李紀強,周斌,丁益民,2

(1.湖北大學物理學與電子技術學院,湖北 武漢 430062; 2.中國科學院理論物理研究所,理論物理國家重點實驗室,北京 100190)

0 引言

單擺是物理學中一個很常見的模型,吸引了許多學者對其進行研究[1-6].伽利略最早發(fā)現了單擺振動的等時性,并用實驗證明單擺的周期隨擺長的二次方根變化.惠更斯第一次用單擺制作了擺鐘,并從擺鐘在南美洲比在巴黎每天慢2.5 min而推斷這是由于地球自轉引起的引力減弱導致的.牛頓用單擺證明了物體的重量總是與質量成正比.現在天文學中也常用單擺測量星體表面的重力加速度[7].由于單擺方程沒有嚴格的解析解,在計算機誕生前,大多數討論只限于小初始擺角的情況,對大角擺動僅用相圖做了粗略的解釋.本文中利用MATLAB軟件嚴格求解單擺方程從而研究其混沌現象[8-11],通過數值分析的方法避免了其運動方程無嚴格解析解的問題.在對其現象進行模擬的同時,形象直觀地呈現了單擺的周期、運動形式的演化與其參數的重要聯系.基于單擺系統(tǒng)對初始條件的敏感依賴性,本文中在總結前人工作的基礎上給出一種新的衡量混沌系統(tǒng)敏感性的量化指標——敏感系數,對研究非線性力學系統(tǒng)參數對運動形式演化的影響具有參考價值.

1 無阻尼的單擺

無驅動力、無阻尼的單擺的運動可由的方程(1)描述,其中θ為鉛直方向與擺線的夾角,m為擺球質量,L為擺長,g為重力加速度.

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整理得

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數學理論表明,方程(2)沒有嚴格的解析解,一般的情況下,sinθ≈θ的近似不成立.利用數值分析中的龍格庫塔法[12-13]可以求出方程(2)的數值解,參數取值為g=10 m/s2,L=1 m,m=1 kg.單擺的周期性運動的圖像如圖1所示.可以看出,與小角度擺動不同的是,初始擺角影響單擺的周期,且初始擺角越大,周期越長,當初始擺角為π時,單擺的周期趨于無窮大,即系統(tǒng)出現了相變現象.

圖1 不同初始擺角條件下單擺的運動圖像

圖2 周期比隨初始擺角的變化

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(4)

周期比隨時間的變化如圖2所示,可以看出初始擺角為π時,單擺的周期趨于無窮大,這與前面的結論吻合.

對混沌理論的研究中,用的比較多的是相圖[15].對于單擺,由機械能守恒定律得

(5)

(6)

圖3 1周期的相圖

對于遠離臨界值的能量初值E,而后的運動是完全確定的,運動能夠預測和重復,即能量初值“相同”則運動可以“重現”.當然,這里的“相同”指誤差可以忽略不計,這類運動通常稱為“規(guī)則運動”,對“規(guī)則運動”的研究確立了對牛頓力學“確定性”的認識.對于能量初值在臨界值附近波動的運動,可能呈現出大為不同的情況.從相圖上可以看出,如果能量初值略小于臨界值,則運動遵從相圖中閉合曲線的規(guī)律運動;而能量初值略大于臨界值時,運動對應的相圖中的曲線是非閉合的.在臨界值附近一個微小的擾動能夠造成結果的巨大差別.若δ是一個十分小的量以至于測量儀器測不出來,那么對能量E=2mgL+δ的初值都將認為是E=2mgL的初值,這時實驗中將會觀察到,對應“相同”的能量初值隨著時間的變化有時演化成往復擺動,有時候演化成單向轉動,運動出現了不可預測的“隨機性”,單擺的這種“隨機行為”稱為混沌行為.

2 有阻尼的單擺

假設阻力與速度成正比,阻尼系數為γ,單擺的運動方程可寫為：

圖4 單擺在(a)負阻尼,γ=-0.2 s-1;(b)無阻尼,γ=0;(c)阻尼,γ=0.2 s-1情況下的相圖

(7)

可以分別畫出單擺在負阻尼(γ=-0.2s-1)、無阻尼(γ=0)、阻尼(γ=0.2s-1)情況下的相圖,此處初始擺角設定為θ0=π/8,如圖4所示.可以看出,在負阻尼的狀態(tài)下,系統(tǒng)的能量增加,單擺遠離最初的平衡位置,又稱“排斥子”.在無阻尼狀態(tài)下,小角度單擺相軌跡是閉合的,單擺的狀態(tài)可以確定.在阻尼狀態(tài)下,由于能量的耗散,單擺的振幅越來越小,最后靜止在平衡位置上,它的相軌跡為一條內旋的對數螺旋線,螺旋線中心是穩(wěn)定的焦點,又稱為“吸引子”[16-19].進一步研究可發(fā)現:混沌吸引子的圖形雖然復雜,但它的結構具有穩(wěn)定性,一般隨著時間的增長,其軌線是不會重疊的,它是混沌系統(tǒng)中無序穩(wěn)態(tài)的運動形態(tài).具有無窮嵌套的自相似結構是混沌吸引子最典型的特征,如果取出吸引子中的一小部分進行放大,它將具有和原來吸引子相同的內部結構;若繼續(xù)在其取出的一小部分中再取出一小部分繼續(xù)放大,則它依然具有與原吸引子相同的內部結構,如此循環(huán),以至無窮[20].

