李勇軍

“變式”主要是指對(duì)例題進(jìn)行變通推廣，重新認(rèn)識(shí)，恰當(dāng)合理的變式能營(yíng)造一種生動(dòng)活潑、寬松自由的氛圍，開(kāi)闊學(xué)生的視野，激發(fā)學(xué)生的情趣，有助于培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新意識(shí)，并能使學(xué)生舉一反三、事半功倍。本人在教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，有些教師對(duì)變式的“度”把握不準(zhǔn)確，不能因材施教，單純地為了變式而變式，給學(xué)生造成了過(guò)重的心理負(fù)擔(dān)，使學(xué)生產(chǎn)生了逆反心理，“高投入、低產(chǎn)出”，事倍功半。

1.變式要在原例題的基礎(chǔ)上進(jìn)行，要主體思路不變，不能“拉郎配”，要有利于學(xué)生通過(guò)變式題目的解答，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解和掌握。在新授基本不等式“a，b∈R+， ≥ （當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取‘=號(hào)）”的應(yīng)用時(shí)，給出了如下的例題及變式：

例1：已知x>0，求y=x+ 的最小值。

變式1：x∈R，函數(shù)y=x+ 有最小值嗎？為什么？

變式2：已知x>0，求y=x+ 的最小值。

變式3：函數(shù)y=x+ 的最小值為2嗎？

由該例題及三個(gè)變式的解答，使學(xué)生加深了對(duì)基本不等式成立的三個(gè)條件“一正、二定、三相等”的理解與掌握，為基本不等式的正確使用打下了較堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

2.變式要限制在學(xué)生思維水平的“最近活動(dòng)區(qū)”上，變式題目的解決要在學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)之上，并且要結(jié)合教學(xué)的目的和要求，要有助于學(xué)生對(duì)本節(jié)課內(nèi)容的掌握。在新授定理“a，bR+， ≥ （當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取‘=號(hào)）”的應(yīng)用時(shí)，把變式3改為：求函數(shù)y=x+ 的最小值，則顯得有些不妥。因?yàn)楸竟?jié)課的重點(diǎn)是讓學(xué)生熟悉不等式的應(yīng)用，而解答變式3不但要指出函數(shù)的最小值不是2，而且還要借助于函數(shù)的單調(diào)性求出最小值，這樣本堂課就要用不少時(shí)間去證明單調(diào)性，“干擾”了“不等式應(yīng)用”這一“主干”知識(shí)的傳授；但若作為課后思考題讓學(xué)生去討論，則將是一種較好的設(shè)計(jì)。

3.變式要有梯度，循序漸進(jìn)，切不可搞“一步到位”，否則會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒，影響到問(wèn)題的解決，降低學(xué)習(xí)的效率。在新授利用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題時(shí)，（蘇教版）課本給出了例題：平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過(guò)同一點(diǎn)，證明交點(diǎn)的個(gè)數(shù)f（n）= 。在證明的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生注意觀察f（k）與f（k+1）的關(guān)系有f（k+1）-f（k）=k，從而給出：

變式1：平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過(guò)同一點(diǎn)，求這n條直線共有幾個(gè)交點(diǎn)。

此變式自然恰當(dāng)，變證明為探索，使學(xué)生在探索f（k）與f（k+1）的關(guān)系的過(guò)程中得了答案，而且鞏固加深了對(duì)數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題的一般方法的理解。類似地還可以給出：

變式2：平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過(guò)同一點(diǎn)，該n條直線把平面分成f（n）個(gè)區(qū)域，則f（n+1）=f（n）+ 。

變式3：平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過(guò)同一點(diǎn)，該n條直線把平面分成f（n）個(gè)區(qū)域，求f（n）。

上述變式3在變式1與變式2的基礎(chǔ)上很容易掌握，但若沒(méi)有變式1與變式2而直接給出變式3，學(xué)生解決起來(lái)就非常困難，對(duì)樹(shù)立學(xué)生的學(xué)習(xí)信心是不利的，從而也降低了學(xué)習(xí)的效率。

