林洪能

摘要：現(xiàn)行“輕負(fù)高質(zhì)”的大形勢下，教育要求我們教師要不斷提高育人質(zhì)量，在不加班加點的情況下，課堂教學(xué)的關(guān)鍵是高效率，而高效源于對課堂教學(xué)的不斷反思、不斷感悟、不斷總結(jié)。本文主要從悟“整合”之道、悟“活動”之道、悟“變式”之道等三個方面探討了如何提高常規(guī)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)“高效”性的一些思考及體會。

關(guān)鍵詞：課堂教學(xué)；悟道；高效

一、引言

從前，一學(xué)僧到法堂請示禪師：“我常常打坐，時時年經(jīng)，早起早睡，心不雜念。我想在您座下沒有一個人比我更用功了，可為什么還是無法開悟？”禪師拿了一個葫蘆，一塊鹽，交給學(xué)僧說：“你去將葫蘆裝滿水，再把鹽倒進去，使它立刻溶化，你就會開悟了！” 學(xué)僧遵照指示去做，沒多久，跑回來說道：“我把鹽塊裝進葫蘆，可它老不化；葫蘆口太小了，伸進筷子也攪不動。我還是無法開悟?！?禪師拿過葫蘆倒掉了一些水，然后只搖晃幾下，鹽塊就溶化了。禪師慈祥地說道：“一天到晚用功，不細(xì)心觀察生活，不留一些平常心，就如同裝滿水的葫蘆，搖不動，攪不得，如何化鹽，又如何開悟？”這是佛教故事《悟道之本》，故事說明僧人要“開悟”方能成為真正的大師，其實我們教師何嘗不是這樣呢？有些教師整天碌碌無為，學(xué)生一屆一屆走了，可自己的教學(xué)經(jīng)驗和課堂教學(xué)效率卻沒有隨之增長。所以教師不斷行“悟道”，課堂教學(xué)才會見“高效”。

那么，什么叫“悟道”，什么叫“高效”呢？本文提到的“悟道”，指的是：教師對自己參與的教學(xué)活動的回顧檢驗與認(rèn)識，本質(zhì)上是對教學(xué)的一種反省認(rèn)知活動。教師以自己的實踐過程為思考對象，在回放過程的基礎(chǔ)上，對其中的成敗得失及其原因進行思考，得到一定的能用以指導(dǎo)自己教學(xué)的理性認(rèn)識，并形成更為合理的實踐方案?！案咝А敝傅氖牵阂员M可能少的時間、精力和物力投入，取得盡可能好的教學(xué)效果。盡可能好的教學(xué)效果可以從以下兩個方面來體現(xiàn)：一是效率的最大化，也就是在單位時間內(nèi)學(xué)生的受益量；二是效益的最優(yōu)化，也就是學(xué)生受教育教學(xué)影響的積極程度。概括為：輕負(fù)擔(dān)，低消耗，全維度，高質(zhì)量。數(shù)學(xué)教學(xué)中“悟道”和圍棋高手的復(fù)盤同樣重要，它是提高教學(xué)能力，提高教學(xué)效率的最有效、最直接、最快速的途徑。

一、悟“整合”之道，見課堂高效

新課程理念強調(diào)，教學(xué)的過程是教師用材教的過程，而不是教教材的過程。葉圣陶說：“教材無非是個例子”，教材并不是教學(xué)的全部，教學(xué)也并不是緊緊盯著教材，惟教材是用。梁啟超說，“變則通，通則久”，要遠(yuǎn)離本本主義，要與時俱進，要海納百川，要融會貫通，把利于和符合教學(xué)目標(biāo)的內(nèi)容和手段等有效資源吸收、整合和運用到課堂教學(xué)中去。在教學(xué)實踐過程中，要大膽改革，勇于創(chuàng)新，“百尺竿頭更進一步”，要積極改進和推廣先進的教學(xué)方法，激發(fā)和調(diào)動學(xué)生的積極性和求知欲，力求課堂高效。

