朱麗娟　陳海華

摘 要：幾何概型是高中數(shù)學的新增內(nèi)容，它有著深厚的實際生活背景. 學生學習這部分內(nèi)容很感興趣，在教師指導下解題并不困難，但是在自主解題過程中常常不能準確理解測度概念，亦不能準確解題. 本文試圖尋找學生幾何概型學習中的“懂而不會”現(xiàn)象的成因及其對策，讓學生真正理解知識并學會應用.

關(guān)鍵詞：幾何概型；教學嘗試；概念理解

[?] 問題的提出

在高三復習幾何概型這部分內(nèi)容時，有這樣兩個題目：

題1：（1）在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上任取一點M，求AM

（2）在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點C在∠ACB內(nèi)任作一條射線CM，與線段AB交于點M，求AM

題2：甲、乙兩人約定在6時到7時之間在某處會面，并約定先到者應等候另一人一刻鐘，過時即可離去，求兩人能見面的概率.

這兩個題目是這個部分的典型問題，其中題1的兩個問題背景類似，所求問題問法完全一致，但是因為測度的選擇不同，而使得答案大相徑庭. 題2是一個以面積為測度的幾何概型，只要根據(jù)變量的取值范圍給出圖形，就能很快求得答案.

因為是一輪復習，通常要求學生先進行自主預習，接著在課堂上進行反饋交流和糾錯，再講解點評. 學生做下來的反饋情況令人深思，題1的第1問全班55人全都正確，而題1的第2問有近半數(shù)的學生答案錯誤，而且錯誤驚人一致，答案都是，但是他們都識別出這是幾何概型，并且知道這兩個小問以前都做過，也錯過，但是現(xiàn)在還是這樣理解. 而題（2）只有17人認為這肯定是幾何概型，這17人中只有12人能夠設出甲乙兩人到達的時刻為x，y，但是真正答對的只有7人. 經(jīng)過調(diào)查，剩余的這38個學生在看到這個問題的感受是：我知道這個問題老師在新授課的時候講過，當時我懂，我會，但是現(xiàn)在遇到它，我又不知道如何下手，似乎也知道是幾何概型問題，但是力不從心，使不上勁.

這就顯示出學生在學習這部分知識時存在著“懂而不會”的現(xiàn)象，甚至有些學生根本連真正意義上的“懂”都談不上.

[?] “幾何概型”內(nèi)容的教材分析和考試要求分析

1. 高中教材上的定義

蘇教版教材必修3在給出兩個引例后給出如下定義：對于一個隨機試驗，我們將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中每一點被取到的機會都一樣；而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點. 這里的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形等. 用這種方法處理隨機試驗，稱為幾何概型. 接下來，課本又給出了計算的公式：一般地，在幾何區(qū)域D中隨機地取一點，記事件“該點落在其內(nèi)部一個區(qū)域d”為事件A，則事件A發(fā)生的概率p（A）=. 這里要求D的測度不為0，其中“測度”的意義依D確定，當D分別是線段、平面圖形和立體圖形時，相應的“測度”分別是長度、面積和體積.

而人教A版幾何概型是這樣定義的： 如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型.

比較人教A版教材的定義，蘇教版教材的定義要長一些. 這么長的定義，學生閱讀和理解都是困難的.而人教版的定義對于學生而言，這個命題的條件又該如何理解？

2. 初高中教材的對比

學生在初中義務教育階段已經(jīng)學習過概率統(tǒng)計初步. 以江蘇科學技術(shù)出版社的教材為例，概率內(nèi)容出現(xiàn)在七年級（下）的第十三章《感受概率》和九年級（下）的第九章《概率的簡單應用》，沒有給出兩類概型，但兩類概型都有涉及，比如口袋中的摸球問題（古典概型）、轉(zhuǎn)盤中獎問題（幾何概型）. 在概率計算中，更多的是用頻率來估計概率.

在高中教材中再次出現(xiàn)這兩個概型，并且給出定義和計算公式，對于學生而言，應該有一個知識掌握的螺旋上升過程. 但是，就從本文開頭的兩個問題來看，學生獨立解決幾何概型問題的能力有待加強.