4.提倡讓學(xué)生參與題目的變式。變式并不是教師的“專利”，教師必須轉(zhuǎn)變觀念，發(fā)揚(yáng)教學(xué)民主，師生雙方密切配合，交流互動(dòng)，只要是學(xué)生能夠提出問(wèn)題的，教師絕不包辦代替，學(xué)生變式有困難的，可在教師的點(diǎn)撥與啟發(fā)下完成，這樣可以調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，提高學(xué)生參與創(chuàng)新的意識(shí)。

如在學(xué)習(xí)向量的加法與減法時(shí)，有這樣一個(gè)習(xí)題：設(shè)A，B，C是平面內(nèi)任意三點(diǎn)，求證： + + = （蘇教版必修4P72習(xí)題2.2）在引導(dǎo)學(xué)生給出解答后，教師提出如下思考：

①你能用文字?jǐn)⑹鲈擃}嗎

通過(guò)討論，暢所欲言、補(bǔ)充完善，會(huì)有：

變式1：如果三個(gè)向量首尾連接可以構(gòu)成三角形，且這三個(gè)向量的方向順序一致（順時(shí)針或逆時(shí)針），則這三個(gè)向量的代數(shù)和為零。

②大家再討論一下，這個(gè)結(jié)論是否只對(duì)三角形適合。

通過(guò)討論學(xué)生首先想到對(duì)四邊形適合，從而有：

變式2： + + + =

③大家再想一想或動(dòng)筆畫(huà)一畫(huà)滿足變式2的這四個(gè)向量是否一定可構(gòu)成四邊形。

在教師的啟發(fā)下不難得到結(jié)論：四個(gè)向量首尾相連不論是否可形成四邊形，只要它們的方向順序一致，則這四個(gè)向量的代數(shù)和為零。

④進(jìn)一步啟發(fā)，學(xué)生自己就可得出n條封閉折線的一個(gè)性質(zhì)：

變式3： + +…… + 1=

最后再讓學(xué)生思考若把 + + = 改為任意的三個(gè)向量則這三個(gè)向量 + + = 是否還可以構(gòu)成三角形這就是P68習(xí)題2.2的第7小題，學(xué)生很容易得出答案。至此，學(xué)生大腦中原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)被激活，學(xué)生的求知欲被喚起，形成了教師樂(lè)教、學(xué)生樂(lè)學(xué)的良好局面。

變式教學(xué)中習(xí)題的變式方式、形式及內(nèi)容，要根據(jù)教材的內(nèi)容和學(xué)生的情況來(lái)安排，因材施教是課堂教學(xué)永遠(yuǎn)要堅(jiān)持的原則，恰當(dāng)合理的變式，可使學(xué)生一題多解和多題一解，有助于學(xué)生把知識(shí)學(xué)活，有助于學(xué)生舉一反三、觸類旁通，有助于學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)的“最佳動(dòng)機(jī)”和激發(fā)學(xué)生的靈感，它能升華學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

（作者單位：江蘇淮安市新馬高級(jí)中學(xué)）endprint

“變式”主要是指對(duì)例題進(jìn)行變通推廣，重新認(rèn)識(shí)，恰當(dāng)合理的變式能營(yíng)造一種生動(dòng)活潑、寬松自由的氛圍，開(kāi)闊學(xué)生的視野，激發(fā)學(xué)生的情趣，有助于培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新意識(shí)，并能使學(xué)生舉一反三、事半功倍。本人在教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，有些教師對(duì)變式的“度”把握不準(zhǔn)確，不能因材施教，單純地為了變式而變式，給學(xué)生造成了過(guò)重的心理負(fù)擔(dān)，使學(xué)生產(chǎn)生了逆反心理，“高投入、低產(chǎn)出”，事倍功半。

1.變式要在原例題的基礎(chǔ)上進(jìn)行，要主體思路不變，不能“拉郎配”，要有利于學(xué)生通過(guò)變式題目的解答，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解和掌握。在新授基本不等式“a，b∈R+， ≥ （當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取‘=號(hào)）”的應(yīng)用時(shí)，給出了如下的例題及變式：

