黃欣
【摘要】本文以一題四變的形式對形如y=ax+b±cx+d求值域的方法進(jìn)行分析.求值域方法多種多樣,對上述類型也不例外,但對于同一題目而言難易程度很不一樣,比如用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)值域理論上是可以的,但有時帶來不必要的繁瑣.本文基于既容易且思路又比較好的觀點(diǎn)出發(fā)給出相應(yīng)的方法策略.
【關(guān)鍵詞】無理函數(shù);觀察法;換元法;構(gòu)造幾何法;導(dǎo)數(shù)法
一、一題四變
求下列函數(shù)值域:
(1)y=x-4-15-3x;(2)y=x-4+3x+15;
(3)y=x-4+15-3x;(4)y=x-4-3x+15.
二、分類解法
(一)觀察法(單調(diào)性)
如(1)y=x-4-15-3x.
解顯然f(x)=x-4和g(x)=-15-3x在各自定義域上是單調(diào)增的,
∴y在4≤x≤5上是增的,∴y∈[-3,1].
同理,對于(2)y=x-4+3x+15,易得y∈[0,+∞).
因此,對于求y=ax+b±cx+d值域,首先就是觀察是否有單調(diào)性,若然就按(1)或(2)解之,快捷有效.
小結(jié)(1)和(2)類型是一次項(xiàng)(x)的系數(shù)同號兩根式相加或系數(shù)異號兩根式相減型.需要注意的是有些稍作變形就可看出單調(diào)性,如:
y=x+2-x+1分子有理化,
得y=1x+2+x+1.
函數(shù)在[-1,+∞)是遞減的,∴x=-1時,ymax=1.
又y>0,
∴y∈(0,1].上例屬于(4)代表的類型,但這不是通法對于(4)式代表的類型而言.
對于(4)式y(tǒng)=x-4-3x+15我們用如下方法:
(二)導(dǎo)數(shù)法
解y′=12x-4-323x+15
=3x+15-3x-42x-4·3x+15(x≥4).
令y′>0,得x<516.
令y′<0,得x>516.
∴當(dāng)x∈4,516遞增,x∈516,+∞遞減.
∴當(dāng)x=516,ymax=-32,∴y∈[-∞,-32].
小結(jié)(4)式類型是一次項(xiàng)(x)的系數(shù)同號兩根式相減型.正如題頭所說,不是每個題目都適合導(dǎo)數(shù)法或者說導(dǎo)數(shù)法用得很輕松,但就(4)式類型而言是相對較好的方法,理論及依據(jù)可靠,解法嚴(yán)密,計算起來也不繁瑣.如果用換元法,一般是設(shè)x-4=a,x+5=b,則b2-a2=9,于是設(shè)b=3secθ,a=3tanθθ∈0,π2.但超過了新課標(biāo)(三角函數(shù)由6個減為3個)的要求,而且即使運(yùn)算也是難度非常大的.
三、結(jié)語
對于求y=ax+b±cx+d值域方法的考慮順序,首先觀察是否有單調(diào)性,再考慮是否用換元法,最后考慮用導(dǎo)數(shù)法,按這種方法求解函數(shù)y=ax+b±cx+d值域是行之有效快捷準(zhǔn)確的.