林綺霞

摘 要： “數(shù)形結(jié)合”是初中數(shù)學(xué)中一種重要的思想方法，數(shù)形結(jié)合就是通過數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題.利用數(shù)形結(jié)合的方法可使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，它兼有形的直觀與數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)，是優(yōu)化解題過程的重要途徑之一，是一種基本的數(shù)學(xué)思想方法.

關(guān)鍵詞： 數(shù)形結(jié)合 數(shù)學(xué)思想方法 初中數(shù)學(xué)教學(xué)

著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離.”數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想之一，所謂的數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的題設(shè)和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其數(shù)量關(guān)系又揭示其幾何意義，使數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來，并利用這種結(jié)合，探求解決問題的思路.應(yīng)用其解決問題更加形象直觀.

數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用中非常廣泛，它比較適合處理那些數(shù)量關(guān)系與圖形位置關(guān)系可以互相轉(zhuǎn)化的問題，在中考中既有填空題、選擇題，又有解答題.在教學(xué)中教師要注重?cái)?shù)形結(jié)合思想方法的滲透、概括和總結(jié).

一、數(shù)形結(jié)合在數(shù)與式中的應(yīng)用

在“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)中，教師應(yīng)強(qiáng)調(diào)數(shù)與形的結(jié)合，讓學(xué)生建立由數(shù)想到形，由形想到數(shù)的思想，這樣可以加深學(xué)生對(duì)“數(shù)與代數(shù)”的理解和認(rèn)識(shí)，如利用圖形理解完全平方公式、平方差公式.

北師大版七下第一章《整式的乘除》第5課時(shí)《平方差公式》，教科書通過拼圖游戲給出平方差公式的一個(gè)解釋，讓學(xué)生完整地經(jīng)歷“猜想—驗(yàn)證—證明”的過程，目的是使學(xué)生對(duì)此公式有直觀的認(rèn)識(shí)，避免對(duì)公式的死記硬背，使平方差公式的學(xué)習(xí)更有意義.

例題1：如圖1，邊長(zhǎng)為a的大正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形.

（1）請(qǐng)表示圖中陰影部分的面積.

（2）小穎將陰影部分拼成了一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖2，這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是多少？你能表示出它的面積嗎？

圖1 a■-b■ 圖2 （a+b）（a-b）

（3）比較（1）、（2）的結(jié)果，你能驗(yàn)證平方差公式嗎？

得到a■-b■=（a+b）（a-b）.

北師大版七上第二章《有理數(shù)及其運(yùn)算》中，數(shù)軸概念是中學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的起點(diǎn)，有理數(shù)的有關(guān)性質(zhì)和運(yùn)算都是結(jié)合數(shù)軸進(jìn)行的.由于對(duì)每一個(gè)有理數(shù)，數(shù)軸上都有唯一確定的點(diǎn)與它對(duì)應(yīng)，因此兩個(gè)有理數(shù)的大小的比較，是通過這兩個(gè)有理數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)位置關(guān)系進(jìn)行比較的，相反數(shù)、絕對(duì)值概念則是通過相應(yīng)的數(shù)軸上的點(diǎn)與原點(diǎn)的位置關(guān)系來刻畫的.借助數(shù)軸可以更好地理解互為相反數(shù)、絕對(duì)值的幾何意義.

例題2：數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)|a+1|的結(jié)果是（ ）

A.a+1 B.-a+1 C.a-1 D.-a-1

分析：因?yàn)樽帜竌表示的是數(shù)，所以a+1仍是一個(gè)數(shù)，要去掉絕對(duì)值符號(hào)，關(guān)鍵是正確判斷a+1這個(gè)數(shù)是正的還是負(fù)的或者是0.根據(jù)在數(shù)軸上的位置可知a<-1<0，所以a+1<0，故|a+1|=-（a+1）=-a-1.

二、數(shù)形結(jié)合在方程中的應(yīng)用

列方程解應(yīng)用題的難點(diǎn)是如何根據(jù)題意尋找等量關(guān)系列方程，要突破這一難點(diǎn)，通常根據(jù)題意畫出相應(yīng)的示意圖，特別是應(yīng)用題中的行程問題、追及問題.

北師大七上第五章《一元一次方程》第7課時(shí)《能追上小明嗎》

例題3：小明每天早上要在7：50之前趕到距家1000米的學(xué)校上學(xué).小明以80米/分的速度出發(fā)，5分鐘后，小明的爸爸發(fā)現(xiàn)他忘了帶語(yǔ)文書.于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他.

（1）爸爸追上小明用了多長(zhǎng)時(shí)間？

（2）追上小明時(shí)，距離學(xué)校還有多遠(yuǎn)？

解：設(shè)爸爸用了x分鐘追上小明

通過學(xué)生自己動(dòng)腦動(dòng)手，畫出線段圖，能進(jìn)行圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言與文字語(yǔ)言之間的相互轉(zhuǎn)化，理解題中的等量關(guān)系，不同的思路就會(huì)出現(xiàn)等量關(guān)系的不同表現(xiàn)形式，從而列出不同的式子，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，進(jìn)一步列出方程，解決問題，既能嫻熟使用“線段圖”又能利用方程的思想解決問題，為初二、初三列分式方程、一元二次方程解應(yīng)用題打下基礎(chǔ).