例1：已知x>0，求y=x+ 的最小值。

變式1：x∈R，函數(shù)y=x+ 有最小值嗎？為什么？

變式2：已知x>0，求y=x+ 的最小值。

變式3：函數(shù)y=x+ 的最小值為2嗎？

由該例題及三個(gè)變式的解答，使學(xué)生加深了對(duì)基本不等式成立的三個(gè)條件“一正、二定、三相等”的理解與掌握，為基本不等式的正確使用打下了較堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

2.變式要限制在學(xué)生思維水平的“最近活動(dòng)區(qū)”上，變式題目的解決要在學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)之上，并且要結(jié)合教學(xué)的目的和要求，要有助于學(xué)生對(duì)本節(jié)課內(nèi)容的掌握。在新授定理“a，bR+， ≥ （當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取‘=號(hào)）”的應(yīng)用時(shí)，把變式3改為：求函數(shù)y=x+ 的最小值，則顯得有些不妥。因?yàn)楸竟?jié)課的重點(diǎn)是讓學(xué)生熟悉不等式的應(yīng)用，而解答變式3不但要指出函數(shù)的最小值不是2，而且還要借助于函數(shù)的單調(diào)性求出最小值，這樣本堂課就要用不少時(shí)間去證明單調(diào)性，“干擾”了“不等式應(yīng)用”這一“主干”知識(shí)的傳授；但若作為課后思考題讓學(xué)生去討論，則將是一種較好的設(shè)計(jì)。

3.變式要有梯度，循序漸進(jìn)，切不可搞“一步到位”，否則會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒，影響到問(wèn)題的解決，降低學(xué)習(xí)的效率。在新授利用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題時(shí)，（蘇教版）課本給出了例題：平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過(guò)同一點(diǎn)，證明交點(diǎn)的個(gè)數(shù)f（n）= 。在證明的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生注意觀察f（k）與f（k+1）的關(guān)系有f（k+1）-f（k）=k，從而給出：

變式1：平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過(guò)同一點(diǎn)，求這n條直線共有幾個(gè)交點(diǎn)。

此變式自然恰當(dāng)，變證明為探索，使學(xué)生在探索f（k）與f（k+1）的關(guān)系的過(guò)程中得了答案，而且鞏固加深了對(duì)數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題的一般方法的理解。類似地還可以給出：

變式2：平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過(guò)同一點(diǎn)，該n條直線把平面分成f（n）個(gè)區(qū)域，則f（n+1）=f（n）+ 。

變式3：平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過(guò)同一點(diǎn)，該n條直線把平面分成f（n）個(gè)區(qū)域，求f（n）。

上述變式3在變式1與變式2的基礎(chǔ)上很容易掌握，但若沒(méi)有變式1與變式2而直接給出變式3，學(xué)生解決起來(lái)就非常困難，對(duì)樹(shù)立學(xué)生的學(xué)習(xí)信心是不利的，從而也降低了學(xué)習(xí)的效率。

4.提倡讓學(xué)生參與題目的變式。變式并不是教師的“專利”，教師必須轉(zhuǎn)變觀念，發(fā)揚(yáng)教學(xué)民主，師生雙方密切配合，交流互動(dòng)，只要是學(xué)生能夠提出問(wèn)題的，教師絕不包辦代替，學(xué)生變式有困難的，可在教師的點(diǎn)撥與啟發(fā)下完成，這樣可以調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，提高學(xué)生參與創(chuàng)新的意識(shí)。

如在學(xué)習(xí)向量的加法與減法時(shí)，有這樣一個(gè)習(xí)題：設(shè)A，B，C是平面內(nèi)任意三點(diǎn)，求證： + + = （蘇教版必修4P72習(xí)題2.2）在引導(dǎo)學(xué)生給出解答后，教師提出如下思考：

①你能用文字?jǐn)⑹鲈擃}嗎

通過(guò)討論，暢所欲言、補(bǔ)充完善，會(huì)有：

變式1：如果三個(gè)向量首尾連接可以構(gòu)成三角形，且這三個(gè)向量的方向順序一致（順時(shí)針或逆時(shí)針），則這三個(gè)向量的代數(shù)和為零。

