王國紅， 盛宏玉

（1.合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院，安徽 合肥 230009；2.安徽省建筑設(shè)計(jì)研究院有限責(zé)任公司，安徽 合肥 230002）

吊桿是現(xiàn)代拱橋的主要承載構(gòu)件之一，吊桿索力的大小直接關(guān)系到整橋的受力狀況，吊桿索力的控制是保證在服役期內(nèi)橋梁能夠正常工作的關(guān)鍵要素。目前采用頻率法測試吊桿的索力主要是基于弦振動(dòng)理論，導(dǎo)出索力與吊桿自振頻率的直接對應(yīng)關(guān)系，再通過檢測吊桿的自振頻率來推算吊桿的索力。但在實(shí)際工程中，基于弦振動(dòng)理論的頻率法與實(shí)際情況差別較大，主要原因是弦振動(dòng)理論忽略了吊桿剛度、邊界條件和索體長度等因素對吊桿自振頻率的影響。對斜拉橋而言，拉索的長度一般較長，這種影響產(chǎn)生的誤差較小，滿足工程精度的要求。但吊桿拱橋的吊桿比斜拉橋的拉索要短很多，一般為十幾米，有的甚至只有幾米，吊桿剛度、邊界條件對這種短索自振頻率的影響非常大［1－3］。傳統(tǒng)的頻率法在測量短索的索力時(shí)存在較大誤差，不能夠真實(shí)反應(yīng)短索頻率與索力之間關(guān)系。因此，需要尋求一種能準(zhǔn)確描述索力與頻率關(guān)系的測試公式。本文綜合考慮了吊桿的邊界條件、抗彎剛度的影響，采用有限差分法對吊桿的自由振動(dòng)微分方程進(jìn)行離散，通過求解特征值問題建立了索力與振動(dòng)頻率的關(guān)系；最后結(jié)合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對比分析，其精度能滿足工程要求。

1 吊桿橫向自由振動(dòng)微分方程

目前檢測吊桿的索力常采用下列公式：

（1）以弦模型為研究對象，不考慮抗彎剛度EI，計(jì)算公式為：

（2）以受軸向拉力的兩端簡支歐拉梁為研究對象，計(jì)算公式為：

其中，F(xiàn)N為吊桿的索力；fn為第n階自振頻率；n為振型階數(shù)；m為單位長度的質(zhì)量；l為計(jì)算長度；EI為抗彎剛度。

通常，吊桿的兩端分別采用錨固體與橋體錨固，故兩端接近于固支邊界條件。由于吊桿一般較短，采用弦模型的（1）式是不合適的，而邊界條件對固有頻率的影響非常大，故采用測試（2）式也是不合適的。因此，應(yīng)采用歐拉梁模型，根據(jù)實(shí)際的邊界條件來求解。設(shè)梁除了受橫向荷載F（x，t）外，還受軸向拉力FN（x，t）的作用，如圖1所示。

圖1 梁橫向振動(dòng)時(shí)受軸向力FN的作用

在梁的軸線x位置處截取單元體dx，根據(jù)單元體的受力情況列力和力矩的平衡條件，得到變截面梁受軸向荷載作用和橫向荷載共同作用時(shí)橫向振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程［4］為：

對于等截面梁的自由振動(dòng)，（3）式變?yōu)椋?/p>

取自由振動(dòng)解的形式為：

代入自由振動(dòng)方程（4）式，得

2 兩端固支時(shí)吊桿的振動(dòng)頻率方程

對吊桿橫向振動(dòng)的微分方程（6）式進(jìn)行無量綱化處理，取無量綱坐標(biāo)ˉx＝x／l，得

通常，系桿拱橋的吊桿兩端錨固于拱肋的頂部和橋面梁板的底面，故一般對方程（7）式采用的兩端固支邊界條件為：

（7）式為四階的齊次線性微分方程，根據(jù)（8）式和非零解的條件可得等截面吊桿受軸向拉力作用時(shí)橫向振動(dòng)的頻率方程［5］為：

方程（7）和（9）中只包含a和b 2個(gè)參量，可方便求解。為找到張力FN與固有頻率之間的關(guān)系，在求解頻率方程（9）時(shí)，通常先設(shè)定FN的某個(gè)值，由吊桿的參數(shù)計(jì)算對應(yīng)的b值，再根據(jù)數(shù)值方法（如頻率搜索法）解出一系列的頻率參數(shù)ai，由此確定對應(yīng)的各階固有頻率ωi。但頻率方程（9）只適合于等截面梁，不適合變截面梁或有附加集中質(zhì)量（如吊桿兩端安裝的防雨罩）等情況。為擴(kuò)大其適用范圍，本文應(yīng)用差分法直接求解方程（7），所得結(jié)果將與實(shí)驗(yàn)結(jié)果及方程（9）的理論解進(jìn)行對比，以評價(jià)求解的有效性。差分法思想簡單、適用性強(qiáng)，是一種經(jīng)濟(jì)而高效的數(shù)值方法。

3 吊桿橫向振動(dòng)微分方程

差分法解題的基本思路是泰勒級(jí)數(shù)對函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的逼近。函數(shù)f（x）在x0點(diǎn)展開為泰勒級(jí)數(shù)［6］如下：

對于本文研究的吊桿，在單元?jiǎng)澐謺r(shí)將其作為一維問題來考慮。采用中央差分公式，在對方程（7）進(jìn)行離散時(shí)，等間隔將吊桿單元?jiǎng)澐譃镹段，每段的長度h＝1／N，各結(jié)點(diǎn)編號(hào)依次從0到N，虛設(shè)結(jié)點(diǎn)的編號(hào)為－1和N＋1，如圖2所示。

