☉廣東省開平市開僑中學(xué) 陳 晨

如何提取抽象函數(shù)中非抽象的元素

☉廣東省開平市開僑中學(xué) 陳 晨

抽象函數(shù)因其解析式不確定，在處理問題時(shí)常感無從下手，其實(shí)，大部分抽象函數(shù)都是以中學(xué)階段所學(xué)的基本函數(shù)為背景的，即有一個(gè)從具體到抽象（編題），從抽象到具體（解題）的辨證關(guān)系．解題時(shí)，若能根據(jù)題設(shè)中抽象函數(shù)的性質(zhì)尋找抽象函數(shù)的特殊模型，利用特殊函數(shù)的性質(zhì)，靈活變通，便可尋找到解題的突破口．下面舉例說明解抽象函數(shù)問題中，如何有效提取非抽象的元素．

一、聯(lián)想熟知的函數(shù)模型

例1已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x），滿足f（xy）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0.

證明：（1）f（x）恒過定點(diǎn)（1，0）；（2）當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）＞0；（3）函數(shù)是（0，+∞）上的減函數(shù)；（4）解不等式f（x2－x）＜f（x+3）.

解析：解題時(shí)，可以參考函數(shù)原型，由題意可知，該函數(shù)原型為f（x）=logax（0＜a＜1），則函數(shù)具有以下性質(zhì)（1）f（1）=0；（2）當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）＞0；（3）函數(shù)是（0，+∞）上的減函數(shù).但是在解答題中，不可直接把函數(shù)令為f（x）=logax（0＜a＜1），而必須通過必要的邏輯推理得到答案.

（1）令x=0，y=1，則f（0×1）=f（0）+f（1），f（1）=0，所以f（x）過定點(diǎn)（1，0）.

（4）因?yàn)閒（x2－x）＜f（x+3），且函數(shù)f（x）是（0，+∞）上的減函數(shù)，因此x2－x＞x+3＞0，所以原不等式的解集為{x|x＞3或－3＜x＜－1}.

二、利用奇偶性，整體思考

故原不等式的解集為（－1，0）∪（0，1）.故選D.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用以及不等式的解法.

三、利用周期性，回歸已知

例3已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x－4）=－f（x），且在區(qū)間［0，2］上是增函數(shù)，則（ ）.

解法1：因?yàn)閒（x+8）=－f（x+4）=－［－f（x）］=f（x），所以8是該函數(shù)的周期.又因?yàn)閒（x－4）=－f（x）=f（－x），所以x=－2是該函數(shù)的對(duì)稱軸.又因?yàn)榇撕瘮?shù)為奇函數(shù)，定義域?yàn)镽，所以f（0）=0，且函數(shù)的圖像關(guān)于x=2對(duì)稱.因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間［0，2］上是增函數(shù)，所以在［0，2］上的函數(shù)值非負(fù)，故f（1）＞0，所以f（－25）=－f（25）=－f（1）＜0，f（80）=f（0）=0，f（11）=f（3）＞0，因此，f（－25）＜f（80）＜f（11），故選D.

即f（－25）＜f（80）＜f（11），故選D.