②大家再討論一下，這個(gè)結(jié)論是否只對(duì)三角形適合。

通過(guò)討論學(xué)生首先想到對(duì)四邊形適合，從而有：

變式2： + + + =

③大家再想一想或動(dòng)筆畫(huà)一畫(huà)滿足變式2的這四個(gè)向量是否一定可構(gòu)成四邊形。

在教師的啟發(fā)下不難得到結(jié)論：四個(gè)向量首尾相連不論是否可形成四邊形，只要它們的方向順序一致，則這四個(gè)向量的代數(shù)和為零。

④進(jìn)一步啟發(fā)，學(xué)生自己就可得出n條封閉折線的一個(gè)性質(zhì)：

變式3： + +…… + 1=

最后再讓學(xué)生思考若把 + + = 改為任意的三個(gè)向量則這三個(gè)向量 + + = 是否還可以構(gòu)成三角形這就是P68習(xí)題2.2的第7小題，學(xué)生很容易得出答案。至此，學(xué)生大腦中原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)被激活，學(xué)生的求知欲被喚起，形成了教師樂(lè)教、學(xué)生樂(lè)學(xué)的良好局面。

變式教學(xué)中習(xí)題的變式方式、形式及內(nèi)容，要根據(jù)教材的內(nèi)容和學(xué)生的情況來(lái)安排，因材施教是課堂教學(xué)永遠(yuǎn)要堅(jiān)持的原則，恰當(dāng)合理的變式，可使學(xué)生一題多解和多題一解，有助于學(xué)生把知識(shí)學(xué)活，有助于學(xué)生舉一反三、觸類旁通，有助于學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)的“最佳動(dòng)機(jī)”和激發(fā)學(xué)生的靈感，它能升華學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

（作者單位：江蘇淮安市新馬高級(jí)中學(xué)）endprint

“變式”主要是指對(duì)例題進(jìn)行變通推廣，重新認(rèn)識(shí)，恰當(dāng)合理的變式能營(yíng)造一種生動(dòng)活潑、寬松自由的氛圍，開(kāi)闊學(xué)生的視野，激發(fā)學(xué)生的情趣，有助于培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新意識(shí)，并能使學(xué)生舉一反三、事半功倍。本人在教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，有些教師對(duì)變式的“度”把握不準(zhǔn)確，不能因材施教，單純地為了變式而變式，給學(xué)生造成了過(guò)重的心理負(fù)擔(dān)，使學(xué)生產(chǎn)生了逆反心理，“高投入、低產(chǎn)出”，事倍功半。

1.變式要在原例題的基礎(chǔ)上進(jìn)行，要主體思路不變，不能“拉郎配”，要有利于學(xué)生通過(guò)變式題目的解答，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解和掌握。在新授基本不等式“a，b∈R+， ≥ （當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取‘=號(hào)）”的應(yīng)用時(shí)，給出了如下的例題及變式：

例1：已知x>0，求y=x+ 的最小值。

變式1：x∈R，函數(shù)y=x+ 有最小值嗎？為什么？

變式2：已知x>0，求y=x+ 的最小值。

變式3：函數(shù)y=x+ 的最小值為2嗎？

由該例題及三個(gè)變式的解答，使學(xué)生加深了對(duì)基本不等式成立的三個(gè)條件“一正、二定、三相等”的理解與掌握，為基本不等式的正確使用打下了較堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

2.變式要限制在學(xué)生思維水平的“最近活動(dòng)區(qū)”上，變式題目的解決要在學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)之上，并且要結(jié)合教學(xué)的目的和要求，要有助于學(xué)生對(duì)本節(jié)課內(nèi)容的掌握。在新授定理“a，bR+， ≥ （當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取‘=號(hào)）”的應(yīng)用時(shí)，把變式3改為：求函數(shù)y=x+ 的最小值，則顯得有些不妥。因?yàn)楸竟?jié)課的重點(diǎn)是讓學(xué)生熟悉不等式的應(yīng)用，而解答變式3不但要指出函數(shù)的最小值不是2，而且還要借助于函數(shù)的單調(diào)性求出最小值，這樣本堂課就要用不少時(shí)間去證明單調(diào)性，“干擾”了“不等式應(yīng)用”這一“主干”知識(shí)的傳授；但若作為課后思考題讓學(xué)生去討論，則將是一種較好的設(shè)計(jì)。