例題4：（2013年漳州市中考數(shù)學(xué)試卷選擇題第8題）如圖，10塊相同的長(zhǎng)方形墻磚拼成一個(gè)矩形，設(shè)長(zhǎng)方形墻磚的長(zhǎng)和寬分別為x厘米和y厘米，則依題意列方程組正確的是（ ）

A.x+2y=75y=3x B.x+2y=75x=3y

C.2x-y=75y=3x D.2x+2y=75x=3y

分析：注意觀察圖形中隱含的數(shù)量關(guān)系，將對(duì)應(yīng)的數(shù)與形結(jié)合起來，結(jié)果一目了然.

三、數(shù)形結(jié)合在不等式中的應(yīng)用

北師大八下第一章《一元一次不等式和一元一次不等式組》，不等式的解集是一個(gè)集合，比較抽象.教學(xué)時(shí)，為了加深學(xué)生對(duì)不等式解集的理解，把不等式的解集在數(shù)軸上直觀地表示出來，使學(xué)生更能形象地看到，不等式的解集有無(wú)數(shù)個(gè).從而滲透了數(shù)形結(jié)合的思想，發(fā)展了學(xué)生符號(hào)表達(dá)的能力，以及分析問題、解決問題的能力.

例題5：解不等式3x+7>11-x

解：移項(xiàng)，得3x+x>11-7

合并同類項(xiàng)，得4x>4

兩邊都除以4，得x>1

這個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示如下：

四、數(shù)形結(jié)合在函數(shù)中的應(yīng)用

“函數(shù)及其圖像”是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，同時(shí)也是一個(gè)難點(diǎn).它是歷年中考的熱點(diǎn)，也是每年中考必考的知識(shí)點(diǎn)之一.有關(guān)函數(shù)的問題讓許多學(xué)生心生畏懼，無(wú)從下手.實(shí)際上函數(shù)與方程、不等式之間有著緊密聯(lián)系，在解題時(shí)要善于將它們“牽手”，將它們的“形”與對(duì)應(yīng)的“數(shù)”結(jié)合起來，往往會(huì)使很多棘手問題迎刃而解，并且解法簡(jiǎn)捷、獨(dú)特.

例題6：已知反比例函數(shù)y=■，若x■<0

分析：因?yàn)閤■，x■，x■不是具體的數(shù)，無(wú)法帶入y=■求值比較大小，利用反比例函數(shù)y=■的圖像及x■，x■，x■的大小關(guān)系，如上圖，在圖像上就可以直觀地比較出y■，y■，y■的大小關(guān)系.本題巧妙地構(gòu)造反比例函數(shù)的圖像，建立合理的幾何模型，利用圖像法解決抽象的代數(shù)問題.

例題7：已知方程x■-px+5=0有一個(gè)根大于2，另一個(gè)根小于2，求p的取值范圍.

分析：由二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系知：方程x■-px+5=0的兩個(gè)根是拋物線y=x■-px+5與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因?yàn)橐桓笥?，另一根小于2，所以拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)一個(gè)在2的左邊，另一個(gè)在2的右邊，且開口向上，如圖可知當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)值y<0，即22-2p+5<0，故p>4.5.

此解法利用函數(shù)圖像的直觀性，把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來，化難為易，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合解題的有效性.

例題8：已知一次函數(shù)y=kx+b（k、b是常數(shù)，k≠0），x與y的部分對(duì)應(yīng)值如下表所示，那么不等式kx+b<0的解集是（ ）

A.x<0 B.x>0 C.x<1 D.x>1

分析：從表中選取兩對(duì)對(duì)應(yīng)值x=0，y=1；x=1，y=0作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出y=kx+b的圖像，不等式kx+b<0的解集就是直線y=kx+b在x軸下方部分所對(duì)應(yīng)的自變量的取值，由圖可知，當(dāng)y<0時(shí)，x的取值范圍為x>1，所以不等式kx+b<0的解集為x>1，故選D.

解此題的關(guān)鍵是將它們對(duì)應(yīng)的形與數(shù)結(jié)合起來，從形的角度看，是求直線在x軸下方所對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍，從數(shù)的角度看，是求不等式的解集.

以上三例是有關(guān)函數(shù)與方程、不等式的問題，解此類題型時(shí)要善于將問題中的數(shù)與形結(jié)合起來，將抽象思維與形象思維融合在一起，通過“以形助數(shù)”、“以數(shù)解形”的思想策略，揭示出其隱含在內(nèi)部的幾何背景，使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，抽象的問題具體、直觀化，從而有效地找到解題途徑，達(dá)到優(yōu)化解題的目的，同時(shí)也能發(fā)展學(xué)生的思維.