“已知三角形ABC，過B點作AC邊上的垂線”。

結(jié)果大半學(xué)生不能作出來。有些雖能作出，但錯誤百出（如錯誤（1），錯誤（2））。

美國心理學(xué)家波斯納認(rèn)為，沒有反思的經(jīng)驗是狹隘的經(jīng)驗，至多只能是膚淺的知識，他提出了教師成長的公式：成長=經(jīng)驗+反思。教完新課后，分析這道作業(yè)題時，雖經(jīng)過筆者的反復(fù)習(xí)提醒和層層鋪墊，才算挽救回部分學(xué)生的“知道”，但總不是滋味。憑多年教學(xué)經(jīng)驗，學(xué)生在作業(yè)中出現(xiàn)的普遍錯誤必與教師在課堂中的授課質(zhì)量有關(guān)。筆者回顧授課過程：先從生活中觀察發(fā)現(xiàn)存在著大量的垂直情況，引入垂線的定義，用動畫演示畫垂線的過程，歸納結(jié)論，講解例題，進入訓(xùn)練階段。在授課中，學(xué)生已經(jīng)從動畫演示中學(xué)會了畫一般情況的垂線，但對于需要添加輔助線的垂線畫法，筆者只是作了簡單的介紹，因為筆者認(rèn)為學(xué)生在小學(xué)時接觸過。在另一班授課時，筆者采用如下方法組織教學(xué)：

（1）過 外一點B作 的垂線；（2）過 外一點B作 的垂線；

（3）過AC外一點B作AC的垂線。

第（1）題是上課時動畫演示類似的題目，學(xué)生基本上會做，第（2）題是課后練習(xí)題中的一道題，第（3）題是作業(yè)中一道題。筆者把三道題目整合起來，相當(dāng)于把“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線垂線”作圖中需要添加輔助線的難點通過第（2）題達(dá)到了“一橋飛架南北，天塹變通途”的效果，且學(xué)生對于輔助線的添加也顯得自然合理，學(xué)生學(xué)得輕松有趣，且基本上能畫出第（3）題的答案，教學(xué)效率明顯提升。

前幾天同事說，他在教人教版九年級（下）27.2.2相似三角形的判定（2）之“邊邊邊”和“邊角邊”這節(jié)課后，學(xué)生的作業(yè)做得很不理想：（1）書寫格式亂七八糟；（2）遇到稍難些的推理題，便沒有什么思路或有些寫了一些思路，但無法準(zhǔn)確表達(dá)。筆者仔細(xì)分析發(fā)現(xiàn)：兩個判定放在一節(jié)課里學(xué)習(xí)表面上容量較大，但完全可以有機整合。教材中的例題是一道難度極小的判斷性習(xí)題，學(xué)生的推理缺少相應(yīng)判定定理的實踐性演練。筆者給他提出建議：（1）整合定理的推導(dǎo)過程?？深惐热切稳鹊呐卸ㄖ械腟SS和SAS學(xué)習(xí)，其中一個定理的推導(dǎo)可師生一起完成，另一個可類比推導(dǎo)。（2）把教材中的例1舍棄，配上一道新的例題。

如圖，在正方形ABCD中，P是BC上的點，且BP=3PC，Q是CD的中點，求證：△ADQ∽△QCP

證法1：（用判定“邊邊邊”）：

在正方形ABCD中，設(shè)它的邊長為AD=

∵Q是CD的中點，∴DQ=QC=

∵BP=3PC， ∴ PC=

由勾股定理推得：AQ=，PQ=

∴ △ADQ∽△QCP.

證法2：（用判定“邊角邊”）：

在正方形ABCD中，∵ Q是CD的中點，∴DQ=QC=

∵BP=3PC， ∴ PC=

∴ △ADQ∽△QCP.

整合一個好例題，不但鞏固了兩種判定方法，而且通過一題多解，可以鍛煉學(xué)生思維的廣闊性、深刻性、靈活性和獨創(chuàng)性。有人說：“規(guī)范辦學(xué)了，時間不夠用了”，尤其是實行“三案”以來，很多學(xué)生不能及時完成預(yù)習(xí)案，不能保證完成鞏固案。但是，這節(jié)課的設(shè)計，有“一條線拎起了兩條螞蝗”的感覺，我們要的就是這個效果，我們要把規(guī)范辦學(xué)下有限的40分鐘時間都當(dāng)成歌德筆下的《最后一課》來用。想盡一切辦法，提高課堂效率。

