王建生

蘇教版數(shù)學五年級上冊第25頁有這樣一道探索題：小明參觀鋼鐵廠時看到許多鋼管堆成如右下圖的形狀。最上層有9根，最下層有16根，共有8層。可以用什么方法計算出這堆鋼管一共有多少根呢？

教師用書上是這樣建議的：可以先畫出完整的截面示意圖，讓學生通過觀察，明確這堆鋼管排列的規(guī)律，然后讓學生嘗試著計算。學生用不同方法計算后，組織交流。在交流中，進一步啟發(fā)學生想象：如果把兩堆這樣的鋼管像兩個完全一樣的梯形拼成平行四邊形那樣合在一起，那么每層有幾根，有幾層？每層的根數(shù)可以怎樣簡便地計算出來？使學生領(lǐng)悟到可以用“（最上層根數(shù)+最底層根數(shù)）×層數(shù)÷2”來計算。至此，學生能很自然地把這一方法與梯形面積公式的推導過程聯(lián)系起來，討論教材中提出的問題也就水到渠成了。

對于教師用書上的建議，我非常贊成。但我進一步深入思考：為什么不是計算這個鋼管堆的橫截面面積，卻同樣可以用面積公式呢？鋼管根數(shù)與面積大小之間到底有沒有本質(zhì)聯(lián)系呢？如果我們能讓學生通過自主探索發(fā)現(xiàn)計算鋼管根數(shù)與面積大小之間的本質(zhì)聯(lián)系，那么學生對為什么可以這樣計算鋼管根數(shù)的理解是不是可以更深一層。

進一步來思考：該題的價值在于將梯形的面積公式應(yīng)用于等差數(shù)列求和的計算，大大拓寬了梯形面積公式的使用價值。為此我想到了這樣一些關(guān)鍵詞：數(shù)學文化、課程資源、幾何直觀、數(shù)學建模。

教材中提供的是用梯形面積公式計算圓形鋼管的根數(shù)這樣一個實際問題，我想，如果把面積公式作為一個結(jié)論直接讓學生去計算，如何運用或許沒有問題，多出幾道類似的問題，反復運用幾次后學生一定會熟練起來，但怎么想到用面積公式這樣一個幾何圖形的知識來解決鋼管的根數(shù)這樣一個與圖形沒有任何聯(lián)系的問題的呢？這或許才是這一課探究的真正價值所在。為此我想要把兩者聯(lián)系起來，還需要通過一系列課程開發(fā)，豐富相應(yīng)的課程資源，打通面積公式與計算圓形鋼管根數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，于是我嘗試設(shè)計了如下一些問題：

（1）下圖中每個小正方形的面積是1平方厘米，圖1的面積是多少平方厘米？圖2呢？這兩個圖形的形狀不同，為什么面積一樣？

（2）圖3中每個小正方形的面積是1平方厘米，整個圖形的面積是多少平方厘米？怎么算有多少個小正方形？（要求有多少個小正方形，可以用這樣的算式：1+2+3+4+5+6。）

（3）在第（2）題的基礎(chǔ)上進行變形（如圖4）。圖4的面積是多少？追問：圖4的形狀變了，為什么面積沒變？

（突出雖然形狀變了，但是小正方形的個數(shù)沒有變，所以圖形的面積沒有變。）

（4）在第4題的基礎(chǔ)上進一步變形（如圖5）。如果一個小圓圈的面積是1平方厘米，那么圖5的面積是多少平方厘米？

（由正方形變成圓形，總個數(shù)不變，面積單位沒變，總面積也不變。）

然后出示高斯趣題：1+2+3+4+…+97+98+99+100=？

怎么算？為什么能這樣算？你能結(jié)合圖形給予解釋嗎？

學生都能想到用（1+100）×100÷2=101×100÷2=5050。理由是根據(jù)梯形的面積計算公式，用（上底+下底）×高÷2=梯形的面積。

用圖形來解釋就是相當于這樣一個梯形，上底是1個小圓圈，下底是100個小圓圈，一共有100層高（如圖6）。

到此我沒有結(jié)束探究，而是繼續(xù)深入。

（5）圖7的面積可以怎么求？（1個小正方形的面積是1平方厘米）還有沒有其他不同的求法？如果把圖7變成圖8，你準備怎么求？

如果是1+3+5+…+95+97+99=？你準備怎么求？為什么？

（6）體育運動節(jié)，學校準備大型隊列表演，有一個隊列是這樣設(shè)計的（如圖9），你能求出參加表演的一共有多少人嗎？如果讓你設(shè)計，還可以變換成哪些隊列圖形？試著畫一個。