2. 考試要求分析

這部分內(nèi)容是課程改革后的新增內(nèi)容，《普通高中數(shù)學課程標準》要求是了解.這部分內(nèi)容在高考中的要求是A級（了解層次）. 由于考試要求相對較低，以江蘇省高考試題必做題（160分）為例，五年來（2008-2012年）考查到幾何概型內(nèi)容的只有2008年的填空題第六題，且為容易題，所以學生在處理考題時并不困難.

[?] 學生學習“幾何概型”內(nèi)容“懂而不會”的原因分析

1. 教師教的層面

“幾何概型”是江蘇省課程改革后新啟用教材必修3中的內(nèi)容，它和算法、統(tǒng)計都是在這本書中. 從2005年這套教材的使用情況來看，必修1-5的使用順序是14523，或者是其他組合，大多數(shù)是將必修3放在最后，也就是認為這本書的內(nèi)容考試要求低，教師認為這部分內(nèi)容較為簡單，講起來也是泛泛而講，不太重視，講授的時間較少，也會出現(xiàn)考綱不考的內(nèi)容不講的現(xiàn)象. 當然，鑒于前面的教材和考試說明分析，這種現(xiàn)象背后的原因不言而喻.

由此可見，在新授課階段，學生在模仿解題上并沒有太多困難，但是教師在讓學生加深概念的理解層面上所作的努力程度仍然不夠.

2. 學生學習的層面

（1）學生的已有知識經(jīng)驗

根據(jù)奧蘇貝爾的“有意義學習”理論，學生原有的認知結(jié)構(gòu)是學習的基礎(chǔ). 幾何概型的學習是在古典概型之后. 在古典概型的學習中，古典概型中有限個等可能的基本事件可以通過列舉的方式讓學生有著直接的體驗，并且古典概型中的問題情境也和實際生活息息相關(guān)；但到了幾何概型，他們需要將試驗中的無限個等可能的基本事件映射為某個特定區(qū)域中的點，也就是從實際問題中建立起概率模型. 而在實際問題的解答中，又要將如問題1的第2題中無限個等可能的事件是射線看成和定義中的點的實質(zhì)相同，這本身就是較高的思維要求，學生很難做到.

（2）學生概念的形成過程

概念的形成是概念學習過程中非常重要的部分，也是思維過程中最復雜的部分. 維果斯基曾提出：“了解概念的形成過程，即可把握住兒童學習和認知與思維的過程.”

概念的形成基本上需要兩個條件：一是學習者必須從許多事物或情境中認識或抽象出它們的共有特征，以便進行概括；二是學習者必須能夠辨別出與概念相關(guān)或不相關(guān)的標志，以便進行區(qū)別歸類，其具體的過程概括如下：概念形成的一般過程（曹才翰，蔡金法，1989）

新授課階段，通過引例找到幾何概型的共同屬性，揭示出本質(zhì)屬性，再通過肯定和否定例證形成概念，理解概念的內(nèi)涵和外延. 問題2中，甲乙兩人到達約定地點的時間看成是兩個獨立的隨機變量，而這兩個隨機變量的取值看成是在指定區(qū)間內(nèi)任取一點，這就需要在具體的問題情境中能夠深刻理解概念，并且靈活應用概念.

維果斯基認為，概念學習主要有三個困難：一是遷移；二是給概念下個定義；三是在最終掌握概念并在抽象水平上系統(tǒng)闡述概念以后，把概念運用于必須借助于這些抽象的術(shù)語來加以觀察的新的情境，這是最困難的. 從這個角度來看，學生在問題2中遇到的問題就不難理解了. 經(jīng)過訪談和調(diào)查，學生正是沒有在問題情境中找到“甲乙兩人到達的時間，即變量x，y.”

而根據(jù)調(diào)查，高三學生學習完幾何概型后，腦海中留下的是具體的簡單的例子和計算的公式，并不能理解概念的含義.

可以這樣說，學生們所謂的“懂”，不過是停留于概念形成的前幾個階段，在教師的講解下的懂，實質(zhì)沒有獨立思考后的“悟”.

