摘要：高等學校的課堂教學，不僅要講授書本上的知識，更重要的是培養(yǎng)學生正確的思維方法和思維習慣，本文從例題入手，就如何培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，談?wù)勛约旱恼J識。

關(guān)鍵詞：數(shù)學思維；課堂教學；創(chuàng)新；能力

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2012）01-0199-02

隨著社會經(jīng)濟的發(fā)展，人們逐漸意識到，高等學校培養(yǎng)的不能只是會做題、考高分的所謂學習型人才，而應(yīng)該是思維超前、有創(chuàng)造性的創(chuàng)新型人才。高等學校的教學，應(yīng)該在學生學習課本知識的基礎(chǔ)上，掌握學習知識的方法，并能夠?qū)W到的理論知識，解決實際問題。換句話說，高等學校的教育，不僅是傳授學生書本知識，更重要的是培養(yǎng)他們分析問題和解決問題的能力，特別是培養(yǎng)有創(chuàng)新性思維的能力。

數(shù)學思維是人類對數(shù)學對象的理性的認識過程，廣義的理解包括利用數(shù)學這個工具，分析和解決實際問題的思考過程。數(shù)學思維是以認識數(shù)學對象為任務(wù)，以數(shù)和形為思維對象，以數(shù)學語言和符號為思維載體，并以認識和發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律為目的的一種特殊的思維形式，這是一種高水平的邏輯思維。而要使學生具備創(chuàng)新能力，數(shù)學思維的培養(yǎng)是非常重要和必不可少的。數(shù)學是一門教人聰明的學科，高等學校數(shù)學課程的課堂教學更應(yīng)注重對學生數(shù)學思維的培養(yǎng)。下面結(jié)合課堂數(shù)學教學的內(nèi)容，談?wù)剶?shù)學思維的特征。

一、創(chuàng)造性

數(shù)學思維的創(chuàng)造性是指思維活動的創(chuàng)新精神，是在新穎地解決問題中表現(xiàn)出來的智力品質(zhì)。思維的創(chuàng)造性不同于一般的思維活動，它要打破常規(guī)的解決問題的方法，將已有的知識或經(jīng)驗進行改組或重建。高水平的創(chuàng)造性思維是指發(fā)現(xiàn)了前人未曾發(fā)現(xiàn)的新事物，解決了前人未曾解決的問題。一般高水平的創(chuàng)造性思維是指數(shù)學家和杰出的數(shù)學人才在數(shù)學研究中所進行的思維活動。比如數(shù)學史上，解析幾何的創(chuàng)立、微積分的發(fā)現(xiàn)、群論的完成、非歐幾何的誕生等，都是高水平的創(chuàng)造性思維的結(jié)果。低水平的創(chuàng)造性思維是指這種思維的結(jié)果已為他人所完成，但相對于思維者本身而言，是發(fā)現(xiàn)了新事物，解決了新問題。一般低水平的創(chuàng)造性思維是指學生在數(shù)學學習中所進行的創(chuàng)造性思維活動，即學生能獨立地、自覺地掌握數(shù)學概念，發(fā)現(xiàn)定理的證明，發(fā)現(xiàn)教師課堂上所講例題的新穎解法等，這些都是教師在課堂上引導(dǎo)學生進行創(chuàng)造性思維的具體表現(xiàn)。比如在圖論中，要證明命題“完全m叉樹，當其樹葉數(shù)為t，分支數(shù)為i時，一定有（m-1）i=t-1?！彼梢岳弥苯臃椒ㄗC明，即利用樹和完全叉樹的定義，有mi=t+i-1，整理得出結(jié)論。還可以啟發(fā)學生，將m叉樹看作是每局有m位選手參加比賽的單淘汰賽計劃表，樹葉數(shù)t表示參加比賽的選手數(shù)，分支點數(shù)i表示比賽的局數(shù)，由于每局比賽將淘汰m-1位選手，故比賽結(jié)果共淘汰（m-1）i位選手，最后剩下一位冠軍，因此（m-1）i+1=t，即（m-1）i=t-1。這種證明方法即新穎又有趣，不但培養(yǎng)了學生獨立思考、創(chuàng)新思維的能力，又可以活躍課堂氣氛，提高學生對枯燥數(shù)學的學習興趣，絕對是一舉兩得的好事情。

二、嚴謹性

數(shù)學思維的嚴謹性是考慮問題要嚴密、有據(jù)。比如，數(shù)理邏輯的推理證明中，有時會遇到下面這種情況：（1）?坌xF（x） P；（2）F（c） US（1）；（3）?堝xG（x） P；（4）G（c） ES（3）；（5）F（c）∧G（c） T（2）（4）；（6）?堝x（F（x）∧G（x）） T（5）