圖2 吊桿單元的劃分

對第i個(gè)結(jié)點(diǎn)的差分格式分別為：

根據(jù)邊界條件Y0＝0，Y′（0）＝0；YN＝0，Y′（N）＝0，可得關(guān)系式：

將（11）式代入無量綱方程（7），并考慮邊界條件（12）式，對任一結(jié)點(diǎn)i可得差分方程為：

結(jié)點(diǎn) 1 ［6Y1－4（Y0＋Y2）＋Y1＋Y3］／h4－b2［Y0＋Y2－2Y1］／h2＝a4Y1，即

將以上方程用矩陣表示為：

其中，λ＝a4；A為實(shí)對稱矩陣；Y 為結(jié)點(diǎn)振幅矢量。A、Y分別如下：

采用Matlab編程［7－8］建立方程（15），通過求解特征值問題得出a與b之間的關(guān)系，再換算出吊桿的索力與頻率之間的關(guān)系。為檢驗(yàn)差分法求解的有效性，在方程（15）中令b＝1.0，h＝1.0／N，不同的差分網(wǎng)格下頻率參數(shù)a的計(jì)算結(jié)果見表1所列。

表1 不同的N時(shí)頻率參數(shù)a的計(jì)算結(jié)果

由表1可以看出，當(dāng)N＞100時(shí)，差分法的計(jì)算結(jié)果已收斂，本文取N＝120。

4 吊桿實(shí)驗(yàn)及結(jié)果的對比分析

為驗(yàn)證本文方法的有效性，設(shè)計(jì)了吊桿實(shí)驗(yàn)，用普通圓鋼來模擬吊桿，在材料試驗(yàn)機(jī)上對試件施加軸向拉力，用加速度傳感器拾取橫向振動(dòng)的響應(yīng)。為減小傳感器附加質(zhì)量對測試結(jié)果的影響，將傳感器在靠近試件的端部安裝，如圖3所示。

圖3 吊桿試件及傳感器安裝圖

選擇直徑d＝10.7mm的圓鋼作為吊桿試件的模型，控制最大荷載以保證試件的軸向應(yīng)力小于材料的屈服極限，彈性模量E＝2.1×105MPa。由于試驗(yàn)機(jī)行程的限制，共選擇3種長度進(jìn)行測試。信號(hào)采集和頻譜分析采用南京安正軟件工程有限公司研發(fā)的“CRAS動(dòng)態(tài)信號(hào)采集與分析系統(tǒng)”，分析得出的典型頻譜圖如圖4所示。頻譜曲線中的峰值頻率即為吊桿試件的固有頻率。各工況下的測試頻率與計(jì)算頻率的結(jié)果對比分別見表2所列，其中的誤差是指差分解與測試結(jié)果的相對誤差，理論解由方程（9）求出。

圖4 吊桿橫向振動(dòng)的頻譜圖

表2 吊桿試件固有頻率測試結(jié)果與計(jì)算結(jié)果的對比

由表2可見，差分解與理論解的誤差非常小，桿件越細(xì)越長，差分解與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差越小，說明測試誤差與試件的長細(xì)比λ＝EI／l2有關(guān)［9］。另外，二階頻率的誤差比一階頻率大。造成測試誤差的主要原因如下：① 試件兩端并非絕對固支；② 吊桿試件本身的質(zhì)量不大，傳感器附加質(zhì)量有一定的影響。結(jié)果表明，差分法的計(jì)算精度能滿足工程需要。

5 應(yīng)用分析

本文引入無量綱的參數(shù)，方便了方程的求解與應(yīng)用。如果給定吊桿的參數(shù)與索力FN，可得出無量綱索力參數(shù)b，用差分法求解方程（15）可得出一系列無量綱的頻率參數(shù)ai。限于篇幅，幾個(gè)不同b值所對應(yīng)的ai見表3所列，由此即可確定吊桿的固有頻率ωi。

而工程檢測與上述過程相反，此時(shí)吊桿的參數(shù)已知，而索力FN待測。應(yīng)用本文的計(jì)算結(jié)果，只要將表3中b值的增量取得足夠小，就可以根據(jù)測試的吊桿固有頻率算出對應(yīng)的a值，通過查表的方式反推出吊桿所對應(yīng)的b值，進(jìn)而可確定吊桿的索力FN。

表3 不同b值所對應(yīng)的頻率參數(shù)ai

6 結(jié)束語

本文運(yùn)用有限差分法將吊桿的橫向自由振動(dòng)方程轉(zhuǎn)換為特征值方程，采用Matlab軟件編程來求解特征值問題，從而求出吊桿的固有頻率。差分法具有思想明確、編程方便，同時(shí)適合于變截面桿和任意邊界條件，因而適用性較廣。對吊桿選擇不同的截面、長度等幾何參數(shù)和所受的索力，根據(jù)差分法進(jìn)行參數(shù)分析，可以建立索力參數(shù)b和頻率參數(shù)a之間的關(guān)系，并能編制詳細(xì)的數(shù)表。在實(shí)際工程中，如果吊桿的參數(shù)（m，l，EI）已知，可以通過測試的吊桿固有頻率確定相應(yīng)的頻率參數(shù)a，再來查表確定對應(yīng)的內(nèi)力參數(shù)b，進(jìn)而推算吊桿所受的索力。

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