3 敏感性分析

混沌系統(tǒng)對初始條件的敏感依賴是混沌現象的特征之一,本文中對混沌現象中初始條件變化時產生的差異進行分析.以無阻尼單擺為例,固定參數為g=10 m/s2,L=1 m,m=1 kg.改變初始擺角,比較同一時間點單擺運動的θ值的差異.小角度情況下,方程(2)有較好的線性特征,結果有較好的預測性.在臨界值θ0=π附近,初始條件較小的波動隨時間的增加而被“放大”,結果差異很大,如圖5所示.這種結果的波動作為將來時間的“初始條件”進一步被“放大”,所謂“差之毫厘,謬以千里”.為了描述單擺混沌現象對初始條件的敏感性,在參考他人的工作的基礎上[21-22],本文中給出了一個量化的敏感性評價指標——敏感系數S.

圖5 初始條件在臨界值附近(0.97π<θ0<1.03π)時的單擺運動

圖6 無阻尼單擺的敏感系數隨初始擺角和擺長的變化

圖7 無阻尼單擺的不同擺長條件下敏感系數隨初始擺角的變化

圖8 有阻尼單擺的敏感系數隨初始擺角和阻尼系數的變化

4 結論

通過高精度的數值計算,嚴格求解無阻尼單擺和有阻尼單擺的運動方程,研究了單擺擺長、阻尼系數和初始擺角對單擺運動的影響.研究結果表明:單擺的周期與初始擺角有關;單擺在大角擺動時,系統(tǒng)的演化情況強烈依賴初始條件,不具有小角擺動的“可預測性”,它呈現出混沌行為.究其原因,大角擺動的運動方程不是一個線性微分方程,它的解不具有穩(wěn)定性.通過計算敏感系數,發(fā)現初始擺角、單擺擺長、阻尼系數均能影響混沌系統(tǒng)的敏感性.

[1] Fulcher L P, Davis B F. Theoretical and experimental study of the motion of the simple pendulum[J]. Am J Phys,1976,44(1):51-55.

[2] Lima F M S, Arun P. An accurate formula for the period of a simple pendulum oscillating beyond the small angle regime[J]. Am J Phys,2006,74:892.

[3] Kidd R B, Fogg S L. A simple formula for the large-angle pendulum period[J]. Phys Teach,2002,40:81.

[4] Bender C M, Holm D D, Hook D W. Complex trajectories of a simple pendulum[J]. J Phys A: Math Theor,2007,40(3):F81.

[5] Antman S S. The simple pendulum is not so simple[J]. SIAM Rev,1998,40(4):927-930.

[6] Qing X Y, Pei D. Comment on approximation for a large-angle simple pendulum period[J]. Eur J Phys,2009,30(5):L79.

[7] Parks H V, Faller J E. Simple pendulum determination of the gravitational constant[J]. Phys Rev Lett,2010,105(11):110801.

[8] Liu Z H, Zhu W Q. Homoclinic bifurcation and chaos in simple pendulum under bounded noise excitation[J]. Chaos, Soliton Fract,2004,20(3):593-607.

[9] Humieres D, Beasley M R, Huberman B A, et al. Chaotic states and routes to chaos in the forced pendulum[J]. Phys Rev A,1982,26(6):3483.

[10] Blackburn J A, Zhou J Y, Vik S, et al. Experimental study of chaos in a driven pendulum[J]. Phys D: Nonlinear Phenomena,1987,26(1):385-395.

[11] Kadanoff L P. From periodic motion to unbounded chaos: investigations of the simple pendulum[J]. Phys Scripta,2007,1985(T9):5.

[12] Butcher J C. The numerical analysis of ordinary differential equations: Runge-Kutta and general linear methods[M]. New York: Wiley Int Sci,1987.

[13] Jameson A, Schmidt W, Turkel E. Numerical solutions of the Euler equations by finite volume methods using Runge-Kutta time-stepping schemes[J]. AIAA,1981,1259:1981.

[14] 陳文濤,龔善初.單擺振動分析[J].湖南理工學院學報:自然科學版,2008,21(1):68.

[15] Matthews P C, Strogatz S H. Phase diagram for the collective behavior of limit-cycle oscillators[J]. Phys Rev Lett,1990,65(14):1701-1704.

[16] Lorenz E N. Deterministic nonperiodic flow[J]. J Atmos Sci,1963,20(2):130-141.

[17] Brandstater A, Swinney H L. Strange attractors in weakly turbulent Couette-Taylor flow[J]. Phys Rev A,1987,35(5):2207.

[18] Ott E. Strange attractors and chaotic motions of dynamical systems[J]. Rev Mod Phys,1981,53(4):655.

[19] Grassberger P, Procaccia I. Characterization of strange attractors[J]. Phys Rev Lett,1983,50(5):346-349.

[20] 王海紅,傅廷亮,李菊芳.分形和混沌系統(tǒng)的仿真[J].吉首大學學報:自然科學版,2012,33(4):46-48.

[21] Kolyada S F. Li-Yorke sensitivity and other concepts of chaos[J]. Ukr Mat J,2004,56(8):1242-1257.

[22] Blümel R. Exponential sensitivity and chaos in quantum systems[J]. Phys Rev Lett,1994,73(3):428-431.