付宇富

我們?cè)诮鈹?shù)學(xué)題時(shí)經(jīng)常用到“充要條件”（即等價(jià)轉(zhuǎn)化）與“充分條件”（即由條件得結(jié)論），但卻很少注重“必要條件”的應(yīng)用，本文旨在通過(guò)幾例說(shuō)明“必要條件”在解題中的應(yīng)用. 一、先求出使得命題成立的“必要條件”，再由題設(shè)進(jìn)一步求出使得命題成立的“充要條件”，從而解決問(wèn)題

例１ 已知ｆ（ｘ） ＝ －■x2 + x，是否存在實(shí)數(shù)ｐ，ｑ，使得ｆ（ｘ）的定義域?yàn)椋郏?，ｑ］，值域?yàn)椋?p，2q］？若存在，求出ｐ，ｑ的值.若不存在，說(shuō)明理由.

分析 按常規(guī)解法，要分如下四種情況進(jìn)行討論：①區(qū)間［ｐ，ｑ］在對(duì)稱(chēng)軸ｘ ＝ １的左邊；②區(qū)間在對(duì)稱(chēng)軸［ｐ，ｑ］的對(duì)稱(chēng)軸ｘ ＝ １的右邊；③對(duì)稱(chēng)軸ｘ ＝ １在區(qū)間［ｐ，ｑ］內(nèi)，而且１ － ｐ < ｑ － １；④對(duì)稱(chēng)軸ｘ ＝ １在區(qū)間［ｐ，ｑ］內(nèi)，而且１ － ｐ ＞ ｑ － １． 此解法繁索，詳解略．

解 下面先求出使命題成立的必要條件：因?yàn)樵趯?shí)數(shù)范圍內(nèi)，ｆ（ｘ） ＝ －■x2 + x的最大值為■，由題意，2q ≤ ■，∴ q ≤ ■（此為命題成立的必要條件），

又∵ ｆ（ｘ） ＝ －■x2 + x的圖像的對(duì)稱(chēng)軸為x = 1，

∴ q ≤ ■ < 1.

∵ ｆ（ｘ） ＝ －■x2 + x在區(qū)間［ｐ，ｑ］上遞增，

∴ ｆ（ｐ） ＝ ２ｐ，ｆ（ｑ） ＝ ２ｑ，即－■p2 + p = 2p，－■q2 + q = 2q.

∵ p < ｑ，∴解得ｐ ＝ －２，ｑ ＝ ０（此為充要條件），

∴存在ｐ ＝ －２，q = 0滿(mǎn)足題意．

評(píng)注 本題巧解的關(guān)鍵是先求出使命題成立的必要條件q ≤ ■，從而避免了繁瑣的討論.

例２ 解不等式：■ < ■.

解析 乍一看來(lái)，解這個(gè)不等式似乎很難下手，但若先求出使得這個(gè)不等式成立的“必要條件”，即使得不等式中的式子都有意義的x的取值范圍：x - 1 > 0且x - 1 ≠ 1，■ > 0且■ ≠ 1， 即x > 1且x ≠ 2（此為不等式成立的必要條件），問(wèn)題就好解決了. 以下分兩種情況討論：

①當(dāng)１ ＜ ｘ ＜ ２時(shí)，ｌｏｇ２（ｘ － １） ＜ ０，log2■ ＞ ０，

∴ 原不等式成立．

②當(dāng)ｘ ＞ ２時(shí)，ｌｏｇ２（ｘ － １） > 0，log2■ > 0，∴原不等式?圳log2■< loｇ２（ｘ － １）?圳 ０ ＜ ■ ＜ ｘ － １ ?圳 ｘ２ － ３ｘ ＞ ０ ?圳 ｘ ＞ ３或ｘ ＜ ０，∴ x > 3.

綜 上，原不等式的解集為｛x|1 < x < 2或x > 3｝（充要條件）.

二、直接應(yīng)用“必要條件”解決問(wèn)題

例３ 函數(shù)ｆ（ｘ） = ■是 （ ）.

Ａ． 偶函數(shù) Ｂ． 奇函數(shù)

Ｃ． 非奇非偶函數(shù)Ｄ． 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

解析 首先考慮函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，而原函數(shù)的定義域須滿(mǎn)足cos x + sin x + 1 ≠ 0，解得定義域?yàn)椋鹸|x ≠ 2kπ + ■且x ≠ 2kπ +π，k∈Z｝，而此定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴ 選C.

例４ 設(shè)θ∈（0，■），則二次曲線(xiàn)x2cos θ - y2 tan θ = 1的離心率的取值范圍是 （ ）.

Ａ． （0，■） Ｂ． （■，■）

Ｃ． （■，■）Ｄ． （■，+∞）

解析 ∵此二次曲線(xiàn)為雙曲線(xiàn)，其離心率的范圍須先滿(mǎn)足必要條件：離心率e > 1，結(jié)合被選答案的范圍以及數(shù)學(xué)選擇題只有唯一答案，應(yīng)選Ｄ.