二、悟“活動”之道，見課堂高效

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾認(rèn)為：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種活動，這種活動與游泳、騎自行車一樣不經(jīng)過親身體驗，僅僅從看書本、聽講解、觀察他人的演示是學(xué)不會的。因而《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的“基本理念”中指出：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不能單純地依賴模仿與記憶。動手實踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式”，在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，“教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想與方法.獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗”。

聽過許多“三角形內(nèi)角和定理”的公開課，在證明定理時，教師通過種種途徑去解釋為什么要添加輔助線，但學(xué)生卻仍一知半解，化歸思想無法落實。這樣的課，好像是教師牽著學(xué)生過獨木橋一樣，教師一放手，學(xué)生便會摔跤。為了解決這種困惑，筆者對這塊內(nèi)容作了深入研究，一方面要讓學(xué)生領(lǐng)會三角形內(nèi)角和定理的證明中要構(gòu)造平角（1800），另一方面要讓學(xué)生能自然而然地想到必須去添加這些輔助線（合理性）。筆者從中“悟”出，設(shè)置如下數(shù)學(xué)活動，來化解學(xué)生的理解難點：

[活動1]拿三角形紙片（如圖1），把兩個角剪下，接在第三個角的頂點處，有幾種拼圖方法？

通過學(xué)生的動手操作，得出以下兩種拼圖的方法（如圖2）

拼圖活動直觀、形象地啟發(fā)學(xué)生猜想三角形內(nèi)角和定理，也啟發(fā)了學(xué)生找出證明此定理時的輔助線添法。

[活動2]拿同樣的三角形紙片，只剪下一個角進行拼圖，你能說明三角形的內(nèi)角和定理嗎？

這個活動是考慮到兩平行線的同旁內(nèi)角互補，因此猜想用平行線的性質(zhì)來拼圖驗證此定理（如圖3），這樣就發(fā)散了學(xué)生的思維。

[活動3]再拿出第三張三角形紙片，不剪出這張紙片中的任意一個內(nèi)角，你能通過對這張紙片的折疊來驗證三角形內(nèi)角和定理嗎？

問題激發(fā)了學(xué)生的興趣和好奇心。經(jīng)過活動操作，只要將三角形按圖4中的虛線折疊，拼成一個平角即可說明這一定理。這個

問題是活動1的遷移，培養(yǎng)了學(xué)生知識的遷移能力。

通過分組討論，學(xué)生得出以下四種輔助線的添法（如圖5）

以上活動的設(shè)計，讓學(xué)生真正領(lǐng)悟要得到三角形的內(nèi)角和定理的證明過程，添加輔助線成為水到渠成之事。杜威在其著作《我們怎樣思維》中講到“教師的成長和發(fā)展的第一步，就在于教師自身的反思”。可見，教師行“悟道”對促進教師改進教學(xué)策略，不斷提升自己教育教學(xué)水平有著重要的作用。

三、悟“變式”之道，見課堂高效

變式教學(xué)的宗旨是啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生研究、探索知識的發(fā)生、發(fā)展過程，有利于發(fā)揮學(xué)習(xí)主體的主動和能動作用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的注意力。變式教學(xué)可以較好地避免教學(xué)中使知識、技能、方法割裂的弊端，能使學(xué)生的思維向“深”和“寬”的方向發(fā)散，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性、深刻性、靈活性和創(chuàng)造性，能起到拓展學(xué)生思維的作用。變式教學(xué)能通過一個問題解決一類問題，有效地增大課堂教學(xué)容量，有效地控制課外作業(yè)量實現(xiàn)讓學(xué)生跳出“題?！保瑥亩鴾p輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，真正提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的效率。

（2010山東煙臺）手工制作課上，小紅利用一些花布的邊角料，剪裁后裝飾手工畫，下面四個圖案是她剪裁出的空心不等邊三角形、等邊三角形、正方形、矩形花邊，其中，每個圖案花邊的寬度都相等，那么，每個圖案中花邊的內(nèi)外邊緣所圍成的幾何圖形不相似的是（ ）。

