng)。關注學生學習的結(jié)果，更要關注學生學習的過程；關注學生數(shù)學學習的水平，更要關注學生在數(shù)學活動中所表現(xiàn)出來的情感與態(tài)度。

如何落實上述理念，有效進行高中數(shù)學教學，筆者以柯西不等式一課為例進行探討。

首先，創(chuàng)設問題情境。

師：什么是數(shù)學的心臟？什么又是數(shù)學的靈魂？

一學生回答：數(shù)學問題是數(shù)學的心臟，而思想方法是數(shù)學的靈魂。

師：回答的很好。前天上競賽課時有位同學問了老師一個數(shù)學問題，請這位同學把問題寫在黑板上。

學生展示問題。

讓學生思考片刻。

師：要想解決這個問題我們的知識儲備還不夠，學完本節(jié)課同學就能夠解答。我們先解決一個簡單一點的問題。

其次，進行問題探究。

不久，就有學生躍躍欲試了，但大部分學生還在緊張地運算。稍等片刻，請學生站起來講解。

學生利用解析法證明了這個不等式。

師：很好，利用分析法很容易給出證明，這是證明不等式的基本方法之一。

新Bobath建立在傳統(tǒng)Bobath基礎之上，在理論方面有運動控制理論、可塑性理論、運動再學習理論，身體圖式理論，生物力學、運動發(fā)育等為依據(jù)。隨著康復治療不斷發(fā)展完善中，新Bobath技術發(fā)展更新為影響張力性姿勢、誘導姿勢模式及活動性負重、改善核心穩(wěn)定、近端穩(wěn)定性、選擇性運動、觸變性、關健區(qū)及任務解決型方法等治療技術,體現(xiàn)了對運動控制障礙的基本技術不同。

證明法1（分析法）：

師：證明不等式還有什么基本方法？

學生想到了綜合法、比較法和向量法。

證明法2（綜合法）：

師：好樣的。簡潔、明了，很好。方法4利用向量構(gòu)造幾何圖形證明更簡潔。同學們再思考一下，除了構(gòu)造幾何圖形還可以利用哪些知識證明？

證明法5（構(gòu)造函數(shù)法）：

師：好。我們剛才證明的不等式就是很有名的柯西不等式（二維形式）。（寫板書）

再次，拓展思維。

師：我們學習數(shù)學切忌就題解題，要重視一個概念、一個知識、一個性質(zhì)、一類題目的多變、轉(zhuǎn)換、創(chuàng)新，這樣才能使思維活動不局限于小范圍內(nèi)，不受思維定勢束縛。哪位同學能將上述命題加以推廣，得到一個更一般的命題，而使已知預備命題是推廣命題的一個特例？

經(jīng)過片刻思考，學生舉手發(fā)言。

師：這是柯西不等式幾維形式？

學生異口同聲回答三維形式。

師：誰會證明？

師：很好。大家都理解了嗎？（看到學生都點頭，稍頓。）構(gòu)造幾何圖形證明是明智選擇，很簡潔。還可以用構(gòu)造二次函數(shù)法證。（當然預備命題的證明其他方法都可以，但不如構(gòu)造法。）

學生：老師，我的問題是不是現(xiàn)在可以解決了？

師：對。接下來我們一起來解決這個問題。

該同學的解答既簡潔又準確，得到同學們的充分肯定。

最后，反思構(gòu)建。

隨著柯西不等式二維三維形式的解決與應用，特別是上一個問題的解決，極大地調(diào)動了學生的學習積極性。

師：柯西不等式還有更一般性的推廣嗎？

生：定理（一般形式的柯西不等式）

∴ 由（1）（2）得，對一切n∈N＋不等式都成立。

生：可用構(gòu)造法證。

一般形式的柯西不等式應用同學們課后研究，下節(jié)課我們一起交流。

柯西不等式案例教學是逐層遞進的，每一階段的實施都是另一階段實施的基礎，而每一階段又都有各自的具體目標。通過創(chuàng)設問題、授新設疑、質(zhì)疑問題、論爭辯難等手段，以授人以“漁”、反思建構(gòu)、競爭合作為具體目標，步步為營，逐層推進，最終實現(xiàn)學生數(shù)學能力的快速提高。本課教師立足于所創(chuàng)設的情境，通過學生自主探索、合作交流，親身經(jīng)歷提出問題、解決問題、應用反思的過程，學生成為柯西不等式的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的苦與樂，較好地落實了知識目標、能力目標、情感目標，為今后的定理教學提供了一些借鑒，奠定了一定的基礎。創(chuàng)設數(shù)學情境是教學的基礎環(huán)節(jié)，教師要對教學內(nèi)容、教學目標和學生的身心特點、知識水平等因素進行綜合考慮，對可用的情境進行比較，選擇具有較好的教育功能的情境。從應用需要出發(fā)，創(chuàng)設認知沖突型數(shù)學情境是創(chuàng)設情境的常用方法之一?？挛鞑坏仁骄哂袕V泛的應用價值，故本課從學生提出的問題出發(fā)創(chuàng)設了教學中所使用的數(shù)學情境。該情境源于數(shù)學學習生活。學生身邊的問題作為素材改造加工成情境，是創(chuàng)設情境的一條有效途徑。只要善于觀察和研究，便不難發(fā)現(xiàn)生活中有不少可用的素材。

柯西不等式案例教學主張以問題為主線組織教學活動，以學生作為提出問題的主體，引導學生提出具有一定水平、具有較高層次的問題。教學實踐表明，學生能否提出數(shù)學問題，不僅受其數(shù)學基礎、生活經(jīng)歷、學習方式等自身因素的影響，還受其所處的環(huán)境、教師提問的態(tài)度等外在因素的制約。因此，教師不僅要注重創(chuàng)設適宜的數(shù)學情境，還要使“問題”具有誘導性、啟發(fā)性和探索性，而且要真正轉(zhuǎn)變對學生提問的態(tài)度，提高引導水平。這就需要教師一方面鼓勵學生大膽提出問題，另一方面要妥善、恰當處理學生提出的問題。要把“質(zhì)疑提問”，培養(yǎng)學生的數(shù)學問題意識、提高學生提出數(shù)學問題的能力作為教與學活動的起點與歸宿。

G633.6

A

1008-388X（2011）04-0035-04

2011-10-09

李洪巖（1963-），男，遼寧大連人，中學高級教師，特級教師。

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