祁明衡

圓錐曲線部分歷來是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，也是學(xué)生心中的難點(diǎn)，很多學(xué)生對(duì)圓錐曲線都有畏懼心理.從高考成績(jī)分析上來看，圓錐曲線也是高考得分較低的部分；從考綱上來看，一般會(huì)“考查學(xué)生對(duì)解析幾何基本概念的掌握情況，考查學(xué)生對(duì)解析幾何基本方法的一般應(yīng)用情況，適當(dāng)?shù)乜疾閷W(xué)生對(duì)幾何學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力，重視對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的滲透”.

江浙兩省自古就是魚米之鄉(xiāng)，物產(chǎn)豐富，同時(shí)又都是文化大省，在高考試題的編制上也體現(xiàn)了它們的文化特點(diǎn)：靈動(dòng)雋永，頗有新意.現(xiàn)在讓我們以這兩個(gè)省2012年高考數(shù)學(xué)圓錐曲線題為例，來分析這兩省的試題，感受解析幾何試題的變化趨勢(shì)，發(fā)現(xiàn)異曲同工之妙.

例 （2012年江蘇卷理19）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）.已知（1，e）和e，32都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且直線AF1與直線BF2平行，AF2與BF1交于點(diǎn)P.若AF1-BF2=62，求直線AF1的斜

率.

解析 （1）考查對(duì)橢圓的基本知識(shí)、性質(zhì)的掌握，解答略.橢圓的方程為x22+y2=1.

（2）一般思路：求AF1，BF2的方程代入橢圓方程消去x或y由AF1-BF2=62，

求出斜率k.

由（1）得F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），又∵AF1∥BF2，但考生若是受到思維定式的影響，不加分析便設(shè)出直線AF1、BF2的方程y=k（x+1），y=k（x-1），并列出方程組

x212+y21=1，①y1=k（x1+1）.②

但是，此時(shí)若學(xué)生沒有考慮是消去x保留y合適，還是消去y保留x合適，而圖一時(shí)之方便直接將②式代入①式消去y1，得出x1=-2k2±2k2+22k2+1.但是，此處卻不能簡(jiǎn)單的得出x1=-2k2+2k2+22k2+1或x1=-2k2-2k2+22k2+1，因?yàn)檫@時(shí)直線AF1與橢圓左半軸有兩個(gè)交點(diǎn)，需要討論保留哪一個(gè)根，同理對(duì)x2也是如此.那么由AF1-BF2=1+k2·x1+1-1+k2x2-1，由于x1，x2無法確定，則去絕對(duì)值符號(hào)需要討論，至此，這道題就陷入了泥潭中，如不及時(shí)調(diào)整解題策略很可能導(dǎo)致解題的失敗.

但是，若考生能由圖觀察到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)均在x軸上方，得出y1>0，y2>0，選擇消去x求y，我們可以在開始就從實(shí)際出發(fā)，打破常規(guī)，設(shè)直線AF1，BF2的直線方程為x+1=my，x-1=my，則在代入消x的時(shí)候降低計(jì)算量.

由x212+y21=1，my1=x1+1輞1=m+2m2+2m2+2.

AF1=x1+12+y1-02=my12+y21=2m2+1+mm2+1m2+2.③

同理，BF2=2m2+1-mm2+1m2+2.④

③④由得AF1-BF2=2mm2+1m2+2=62，得m2=2.

∵注意到m>0，∴m=2.

∴直線AF1的斜率為1m=22.由此可見整個(gè)問題解決起來頗為方便、順心.

這是一道直線與圓錐曲線的綜合問題，主要考查橢圓的定義及性質(zhì)、直線方程等基礎(chǔ)知識(shí).這道題比往年的解析幾何題難度要高，注重對(duì)題目的細(xì)節(jié)處理；不僅在題意分析或者條件轉(zhuǎn)化中，而且在運(yùn)算過程中都存在不小的困難；另外試題對(duì)于數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用要求較高.

命題趨勢(shì)及解題策略

（1）這兩道高考題都重視對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的考查，強(qiáng)調(diào)對(duì)解析幾何通性通法的掌握，突出數(shù)學(xué)思想與方法的考查，著力考查分析問題的能力，并且解題方法靈活多變.命題趨勢(shì)由“知識(shí)立意”轉(zhuǎn)向以“能力立意”為主.

（2）在設(shè)直線方程時(shí)不再是簡(jiǎn)單固定模式的y=k（x+b），需要對(duì)問題進(jìn)行具體分析，弄通情境，注重對(duì)細(xì)節(jié)的處理，以減少在下面做題中遇到的阻力，避免因?yàn)檫^于煩瑣的計(jì)算而導(dǎo)致解題失敗.

（3）要對(duì)問題的情境有一個(gè)整體的把握，從全局去考慮問題，全面、聯(lián)系地分析問題中的各個(gè)條件，弄清它們之間的幾何關(guān)系，用盡量簡(jiǎn)潔的方法表達(dá)出來；另外，解題時(shí)要對(duì)思維進(jìn)行及時(shí)監(jiān)控，避免陷入思維定式，在有可能解不下去的情況下及時(shí)進(jìn)行調(diào)整.