焦曉東

【摘要】文章提供了對(duì)第18題的不同解法，通過(guò)對(duì)解法的比較，論述了幾何與代數(shù)解法的優(yōu)劣，肯定了該題對(duì)高中立體幾何教學(xué)的導(dǎo)向，提出了對(duì)教材的編寫(xiě)思考以及對(duì)該題的改編思考.

【關(guān)鍵詞】廣東高考；文科數(shù)學(xué)；解法；思考

一、問(wèn)題的提出

圖1

2011年廣東高考文科數(shù)學(xué)試卷第18題原題：如圖1所示的幾何體是將高為2，底面半徑為1的直圓柱沿過(guò)軸的平面切開(kāi)后，將其中一半沿切面向右水平平移后得到的.A，A′，B，B′分別為CD，C′D′，DE，D′E′的中點(diǎn)，O1，O′1，O2，O′2分別為CD，C′D′，DE，D′E′的中點(diǎn).

（1）證明：O′1，A′，O2，B四點(diǎn)共面;

（2）設(shè)G為AA′中點(diǎn)，延長(zhǎng)A′O′1到H′，使得O′1H′1=A′O′1，證明：BO′2⊥平面H′B′G.

二、解法分析

解決幾何問(wèn)題，一般有幾何解法與代數(shù)解法兩種方法.要證O′1，A′，O2，B四點(diǎn)共面，利用幾何解法應(yīng)證：①O′1A′∥O2B或②A′BO′1O2相交；利用代數(shù)解法應(yīng)證：O′1A′∥O2B.要證BO′2⊥平面H′B′G，幾何解法應(yīng)證明直線BO2與平面H′B′G內(nèi)的兩條相交直線垂直；利用代數(shù)解法應(yīng)證：BO2·H′B=0，BO2·H′B′=0.具體解答如下：

引理在凸四邊形中，如果這個(gè)四邊形的面積等于兩條對(duì)角線積的一半，則對(duì)角線相互垂直.

圖8

已知：S四邊形ABCD=12·AC·BD，求證：AC⊥BD.

證明如圖8，假設(shè)AB與CD不垂直，則過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足為E，F(xiàn)，則

S四邊形ABCD=S△ABD+S△BCD

三、相關(guān)的思考

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代數(shù)解法思維容量少，運(yùn)算量也不大.幾何解法要添加一定的輔助線，還要比較多的推理論證.因此，代數(shù)解法顯然優(yōu)于幾何解法.

那么我們的思考是：是否可以互相取代呢？如果可以互相取代，從減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)這一點(diǎn)說(shuō)就完全可是二選一了.大家知道，代數(shù)研究的對(duì)象，要遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)幾何研究的對(duì)象，故是否就可以只學(xué)代數(shù)而不學(xué)幾何呢？答案顯然是否定的，幾何在培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力方面有其不可替代的作用，所以去掉幾何顯然不可取.但隨著科技的進(jìn)步，特別是三維動(dòng)畫(huà)技術(shù)的運(yùn)用，對(duì)立體幾何的要求有所降低，故在新課標(biāo)中降低幾何的要求顯然是符合實(shí)際的，該題的導(dǎo)向功能也是良好的.

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新課程教材中文科教材為什么沒(méi)有編寫(xiě)代數(shù)解法？而實(shí)際上對(duì)文科學(xué)生的空間想象能力的要求要低于理科學(xué)生.怎么樣去體現(xiàn)這個(gè)差異呢？筆者認(rèn)為運(yùn)用代數(shù)方法解決立體幾何問(wèn)題是最好的解決方案.遺憾的是文科教材沒(méi)有涉及代數(shù)解法，反而理科教材有更多的要求，這是為什么？以后再編寫(xiě)時(shí)是否可以適當(dāng)增加代數(shù)解法呢？

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該題涉及字母多，閱讀量大，學(xué)生筆誤很多，是否可以向較易與較難兩個(gè)方面改進(jìn)呢？

（1）減小難度的改編

若改為：將圓柱體改為長(zhǎng)方體進(jìn)行切割平移，而其他條件與結(jié)論不變，顯然難度降低不少.

（2）增加難度的改編

圖11

若改為：如圖11，P1為O1H′1中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P1作垂直于O′1A′的平面切割圓柱后平移得到.①證明：O′1，A′，B，P2四點(diǎn)共面；②G在O1O′1上，且O′1G=14O1O′1，求證：BP′2⊥平面H′B′G.

若再改為：P1為線段O1H′1上的點(diǎn)，且H′P1=mnH′A′，過(guò)點(diǎn)P1作垂直于O′1A′的平面切割圓柱后平移得到.①證明：O′1，A′，B，P2四點(diǎn)共面；②若O′1G=mnO′1O1（m,n∈N+，且m

上述兩種改編難度將會(huì)增加不少.

總之，本小題主要考查空間想象、推理論證和抽象概括能力，以及化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.考查線線關(guān)系和線面關(guān)系，線線共面的判定定理，四點(diǎn)共面的判定，線面垂直的判定和性質(zhì)，圓柱體的性質(zhì)和平移等基礎(chǔ)知識(shí).對(duì)中學(xué)立體幾何教學(xué)有良好的導(dǎo)向作用.但本題給學(xué)生的感覺(jué)是復(fù)雜的：點(diǎn)多，又要切割圓柱體，再平移，所以會(huì)給學(xué)生導(dǎo)向很難；此題不好表達(dá)，有些結(jié)論很簡(jiǎn)單，具體因?yàn)槭裁?，說(shuō)不好，故而導(dǎo)致選拔的功能有所減弱.因此在以后的選拔考試中如何命出更好的具有良好區(qū)分度的題又是一個(gè)值得研究的課題.

【參考文獻(xiàn)】

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