教學反思

新課程標準提出了一個新的關(guān)鍵詞——幾何直觀，用直觀的幾何來幫助學生理解、建構(gòu)抽象的數(shù)學公式，使抽象的和=（首項+末項）×項數(shù)÷2與面積=（上底+下底）×高÷2建立起實質(zhì)性的聯(lián)系。弗賴登塔爾指出：“學習數(shù)學唯一正確的方法是再創(chuàng)造?！闭J知主義心理學認為：“學生對任何一個新知的學習都是基于其原有經(jīng)驗基礎(chǔ)上的一種自主建構(gòu)?！苯?gòu)主義認為：“學習數(shù)學就是在學習建模?！币嬲⑵饘W生能夠理解的“和=（首項+末項）×項數(shù)÷2”模型，必須與梯形這一直觀圖形建立起實質(zhì)性的聯(lián)系，這樣學生才能創(chuàng)造出屬于自己的能夠理解的“和=（首項+末項）×項數(shù)÷2”。

由此我想到數(shù)學文化。數(shù)學文化體現(xiàn)在“和=（首項+末項）×項數(shù)÷2”這樣一個抽象的數(shù)學模型上，它不是冷酷無情的，而是具有悠久的歷史文化背景的。高斯趣題是許多學生耳熟能詳?shù)臄?shù)學故事，我們在講解這樣的故事時，往往被數(shù)學家聰明的頭腦所吸引，而忽視了積極思考、勤于探索的過程，更忽視了探索過程中可能遇到的挫折，好像數(shù)學家的成功完完全全依靠自己的天資，而不是自己的努力。如果抱著這樣的認識，那么介紹數(shù)學故事無疑是一種“我不能”的情感體驗，不能樹立學生數(shù)學學習的信心。數(shù)學家是怎么想到這樣的計算方法的呢？我們普通人能不能通過自己的努力也獲得這樣的方法呢？如果通過合適的教學設(shè)計，能讓學生體驗、感受到像數(shù)學家那樣的成功，那么這就是優(yōu)質(zhì)教學的魅力，也是數(shù)學文化的魅力所在。

我想到了幾何直觀。我國著名數(shù)學家華羅庚說過：“數(shù)缺形時難具體，形缺數(shù)時難入微?！睌?shù)學是有關(guān)數(shù)與形的學科，數(shù)與形是數(shù)學發(fā)展的兩翼，只有兩者互相依靠、和諧發(fā)展，才能使數(shù)學學習飛得更高、更遠。而新課程標準強調(diào)的幾何直觀，或許就是要求我們充分利用數(shù)學學習中數(shù)與形的兩種不同功能，因為數(shù)學的本質(zhì)是抽象，而學生的年齡特點是形象，幾何直觀可以成為抽象與形象之間的橋梁。等差數(shù)列的求和公式對于小學生來說是很抽象的，但如果能與梯形的面積公式建立起實質(zhì)性的聯(lián)系，那么抽象的公式就有了幾何直觀的形象支撐，對抽象公式的靈活運用就不再那么無依無靠。

我想到了課程資源。當今社會是信息化的，為我們的課堂教學提供了非常豐富的課程資源，許多要用的資料只要到網(wǎng)上查一查，就可以輕易獲取，作為教師首先要有合理取舍的意識與能力。同時教學手段的現(xiàn)代化，可以幫助我們制作出一些我們所需要的直觀圖，通過觀察、思考這樣的直觀圖，學生就容易抓住知識間的本質(zhì)聯(lián)系。教師的作用就是為學生的探索與實踐提供豐富而有吸引力的課程資源，讓學生的探索與實踐變得簡單而富有意義。隨著教師的職業(yè)不斷走向?qū)I(yè)化，對教師本體性知識的要求也在不斷提高，作為一個優(yōu)秀的數(shù)學教師必須有優(yōu)秀的數(shù)學素養(yǎng)。面對一個數(shù)學知識，學生或許只能看到一個點、一塊石，但教師必須看到一張網(wǎng)、一座山。

我想到了數(shù)學建模，學習數(shù)學就是學習如何建模，但如何幫助學生構(gòu)建起屬于自己能夠理解的“模”，必須基于學生原有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)，因為任何有意義的建構(gòu)都必須找到其建模的生長點。建模應(yīng)該是意義上的自然生長，而不是形式上的生拉硬扯，建立模型的外形或許不難，但模型內(nèi)涵的建立需要遵循一定的路徑，不能操之過急。

數(shù)學學習過程中，學生不可能有老師那么豐富的知識背景，能夠站在一定的高度來俯視等差數(shù)列的求和方法與梯形面積公式之間的本質(zhì)聯(lián)系，而老師開發(fā)的豐富的課程資源不但可以充分發(fā)揮幾何直觀在解決等差數(shù)列求和問題時的作用，便于學生充分內(nèi)生、內(nèi)化等差數(shù)列的求和模型，同時也領(lǐng)略了數(shù)學知識本身之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，感受到數(shù)學文化的魅力，更能發(fā)現(xiàn)自己也能像偉大的數(shù)學家那樣創(chuàng)造出自己的數(shù)學，用自己理解的數(shù)學解決、解釋生活問題，從而滿足自我現(xiàn)實的心理愿望。