五、數(shù)形結(jié)合在解直角三角形中的應(yīng)用

北師大九上第一章《直角三角形的邊角關(guān)系》第4課時(shí)《船有觸礁的危險(xiǎn)嗎》

例題9：海中有一個(gè)小島A，該島四周10海里內(nèi)暗礁.今有貨輪由西向東航行，開始在A島南偏西55°的B處，往東行駛20海里后到達(dá)該島的南偏西25°的C處，之后，貨輪繼續(xù)向東航行.你認(rèn)為貨輪繼續(xù)向東航行途中會(huì)有觸礁的危險(xiǎn)嗎？

解：要知道貨輪繼續(xù)向東航行途中有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)，如圖，只要過點(diǎn)A作AD⊥BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，如果AD>10海里，則無(wú)觸礁的危險(xiǎn).根據(jù)題意可知，∠BAD=55°，∠CAD=25°，BC=20海里.設(shè)AD=x，則

∵tan55°=■，tan25°=■

∴BD=xtan55°，CD=xtan25°.

∴xtan55°-xtan25°=20.

∴x=■≈■≈20.79（海里）>10（海里）.答：貨輪繼續(xù)向東航行途中沒有觸礁的危險(xiǎn).

此題是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，使數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來，運(yùn)用已有的三角函數(shù)知識(shí)進(jìn)行解答.

六、數(shù)形結(jié)合在統(tǒng)計(jì)與概率中的應(yīng)用

新課標(biāo)中的統(tǒng)計(jì)與概率，在內(nèi)部編排和內(nèi)容要求上有所加強(qiáng)，真正讓學(xué)生經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)的全過程，發(fā)現(xiàn)并提出問題，運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒?，收集和整理?shù)據(jù)，運(yùn)用合適的統(tǒng)計(jì)表統(tǒng)計(jì)圖來展示數(shù)據(jù)做出決策.

例題10：（2010年漳州市中考數(shù)學(xué)試卷第21題）漳州市某中學(xué)對(duì)全校學(xué)生進(jìn)行文明禮儀知識(shí)測(cè)試，為了解測(cè)試結(jié)果，隨機(jī)抽取部分學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行分析，將成績(jī)分為三個(gè)等級(jí)：不合格、一般、優(yōu)秀，并繪制成如下兩幅統(tǒng)計(jì)圖（不完整）.請(qǐng)你根據(jù)圖中所給的信息解答下列問題：

（1）請(qǐng)將以上兩幅統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；

（2）若“一般”和“優(yōu)秀”均被視為達(dá)標(biāo)成績(jī)，則該校被抽取的學(xué)生中有？搖？搖 ？搖？搖人達(dá)標(biāo)；

（3）若該校學(xué)生有1200人，請(qǐng)你估計(jì)此次測(cè)試中，全校達(dá)標(biāo)的學(xué)生有多少人？

在統(tǒng)計(jì)初步中，一組數(shù)據(jù)，反映在坐標(biāo)平面上就是一群離散點(diǎn).研究一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)（平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)），相當(dāng)于考察這群離散點(diǎn)的分布狀態(tài)；而研究一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大?。ǚ讲?、標(biāo)準(zhǔn)差），就相當(dāng)于考察坐標(biāo)平面上這群離散點(diǎn)的分布規(guī)律.這里融入了數(shù)形結(jié)合的思想方法.在教學(xué)中老師要注意到這點(diǎn)，從而加深學(xué)生對(duì)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差概念的理解.

例題11：（2012年漳州市中考數(shù)學(xué)試卷第21題）有A、B、C1、C2四張同樣規(guī)格的硬紙片，它們的背面完全一樣，正面如圖1所示.將它們背面朝上洗勻后，隨機(jī)抽出兩張（不放回）可拼成如圖2的四種圖案之一.請(qǐng)你用畫樹狀圖或列表的方法，分析拼成哪種圖案的概率最大？

圖1 圖2

分析：首先根據(jù)題意畫出樹狀圖或列出表格，然后根據(jù)樹狀圖或表格求得所有等可能的結(jié)果與拼成各種圖案的情況，再利用概率公式即可求得答案.

解：畫樹狀圖如下：

列表如下：

∴P（卡通人）=■=■

P（電燈）=■=■

P（房子）=■=■

P（小山）=■=■

∴拼成電燈或房子的概率最大.

概率是新增加的內(nèi)容，其抽象性使它成為教學(xué)的難點(diǎn)，在計(jì)算簡(jiǎn)單事件的概率時(shí)，采用畫樹狀圖的方法，數(shù)形結(jié)合，能收到化難為易的效果.

“數(shù)形結(jié)合”思想，就是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖像結(jié)合起來，代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化.由于數(shù)形結(jié)合具有形象直觀、易于接受的優(yōu)點(diǎn)，在對(duì)于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間觀念和數(shù)感有很大的啟發(fā)作用.利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解題可以使得復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化.將數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法滲透到課堂教學(xué)及解題訓(xùn)練中，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性、層次性及學(xué)習(xí)能力都有很大的幫助.