葉利娟

【摘要】帕斯卡分布是概率統(tǒng)計(jì)中常見的典型分布之一，由其分布列特性可用多種方法計(jì)算其期望和方差，而每種方法在現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)中都有不同作用.本文對(duì)這幾種作用分而論之.

【關(guān)鍵詞】帕斯卡（Pascal）分布；課程銜接；先修課程；隨機(jī)變量；數(shù)學(xué)期望；方差；幾何分布

【基金項(xiàng)目】國家自然科學(xué)基金（10961020）

【中圖分類號(hào)】G420

【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

引 言

在高等教育的數(shù)學(xué)教學(xué)中，尤其是高等數(shù)學(xué)的后續(xù)課程中，經(jīng)常有這樣的問題，當(dāng)教學(xué)中用到高等數(shù)學(xué)或線性代數(shù)的知識(shí)時(shí)很多同學(xué)不知其所以然，甚至是沒有任何印象；另一方面，很多學(xué)生覺得學(xué)數(shù)學(xué)沒有用，沒有興趣學(xué)，對(duì)課程間的銜接關(guān)系認(rèn)識(shí)也十分淺.對(duì)于這一普遍問題，我認(rèn)為應(yīng)當(dāng)在高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)的后續(xù)數(shù)學(xué)類課程中適當(dāng)加強(qiáng)加深學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的理解和應(yīng)用，這樣能使其回憶起和深刻理解這一知識(shí)點(diǎn)，并了解它的應(yīng)用.盡可能多地進(jìn)行這種展示，會(huì)使學(xué)生意識(shí)到不同數(shù)學(xué)課程之間的緊密銜接關(guān)系.在我所講授的概率統(tǒng)計(jì)課程中就存在這些問題，本文以帕斯卡（Pascal）分布數(shù)學(xué)期望及方差求法為例，對(duì)解決上述問題做一點(diǎn)探究.

一、內(nèi)容設(shè)計(jì)

帕斯卡（Pascal）分布是概率論中常見的典型分布，大部分概率統(tǒng)計(jì)教材中都會(huì)提到這一分布，它描述的是：設(shè)事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p，進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，直到事件A發(fā)生r次為止.隨機(jī)變量ξ表示需要進(jìn)行的試驗(yàn)總次數(shù)，其分布列為P（ξ=k）=Cr-1k-1prqk-r，k=r，r+1，…，其中0

方法一 本部分用求離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的最基本也是最常用的方法求帕斯卡分布的數(shù)學(xué)期望和方差.由帕斯卡分布的分布列和數(shù)學(xué)期望定義可知其數(shù)學(xué)期望可表示為

E（ξ）=∑+∞k=rkCr-1k-1prqk-r=∑+∞k=rk（k-1）?。╮-1）?。╧-r）！prqk-r

=r∑+∞k=rk！r?。╧-r）！prqk-r=rp∑+∞k=rCrkpr+1qk-r.В1）

令l=k+1，上式可轉(zhuǎn)化為

rp∑+∞l=r+1Crl-1pr+1ql-1-r.

上式中的和仍是帕斯卡分布列的和，由分布列的規(guī)范性可知上式值為rp，即E（ξ）=rp.

由公式D（ξ）=E（ξ2）-E（ξ）2求方差，首先

E（ξ2）=∑+∞k=rk2Cr-1k-1prqk-r=∑+∞k=r[（k+1）-1]kCr-1k-1prqk-r=r∑+∞k=r（k+1）k（k-1）?。╮-1）?。╧-r）！prqk-r-∑+∞k=rkCr-1k-1prqk-r

=r∑+∞k=r（k+1）k！r！（k-r）！prqk-r-E（ξ）

=rp∑+∞k=r（k+1）Crkpr+1qk-r-rpl=k+1rp∑+∞l=r+1lCrl-1pr+1ql-1-r-rp=rp∑+∞l=r+1lCrl-1pr+1ql-1-r-rp=rpr+1p-rp.В2）

因此

D（ξ）=rpr+1p-rp-rp2=rqp2.

高等教育越來越普及，隨之而來的是學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)遠(yuǎn)不如從前，尤其是民族類院校的學(xué)生.我們?cè)诮虒W(xué)過程中需要解釋很多中學(xué)的知識(shí)點(diǎn)，但是學(xué)生的運(yùn)算技巧及耐心程度仍然得不到有效訓(xùn)練和提高，而這種方法需要學(xué)生掌握一定技巧，并且運(yùn)算較為繁瑣，對(duì)有興趣的學(xué)生可以鼓勵(lì)他們嘗試這種方法.

方法二 利用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)求期望和方差.

引理 當(dāng)|x|<1時(shí)，等式1（1-x）m+1=∑+∞k=mCmkxk-m成立，其中m為非負(fù)整數(shù).

證明 利用冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)的性質(zhì)，對(duì)函數(shù)11-x及其冪級(jí)數(shù)∑+∞k=0xk逐項(xiàng)求m階導(dǎo)數(shù)，有

m?。?-x）m+1=∑+∞k=mk（k-1）·…·（k-m+1）xk-m=m！∑+∞k=mCmkxk-m.