此例的前提包括?坌xF（x） ，?堝xG（x），但邏輯推理的正確與否，與前提引入的順序有很大關(guān)系。上面推理過程中，先引入的是全稱量詞?坌xF（x），利用全稱指定規(guī)則，得到F（c），這是正確的，接著引入存在量詞?堝xG（x），利用存在指定規(guī)則得到G（c），此時出現(xiàn)了概念性的錯誤，因為此c非彼c，不能再用同一個字母c表示了，而應(yīng)指定為G（a），但這樣就不能推導(dǎo)出結(jié)果。因此在推理證明時，當全稱量詞和存在量詞同時出現(xiàn)在前提中時，一般要先引入存在量詞，后引入全稱量詞，這時兩個c才是相同的。這些錯誤在數(shù)學教學中經(jīng)常碰到，需要教師在教學的各個環(huán)節(jié)，不斷地強調(diào)，要求學生解題的每一步，都要有依據(jù)，要符合邏輯，讓學生逐漸養(yǎng)成嚴謹?shù)乃季S習慣。

三、抽象性

數(shù)學思維的抽象性是方法和對象的抽象性。對于不同的實際問題，經(jīng)過多次抽象而得到的形式化的結(jié)果。比如在高等數(shù)學課程中，求“曲邊梯形的面積”時，得到一個結(jié)果：A=■■f（ξ■）Δx■；而求“變速直線運動的路程”時，又得到結(jié)果：S=■■v（?子■）Δt■。從表面看，他們一個是數(shù)學問題，另一個是物理問題，應(yīng)該沒有什么關(guān)系，但如果只考慮它們的數(shù)學表達式，卻是同一種形式的極限，即為“黎曼和”。換言之，從抽象數(shù)學思維的角度講，都可以理解為“函數(shù)在某區(qū)間上的定積分”。有了定積分的概念、性質(zhì)和計算方法，這兩個實際問題用同一種方法就迎刃而解了。所以在課堂教學中，要讓學生充分理解這種抽象性，去偽存真，找到解決問題的一般方法。

四、靈活性

數(shù)學思維的靈活性是不會過多地受思維定勢的影響，善于從舊的思維模式或通常的制約條件中擺脫出來。思維定勢也稱為慣常思維，它是遵循已有的思路去考慮問題，反映了思維過程的連續(xù)性、漸進性和聯(lián)結(jié)性，是思維慣性的表現(xiàn)。而靈活性通常反映為逆向思維，它的基本特征是：從已有的思路的反方向去思考問題，反映了思維過程的間斷性、突變性和反聯(lián)結(jié)性，是對思維慣性的克服。而數(shù)學思維既需要慣常思維，又需要逆向思維。在解決某些問題時，逆向思維往往顯得更加重要。

五、廣闊性

數(shù)學思維的廣闊性是從多方面思考同一個問題，可以表現(xiàn)為對同一個事實做出多方面的解釋，對同一個對象用多種方式表達，對同一個問題考慮出多種不同的解決方案。比如高等數(shù)學中，計算三重積分I=■z■dv，其中Ω為x2+y2+z2≤R2和x2+y2+z2≤2Rz之公共部分。下面分別用三種方法解決這個問題。

（1）在柱面坐標系下，將其化為三次積分為：

I=■dθ■rdr■z■dz

（2）在球面坐標系下，將其化為三次積分為：

I=■dθ■cos2ψsinψdψ■r4dr

（3）用截痕法，將其化為先二后一的積分為：

I=■z2dz■d?滓+■z2dz■d?滓

這三種方法都可以得到正確的結(jié)果，但通過對計算過程比較發(fā)現(xiàn)，利用截痕法計算最簡單。此時要引導(dǎo)學生仔細觀察，截痕法在什么情況下使用最簡單，通過舉例，讓他們自己總結(jié)出：當被積函數(shù)為一個變量的函數(shù)時，利用截痕法，先計算的二重積分，實際上是積分區(qū)域（截面）的面積，此時三重積分轉(zhuǎn)化為定積分。因此在課堂上，教師要和學生一起分析，引導(dǎo)學生去思考、去實踐，最后找到解決問題的最佳方案。

總之，高等數(shù)學的課堂教學，除了要教會學生課本知識外，更要有意識地培養(yǎng)學生正確的思維方法和思維習慣，若能使學生潛移默化的將其滲透到自己的生活和將來的工作中，他們將終身受益。

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作者簡介：王新心（1964-）女，河北唐山人，理學學士，副教授，主要從事高等數(shù)學、線性代數(shù)及概率統(tǒng)計等課程的教學研究工作。