祁永前

摘 要： 分類討論思想充分體現(xiàn)了歸類整理思想及“集零為整，化整為零”思想，是一種非常重要的解題策略與數(shù)學(xué)思想。在初中數(shù)學(xué)解題過程中，有效運(yùn)用分類討論思想，有利于學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在規(guī)律性，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生思維的概括性、提高學(xué)生思維的條理性具有重要意義。本文在簡(jiǎn)要分析初中數(shù)學(xué)中分類討論思想原則的基礎(chǔ)上，著重分析了分類討論思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞： 初中數(shù)學(xué)教學(xué) 分類討論思想 應(yīng)用

一、初中數(shù)學(xué)中分類討論思想應(yīng)用原則

（一）同一性與相稱性原則

在初中數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用分類討論思想，首先要確定分類討論的對(duì)象，而無需對(duì)全部對(duì)象進(jìn)行分類，且分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)具有一致性，即不能按照多個(gè)不同標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，主次清晰，不重復(fù)、不遺漏。例如，若在對(duì)三角形進(jìn)行分類時(shí)，將其分為等腰三角形、銳角、直角、鈍角三角形等。這一分類過程中，就同時(shí)使用了兩個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)：角、邊，因此這一分類就不科學(xué)。同時(shí)分類要相稱，也即是分類之后，分類子項(xiàng)的并集與母項(xiàng)外延相稱。

（二）互斥性與多層次性原則

互斥性原則主要是指在分類之后，各子項(xiàng)應(yīng)相互排斥，不能使其中的部分事物同屬于一個(gè)子項(xiàng)。例如，某班學(xué)生參加田徑與球類比賽的學(xué)生共7人，其中參加田徑比賽有5人，而球類比賽有4人。由于這7人中，必有2人兩項(xiàng)比賽均有參加，若將著7人分類為參加田徑與球類比賽兩類，則存在邏輯性錯(cuò)誤。同時(shí)，在初中數(shù)學(xué)解題中，分類討論有一次與多次分類討論之分，在遇到分類情況較復(fù)雜的條件下，可采用“二分法”，將討論的對(duì)象分作兩個(gè)具有層次性的相互矛盾的概念，逐層分類，直到不必分為止。

二、分類討論思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

（一）分類討論思想在方程中的應(yīng)用

解方程是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，在解題過程中，可運(yùn)用方程進(jìn)行位移、消元或轉(zhuǎn)化運(yùn)算實(shí)現(xiàn)求解。然而在求解方程的過程中，取值的局限性是學(xué)生很容易忽視的問題，如指數(shù)的冪，含絕對(duì)值方程等，往往容易忽略并非所有未知數(shù)取值范圍皆為實(shí)數(shù)。同時(shí)，在分母中存在有字母的情況下，還必須展開分類討論等。在教學(xué)中，老師必須重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生注意這類問題，并善于運(yùn)用分類討論思想進(jìn)行系統(tǒng)全面的分析，正確解題。例如，在蘇教版七年級(jí)的“解一元一次方程”的教學(xué)中，有如下案例：解方程|3-x|+|x+2|=5。對(duì)于這類含絕對(duì)值的方程，在解題過程中，通常需要將絕對(duì)值內(nèi)的對(duì)象分為三類：負(fù)數(shù)、正數(shù)、零，進(jìn)行分類處理。老師在教學(xué)過程中，要善于引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用分類討論思想，將該題出現(xiàn)的兩個(gè)絕對(duì)值|3-x|與|x+2|分別進(jìn)行分類討論，即對(duì)于|3-x|而言，可分為x=3，x<3，x>3三類，而對(duì)于|x+2|而言，又可分為x=-2，x<-2，x>-2三類，并將分類的范圍在數(shù)軸上表示，則將原題轉(zhuǎn)化為以下三類情形。

1.x<-2。此時(shí)原方程則可轉(zhuǎn)化為3-x-（x+2）=5，則可得出x值為-2，與x<-2是相互矛盾的，可知此情形下，原方程無解。

2.-2≤x≤3。此時(shí)方程轉(zhuǎn)化為3-x+x+2=5，方程恒成立，則在2≤x≤3中的所有實(shí)數(shù)均為方程的解。

3.x>3。此時(shí)方程可轉(zhuǎn)化為-（3-x）+x+2=5，得出x值為3，與x>3相互矛盾，因此，在此情形下方程無解。

引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用分類討論的思想，對(duì)問題進(jìn)行合理分類，逐類討論，最終得出該題的結(jié)論為滿足-2≤x≤3這一條件的所有實(shí)數(shù)。

（二）分類討論思想在圓中的應(yīng)用

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，圓的對(duì)稱性、圓與圓、圓與直線，以及圓與正多邊形之間的關(guān)系是教學(xué)中的重要內(nèi)容。而在圓的對(duì)稱性及位置關(guān)系的解題過程中，分類討論思想是經(jīng)常運(yùn)用的解題思想，它對(duì)于使學(xué)生更明確題目中的變量及兩圖形的距離問題等具有重要意義。例如，在蘇教版九年級(jí)“圓的對(duì)稱性”的教學(xué)中，有如下問題：已知4cm與5cm分別為兩個(gè)相交圓的半徑，6cm為其公共弦長(zhǎng)，求兩個(gè)圓的圓心距。在解題過程中，由于題目中的圖形具有不確定性，因此要運(yùn)用分類討論的思想進(jìn)行解題。根據(jù)圓的對(duì)稱性可知，公共弦既可以在兩圓心同旁，又可以在兩圓心之間。因此，在解題過程中，可根據(jù)圓的對(duì)稱性的知識(shí)，對(duì)原題展開分類討論。

運(yùn)用分類討論的思想進(jìn)行討論，在解題過程中，不僅培養(yǎng)了學(xué)生的分析與歸納能力，而且對(duì)于發(fā)展學(xué)生的概括性思維具有重要作用。

（三）分類討論思想在三角形問題中的應(yīng)用

初中數(shù)學(xué)中，在解決三角形問題中，也常常運(yùn)用到分類討論的思想。例如，在題目中，已知的條件不明確，如題目中，已知兩邊長(zhǎng)且圖形為等腰三角形，求該三角形面積為周長(zhǎng)。在此條件下，并不明確已知條件中，哪條為底邊長(zhǎng)，哪條為腰，此時(shí)就需進(jìn)行分類討論，假設(shè)其中一條為底邊，另一條為腰，進(jìn)行分類討論求解。例如，在學(xué)習(xí)蘇教版三角形的相關(guān)知識(shí)的過程中，有如下例題：已知3cm與4cm分別為直角三角形的兩邊長(zhǎng)，試求第三邊長(zhǎng)。在此題，則需分為4cm為斜邊長(zhǎng)或者為一直角邊長(zhǎng)兩類情況，分別求出第三邊長(zhǎng)為：cm或5cm。

在初中數(shù)學(xué)解題過程中，運(yùn)用分類討論思想的關(guān)鍵在于明確分類討論原因、討論對(duì)象與標(biāo)準(zhǔn)，并根據(jù)可能的情況進(jìn)行合理準(zhǔn)確的分類，以此進(jìn)行逐類求解，綜合歸納，從而正確解決問題。加強(qiáng)分類討論思想的運(yùn)用對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生思維的概括性、縝密性和條理性具有重要意義。

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