筆者的愛人遇到上面一道題，她通過舉出一些具體的數(shù)據(jù)解釋給學(xué)生聽，比如設(shè)內(nèi)矩形的長為10，寬為5，小路寬為1，則外矩形的長為12，寬為7，，所以D選項這兩個矩形不一定相似，但她感覺到部分學(xué)生似懂非懂。來征求我如何分析，學(xué)生才會解惑？見到此題，筆者回憶起新人教版九年級（下）教材第39頁習(xí)題27.1第6題：

原題：如圖，矩形草坪長30m，寬20m，沿草坪四周有1m寬的環(huán)形小路，小路內(nèi)外邊緣所成的矩形EFGH和矩形ABCD是否相似？

筆者從中“悟道”，必須要通過探索這一類題來徹底解決雙矩形類問題。于是通過一節(jié)變式教學(xué)課提高課堂教學(xué)效率，發(fā)展學(xué)生思維品質(zhì)。具體做法如下：

解：∵矩形的每個內(nèi)角都等于900，

∴∠A=∠E=900，∠B=∠F=900，

∠C=∠G=900，∠D=∠H=900

即： 它們的對應(yīng)角對應(yīng)相等。

但它們的對應(yīng)邊：

∴矩形EFGH和矩形ABCD不相似

引導(dǎo)學(xué)生思考，如果改變矩形ABCD的長和寬，那么矩形EFGH和矩形ABCD相似嗎？進一步追問：如果改變矩形ABCD的長和寬不變，那么小路的寬為多少時，矩形EFGH和矩形ABCD相似？

設(shè)小路寬為x，對應(yīng)角都已經(jīng)對應(yīng)相等了（900）

還需條件：，即

解得x=0，這樣的小路寬不存在。

由以上可知： 邊緣寬度相同的內(nèi)外兩個矩形永遠(yuǎn)不可能相似。到此，學(xué)生對于2010山東煙臺的中考題便會不講自通。教師不妨再追問：既然邊緣寬度相同的內(nèi)外兩個矩形永遠(yuǎn)不可能相似，那么，邊緣寬度不相同的內(nèi)外兩個矩形有沒有可能相似呢？此時，學(xué)生的探究欲望會被再一次燃燒。

設(shè)小路寬為x和y，對應(yīng)角都已經(jīng)對應(yīng)相等了（900），

還需條件：，即

解得

結(jié)論：當(dāng)橫向小路的寬與縱向小路的寬之比為3：2時，矩形EFGH和矩形ABCD相似。

如果矩形ABCD的長為m，寬為n，叫學(xué)生猜想：是否成立。

還需條件：，即

。結(jié)論：當(dāng)橫向小路的寬與縱向小路的寬之比為m：n時，矩形EFGH和矩形ABCD相似。也就是說，當(dāng)橫向小路的寬與縱向小路的寬之比等于矩形ABCD的長與寬之比時，矩形EFGH和矩形ABCD相似。

教師再次追問：那么兩個梯形呢？如果梯形ABCD的各邊向外平移2個單位得到新的梯形EFGH，試問兩個梯形相似的條件是什么？（答案：若EA，F(xiàn)B，GC，HD的延長線能交于一點時，所得到的兩個梯形能相似。）

通過層層追問，學(xué)生的思維被一次次激活，通過這一系列的變式拓展訓(xùn)練，不但能開闊學(xué)生的解題思路，而且啟發(fā)學(xué)生建立了課本例題，課外習(xí)題之間的聯(lián)系，使學(xué)生在做題時做到“遇新題，憶舊題，多思考，善聯(lián)想、多變換、找規(guī)律”，從而培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)變能力和創(chuàng)造性思維能力。著名數(shù)學(xué)家波利亞說過“一個專心認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個有變化但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個完整的理論領(lǐng)域”。教師在教學(xué)過程中，“悟道”起著關(guān)鍵的因素，通過“悟道”進行變式教學(xué)，講一題，串一類，課堂教學(xué)效率明顯提升。

身為教師，就要在工作中不斷學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)中不斷“悟道”，在“悟道”中不斷實踐，在實踐中努力探索，才能使自己在理論上提升、在經(jīng)驗中升華、在研究中突破、在追求中完善，成為現(xiàn)代教學(xué)中的合格高效的教師。

旦旦為之，終日成騏驥；“悟道”著，快樂著。

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