朱成敏

摘 要： 2011年廣東深圳的中考數(shù)學題第23題設計了一個動點四邊形周長最短的問題，由于答案給出的情況不完整，本文用分類討論的方法對其他可能出現(xiàn)的情況加以討論，給出了一般性的結(jié)論，并改進了題目的問法，使其更加科學.

關鍵詞： 中考壓軸題 設計 解法 分類討論

2011年廣東深圳的中考數(shù)學題第23題：如圖1，拋物線y=ax■+bx+c（a≠0）的頂點為C（1，4），交x軸于A、B兩點，交y軸于點D，其中點B的坐標為（3，0）.

（1）求拋物線的解析式.

（2）如圖2，過點A的直線與拋物線交于點E，交y軸于點F，其中，點E的橫坐標為2，若直線PQ為拋物線的對稱軸，點G為直線PQ上的一動點，則x軸上是否存在一點H，使D、G、H、F四點所圍成的四邊形周長最小.若存在，求出這個最小值及點G、H的坐標；若不存在，請說明理由.

（3）略.

圖1 圖2

參考答案：y=-x■+2x+3（1）.

（2）存在.由y=-x■+2x+3（1）可得：E（2，3），A（-1，0），D（0，3），所以直線AE的解析式為y=x+1.

點D關于直線PQ的對稱點為點E，作點F關于x軸的對稱點F■（0，-1），連接EF■交PQ于點G、交x軸于點H，此時D、G、H、F四點圍成的四邊形周長最小.

由E（2，3），F(xiàn)1（0，-1）可得直線EF1的解析式為，所以G（1，1），H（，0），周長的小值為DF+EF■=2■.+2

（注意：如果得到點G（1，-1），點H（■，0）不是正確答案.）

讀畢，疑問如下：

（1）得到這個點G（1，-1），點H（■，0）錯誤結(jié)果的過程是分別取了D關于x軸的對稱點和F關于直線PQ的對稱點.那么為什么這個結(jié)果是錯誤的呢？同時取兩點關于兩條對稱軸的對稱點的時候該如何??？

（2）該四邊形周長最短的結(jié)論未證明，若仔細考慮證明過程就會發(fā)現(xiàn)，該解答是基于DF是定值，而將問題轉(zhuǎn)化為在x軸和直線PQ上取點G、H，使得DG+GH+HF最短.這個轉(zhuǎn)化存在一個問題：DF是否會成為D、G、H、F四點所圍成的四邊形的對角線？如果會成為對角線，則參考答案中的答案還是最短的嗎？

下面分別探討這兩個問題.

為不失一般性，提出問題：平面直角坐標系中，在第一象限有A（m，n），B（p，q）兩點，試在x軸與y軸上分別取點C、點D使得A、B、C、D四點所圍成的四邊形周長最小.

第一個問題：取點A關于x軸的對稱點還是y軸的對稱點得到的四邊形周長較小？

方案一：取點A關于y軸對稱點A1（-m，n），取點B關于x軸對稱點B1（p，-q），連接A■B■交x軸與y軸于點C■、D■，此時由點A、B、C■、D■圍成的四邊形周長記作L■.（圖3）

方案二：取點A關于x軸對稱點A■（m，-n），取點B關于y軸對稱點B■（-p，q），連接A■B■交x軸與y軸于點C■、D■.此時由點A、B、C■、D■圍成的四邊形周長記作L■.（圖4）

圖3 圖4

方案一中，由點A■（-m，n），B■（p，-q）可得直線A■B■的解析式為：

y=-■x+■，

則其與y軸交點D1的坐標為（0，■），與x軸交點C■的坐標為（■，0）.

方案二中，由點A■（m，-n），B■（-p，q）可得直線A■B■的解析式為：

y=■x-■，

則其與y軸交點D■的坐標為（0，-■），與x軸交點C■的坐標為（-■，0）.

若pn-mq>0，即點C■與D■分別在坐標軸的正半軸上，

L■=AD■+C■D■+C■B+AB=A■B■+AB，

點C■與D■分別在坐標軸的負半軸上，

L■=AC■+C■D■+D■B+AB=A■B■+AB+C■D■.

易知A■B■=A■B■，因此L■

反之，若pn-mq=0，則L■>L■.

若pn=mq=0，則由點A、B、C、D圍成的四邊形周長不存在最小值.

結(jié)論一：方案一與方案二的取舍條件在于比較■與■的大小，也就是直線OA與直線OB的斜率大小.若OA斜率較小，則取點A關于x軸的對稱點，點B關于y軸的對稱點；若OB斜率較小，則取點B關于x軸的對稱點，點A關于y軸的對稱點.

為方便起見，記L=min{L■，L■}.

第二個問題：若點C與點D的選擇過程中，若考慮AB是四邊形的對角線，則此時四邊形的最短周長與L相比哪個更短？

若AB是四邊形的對角線，則其周長最小的作法為：取點A（或點B）分別關于x軸和y軸的對稱點A■（m，-n），A■（-m，n），連接A■B、A■B分別交x軸、y軸于點C■、D■，此時，由點A、B、C■、D■圍成的四邊形周長記作L■.（圖5）

易得，L■=A■B+A■B=■+■，

而L=A■B■+AB=■+■.

L■■-L■=2■-2■

由于[（p-m）■+（q+n）■][（p+m）■+（q-n）■]-[（p+m）■+（q+n）■][（p-m）■+（q-n）■]=（q+n）■+（p+m）■+（p-m）■（q-n）■-（p-m）■（q-n）■-（q+n）■（p-m）■=4qn（p+m）■-4qn（p-m）■=16pqmn>0

因此，L■>L.

結(jié)論二：點C與點D的選擇過程中，若考慮AB是四邊形的對角線，則此時四邊形的最短周長比L更長.

綜上所述，原題的答案是正確的，但過程的考慮存在一定的缺陷，而整個討論的要求對初中學生難度過大，在考場很難給出詳細全面的考慮過程，因此建議將題目中的“使D、G、H、F四點所圍成的四邊形周長最小”改為“使四邊形DGHF周長最小”可以避免出現(xiàn)DF為四邊形對角線的情形，從而簡化問題，更易于作答.