兩邊同除以m！，即得1（1-x）m+1=∑+∞k=mCmkxk-m.еけ.

由方法一中的（1）式，數(shù)學(xué)期望可表示為

E（ξ）=r∑+∞k=rk！r?。╧-r）！prqk-r=rpr∑+∞k=rCrkqk-r.

根據(jù)引理，令x=q，m=r，有∑+∞k=rCrkqk-r=1（1-q）r+1=1pr+1，代入上式，得

E（ξ）=rpr1pr+1=rp.

由方法一中的（2）式

E（ξ2）=r∑+∞k=r（k+1）k！r?。╧-r）！prqk-r-E（ξ）=r（r+1）pr∑+∞k=r（k+1）?。╮+1）！（k-r）！qk-r-E（ξ）=r（r+1）pr∑+∞k=rCr+1k+1qk-r-E（ξ）.

與求數(shù)學(xué)期望類似，令x=q，m=r+1，把∑+∞k=rCr+1k+1qk-r=1（1-q）r+1+1=1pr+2代入上式，

E（ξ2）=r（r+1）pr1pr+2-E（ξ）=r（r+1）p2-rp.

同方法一即可求出方差.

在概率論的教學(xué)中，我比較明顯地意識(shí)到雖然作為高等數(shù)學(xué)的后續(xù)課程，但用到的高等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)還是比較有限，尤其是稍深的知識(shí)點(diǎn)，導(dǎo)致高等數(shù)學(xué)與概率統(tǒng)計(jì)聯(lián)系不夠緊密.學(xué)生對(duì)于無窮級(jí)數(shù)這部分內(nèi)容總是較為陌生，方法二用到收斂級(jí)數(shù)及其和函數(shù)性質(zhì)，一方面可以幫助學(xué)生回憶級(jí)數(shù)這一部分內(nèi)容，另一方面也使學(xué)生學(xué)一點(diǎn)收斂級(jí)數(shù)的應(yīng)用.

方法三 將帕斯卡分布分解為若干幾何分布之和.

以隨機(jī)變量ξi表示事件A從第i-1次發(fā)生后算起到第i次發(fā)生所需進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)，i=1，2，…，r，則ξ=ξ1+ξ2+…+ξr.易知ξi都服從參數(shù)為p的幾何分布，所以E（ξi）=1p，D（ξi）=qp2，i=1，2，…r，從而E（ξ）=E（ξ1）+E（ξ2）+…+E（ξr）=rp，D（ξ）=D（ξ1）+D（ξ2）+…+D（ξr）=rqp2.

方法三利用數(shù)學(xué)期望及方差性質(zhì)：隨機(jī)變量線性函數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于相應(yīng)隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的線性函數(shù)，獨(dú)立隨機(jī)變量和的方差等于各個(gè)隨機(jī)變量方差的和，把隨機(jī)變量分解為若干幾何分布隨機(jī)變量的和，根據(jù)幾何分布的數(shù)學(xué)期望和方差計(jì)算帕斯卡分布的數(shù)學(xué)期望和方差.從以上計(jì)算過程可以看出這種方法邏輯性強(qiáng)，思路清晰，解題過程簡(jiǎn)潔明了，說明了數(shù)學(xué)期望和方差的相關(guān)性質(zhì)在解決問題中的簡(jiǎn)化作用.

二、優(yōu)點(diǎn)分析

大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，有類似作用的實(shí)例、問題有很多，我們可以適當(dāng)選取部分展示給學(xué)生.在展示過程中，我通常采取分組的方式，比如本例，把學(xué)生分為三組，一組學(xué)生用事先規(guī)定的方法解題，每組派代表在黑板上解題，允許本組其他學(xué)生做補(bǔ)充.首先，這種教學(xué)方式促進(jìn)了本課程與先修課程的銜接，使學(xué)生穩(wěn)步過渡.概率統(tǒng)計(jì)的先修課程有初等數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)等，通過這種方式有效地促進(jìn)了與先修課程的銜接，使學(xué)生切實(shí)把先修課程中相應(yīng)知識(shí)熟練牢固掌握，并順利過渡到概率統(tǒng)計(jì)本部分的學(xué)習(xí)中.其次，促進(jìn)探究教學(xué)的實(shí)施，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和積極性.在給出這些方法之前，先對(duì)學(xué)生進(jìn)行分組引導(dǎo)，讓學(xué)生充分地思考，自己先找方法.最后，鼓勵(lì)學(xué)生走上講臺(tái)，為學(xué)生個(gè)性發(fā)展搭建平臺(tái)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的自信心和主動(dòng)精神.課堂上給出如此大的信息量，在傳統(tǒng)教學(xué)中是不可能實(shí)現(xiàn)的，但是現(xiàn)代教學(xué)給了我們實(shí)現(xiàn)它的工具，多媒體課件可以很方便地實(shí)現(xiàn).

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