[?] 課堂上的教學嘗試

1. 讓學生說出自己的想法

Duffin&Simpson指出：當我理解了，我就感到愉快；我就自信；我可以忘掉所有細節(jié)，而在需要的時候重新構(gòu)造；我覺得它已經(jīng)屬于我；我可以把它解釋給別人聽.讓學生來說思路，說困惑不僅僅是一種數(shù)學交流方式，也是學生進行出聲思維的良好途徑.

如問題1（2）的第二個，就有學生直接走到講臺上來，用粉筆將這個“在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點C在∠ACB內(nèi)任作一條射線CM，與線段AB交于點M”的過程展示出來，畫出的射線充斥整個∠ACB，滿足條件的射線有哪些圈出來，因此，很快可以找到P（AM

接著學生還總結(jié)出，可以通過模擬操作題目給出的情境來判斷幾何概型和進行測度尋找. 學生還根據(jù)這一方法驗證了問題1的第1問.

對于問題2，學生指出，設出兩個隨機變量x，y，其中x，y滿足

6≤x≤7，

6≤y≤7，

x-y

≤，

還有學生提出，當變量為一維時，對應的測度是長度、角度或者時間；當變量是二維時，測度可看做是面積；而變量是三維時，測度可看做是體積.

2. 讓學生找一找相關(guān)的變式

鑒于學生們在課堂上的熱烈的討論和表達，筆者又讓他們結(jié)合最近的綜合練習和專題復習，找一找相關(guān)的變式.

學生很快找到了這樣的兩個變式：

變式1 和問題1對應，重在通過操作找到測度

在半徑為1的圓上隨機地取兩點，形成一條弦，則其長超過圓內(nèi)接等邊三角形的邊長的概率為__________.

學生分析：首先固定其中的一個點，做出一個等邊三角形，其次是考慮取另外一個點. 我們?nèi)〉命c是在弧上的，所以測度為弧長，P==.

變式2 和問題2對應，重在變量的個數(shù)

在長為1的線段上任取兩點，則這兩點之間的距離小于的概率為_______.

學生分析：設在長為1的線段上任取兩點看成是在區(qū)間[0，1]上任取x，y，則x，y滿足

0≤x≤1，

0≤y≤1，

x-y

≤，則P=.

變式3 將問題2的條件做了如下改動：

甲若是先到，等10分鐘；乙若是先到，等15分鐘（解答略）.

3. 讓學生反思并表達解決幾何概型問題的策略和注意點

學習過程是學生主動建構(gòu)的過程，每一堂課后，完善知識結(jié)構(gòu)需要學生自己動手，付出主觀的努力. 學生的數(shù)學學習過程中的反思要求認知者對自身數(shù)學思維活動過程和結(jié)果作深層次的反向思考和批判性的再認識，以求獲得更深刻的認識或產(chǎn)生新認識，包括自我覺察、自我評價、自我探究、自我監(jiān)控、自我調(diào)節(jié). 只有養(yǎng)成反思的習慣，才能讓數(shù)學反思能力獲得提高. 而這種在數(shù)學反思活動中反映出來的穩(wěn)定的心理特征，是元認知在數(shù)學思維活動中發(fā)揮作用的基本形式，是獲得數(shù)學思維的核心和動力.

從技能訓練的角度來講，從熟練化到自動化再到策略化，反思是個必不可少的過程.

[?] 建議和思考

1. 幾何概型的教學中，學生是有一定的生活經(jīng)驗和知識基礎(chǔ)的，可以充分利用實驗和計算機和信息技術(shù)模擬增強直觀性. 這樣做，也可以激發(fā)學生的學習興趣，讓學生充分感受到數(shù)學是有意義和有用的，而不是抽象和不相關(guān)的.

2. 鼓勵學生大膽地進行數(shù)學交流，暴露自己的思維. 這不僅利于學生解題時思維的整理和優(yōu)化，也可以讓教師及時發(fā)現(xiàn)學生的思維障礙，便于指導.

3. 在課堂中，教師應更多地關(guān)注學生的想法，注重課堂的生成性. 教學中大多數(shù)都是教師進行變式的準備，學生被動地接受. 但是，通過本次課堂上的嘗試，學生的變式選擇和辨析，的確讓學生真正地從思維上動起來了.