王治芳

摘要：本文主要介紹數(shù)學思想方法，及其在初中數(shù)學教學中的應用。

關鍵詞：數(shù)形結合思想；數(shù)量關系；圖形關系。

數(shù)形結合思想是指將數(shù)與圖形結合起來解決問題的一種思維方式。一般地，人們把代數(shù)稱為“數(shù)”，而把幾何稱為“形”，數(shù)與形表面看是相互獨立，其實在一定條件下它們可以相互轉(zhuǎn)化，數(shù)量問題可以轉(zhuǎn)化為圖形問題，圖形問題也可以轉(zhuǎn)化為數(shù)量問題。在數(shù)學教學中，由數(shù)想形，以形助數(shù)的數(shù)形結合思想，具有可以使問題直觀呈現(xiàn)的優(yōu)點，有利于加深學生對知識的識記和理解；在解答數(shù)學題時，數(shù)形結合，有利于學生分析題中數(shù)量之間的關系，豐富表象，引發(fā)聯(lián)想，啟迪思維，拓寬思路，迅速找到解決問題的方法，從而提高分析問題和解決問題的能力。抓住數(shù)形結合思想教學，不僅能夠提高學生數(shù)形轉(zhuǎn)化能力，還可以提高學生遷移思維能力。

數(shù)形結合思想在數(shù)學幾乎全部的知識中，處處以數(shù)學對象的直觀表象及深刻精確的數(shù)量表達這兩方面給人以啟迪，為問題的解決提供簡捷明快的途徑。它的運用，往往展現(xiàn)出“柳岸花明又一村”般的數(shù)形和諧完美結合的境地。著名的數(shù)學家華羅庚先生曾作過精辟的論述：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事非。切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系切莫離。” 這就是在強調(diào)把數(shù)和形結合起來考慮的重要性。把問題的數(shù)量關系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)，或者把圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關系，可以使復雜問題簡單化、抽象問題具體化.因此，在教學中應重視數(shù)形結合思想的滲透，正確引導學生適時的應用數(shù)形結合思想。體會數(shù)形結合思想的應用價值。

在教材《有理數(shù)》里面用數(shù)軸上的點來表示有理數(shù)，就是最簡單的數(shù)形結合思想的體現(xiàn)，結合數(shù)軸表示有理數(shù)，能幫助學生較好地理解有理數(shù)的絕對值、相反數(shù)等概念，以及進行兩個有理數(shù)的大小比較。

例如上圖，在數(shù)軸上的兩點A、B表示的數(shù)分別為a、b，則表示下列結論正確的是（ ）

（A） （B）a-b>0（C）2a+b>0（D）a+b>0

分析：本題首先引導學生根據(jù)a、b在數(shù)軸上的位置，得到a<-1、0

容易發(fā)現(xiàn)，不管是用哪一種方法，都是把圖形和數(shù)量結合起來的解題，這種巧妙的結合可以使一些紛繁無緒，難以上手的問題獲得簡解。

數(shù)形結合思想的滲透不能簡單的通過解題來實現(xiàn)和灌輸，應該落實在課堂教學的學習探索過程中，如在《相反數(shù)》這節(jié)課，先從互為相反數(shù)的兩數(shù)在數(shù)軸上的特征，即它們分別位于原點的兩旁，且與原點距離相等的實例出發(fā)，揭示這兩數(shù)的幾何形象。充分利用數(shù)軸幫助思考，把一個抽象的數(shù)的概念，化為直觀的幾何形象。在這種情況下給出互為相反數(shù)的定義：只有符號不同的兩個數(shù)稱互為相反數(shù)。特別地規(guī)定：零的相反數(shù)是零。顯得自然親切，水到渠成。同時也讓學生在數(shù)形結合的思想方法的引領下感受到了成功，初步領略和嘗試了它的功用，是一個非常好的滲透背景。

又如，在教材《平面圖形的認識（一）》里我們會遇見這樣的問題：已知線段AB，在BA的延長線上取一點C使CA=3AB。（1）線段CB是線段AB的幾倍？（2）線段AC是線段CB的幾分之幾？

這個題目的呈現(xiàn)方式是圖形式，而設問內(nèi)容卻是一個數(shù)量問題。若學生不畫圖，則不易得到其數(shù)量關系，但學生只要把圖畫出，其數(shù)量關系就一目了然。此題的出題意圖即為數(shù)形結合的體現(xiàn)。

再看例2：完成下列計算：1+3=？

1+3+5=？

1+3+5+7=？

1+3+5+7+9=？

根據(jù)計算結果，探索規(guī)律。

在這題的教學中，首先應讓學生思考：從上面這些算式中你能發(fā)現(xiàn)什么？讓學生經(jīng)歷觀察（每個算式和結果的特點）、比較（不同算式之間的異同），歸納（可能具有的規(guī)律）、提出猜想的過程。在探索過程中可以鼓勵學生進行相互合作交流，也可以提供如下的幫助：

列出一個點陣，用圖形的直觀來幫助學生進行猜想。這就是典型的把數(shù)量問題轉(zhuǎn)化到圖形中來完成的題型。再如，在學習“函數(shù)”知識的時候，更是借助于函數(shù)的圖象來探討函數(shù)的知識，這是數(shù)形結合思想的最生動的應用。

再看例題： 如圖1，在矩形ABCD中，動點P從點B出發(fā)，沿BC，CD，DA運動至點A停止，設點P運動的路程為x，△ABP的面積為y，如果y關于x的函數(shù)圖像如圖2所示，則△ABC的面積是（ ）

A、10 B、16

C、18 D、 20

分析引導：把問題中的數(shù)量關系與形象直觀的幾何圖形有機的結合起來，并充分利用這種結合尋找解題的思路，使問題得到解決。另外，在分析問題的過程中，注意把數(shù)和形結合起來考查，根據(jù)問題的具體情形，把圖形性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關系的問題，或者把數(shù)量關系的問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問題，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易，獲取簡便易行的辦法。本題要將點的運動和△ABP的面積的變化與所給的圖像聯(lián)系起來，并找出對應的數(shù)量關系。

解：根據(jù)圖像，可得點P運動到點C走過的路程是4，即BC=4，點P從點C運動到點D的過程中，△ABP的面積未發(fā)生變化，點P走過的路程是5，故可得△ABC的面積為12 ×4×5=10。故選A。

在解決以上問題時，我們都用到了數(shù)形結合思想。 數(shù)學研究的對象是數(shù)量關系和空間形式，即“數(shù)”與“形”兩個方面，“數(shù)”與“形”兩者之間并不是孤立的，而是有著密切的聯(lián)系，數(shù)量關系的研究可以轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的研究，反之，圖形性質(zhì)的研究可以轉(zhuǎn)化為數(shù)量關系的研究，所以，我們一定要通過課堂的教學、習題的講解使學生充分地理解數(shù)中有形、形中有數(shù)、數(shù)形是緊密聯(lián)系的，從而得到數(shù)形之間的對應關系，并引導學生應用數(shù)形結合的思想方法學習數(shù)學知識、解決數(shù)學問題。

在運用數(shù)形結合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對數(shù)學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當設參、合理用參，建立關系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍。

參考文獻

周春荔.數(shù)學觀與方法論[J].北京：首都師范大學出版社，1996.8