3.變式要有梯度，循序漸進(jìn)，切不可搞“一步到位”，否則會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒，影響到問(wèn)題的解決，降低學(xué)習(xí)的效率。在新授利用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題時(shí)，（蘇教版）課本給出了例題：平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過(guò)同一點(diǎn)，證明交點(diǎn)的個(gè)數(shù)f（n）= 。在證明的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生注意觀察f（k）與f（k+1）的關(guān)系有f（k+1）-f（k）=k，從而給出：

變式1：平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過(guò)同一點(diǎn)，求這n條直線共有幾個(gè)交點(diǎn)。

此變式自然恰當(dāng)，變證明為探索，使學(xué)生在探索f（k）與f（k+1）的關(guān)系的過(guò)程中得了答案，而且鞏固加深了對(duì)數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題的一般方法的理解。類似地還可以給出：

變式2：平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過(guò)同一點(diǎn)，該n條直線把平面分成f（n）個(gè)區(qū)域，則f（n+1）=f（n）+ 。

變式3：平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過(guò)同一點(diǎn)，該n條直線把平面分成f（n）個(gè)區(qū)域，求f（n）。

上述變式3在變式1與變式2的基礎(chǔ)上很容易掌握，但若沒(méi)有變式1與變式2而直接給出變式3，學(xué)生解決起來(lái)就非常困難，對(duì)樹(shù)立學(xué)生的學(xué)習(xí)信心是不利的，從而也降低了學(xué)習(xí)的效率。

4.提倡讓學(xué)生參與題目的變式。變式并不是教師的“專利”，教師必須轉(zhuǎn)變觀念，發(fā)揚(yáng)教學(xué)民主，師生雙方密切配合，交流互動(dòng)，只要是學(xué)生能夠提出問(wèn)題的，教師絕不包辦代替，學(xué)生變式有困難的，可在教師的點(diǎn)撥與啟發(fā)下完成，這樣可以調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，提高學(xué)生參與創(chuàng)新的意識(shí)。

如在學(xué)習(xí)向量的加法與減法時(shí)，有這樣一個(gè)習(xí)題：設(shè)A，B，C是平面內(nèi)任意三點(diǎn)，求證： + + = （蘇教版必修4P72習(xí)題2.2）在引導(dǎo)學(xué)生給出解答后，教師提出如下思考：

①你能用文字?jǐn)⑹鲈擃}嗎

通過(guò)討論，暢所欲言、補(bǔ)充完善，會(huì)有：

變式1：如果三個(gè)向量首尾連接可以構(gòu)成三角形，且這三個(gè)向量的方向順序一致（順時(shí)針或逆時(shí)針），則這三個(gè)向量的代數(shù)和為零。

②大家再討論一下，這個(gè)結(jié)論是否只對(duì)三角形適合。

通過(guò)討論學(xué)生首先想到對(duì)四邊形適合，從而有：

變式2： + + + =

③大家再想一想或動(dòng)筆畫(huà)一畫(huà)滿足變式2的這四個(gè)向量是否一定可構(gòu)成四邊形。

在教師的啟發(fā)下不難得到結(jié)論：四個(gè)向量首尾相連不論是否可形成四邊形，只要它們的方向順序一致，則這四個(gè)向量的代數(shù)和為零。

④進(jìn)一步啟發(fā)，學(xué)生自己就可得出n條封閉折線的一個(gè)性質(zhì)：

變式3： + +…… + 1=

最后再讓學(xué)生思考若把 + + = 改為任意的三個(gè)向量則這三個(gè)向量 + + = 是否還可以構(gòu)成三角形這就是P68習(xí)題2.2的第7小題，學(xué)生很容易得出答案。至此，學(xué)生大腦中原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)被激活，學(xué)生的求知欲被喚起，形成了教師樂(lè)教、學(xué)生樂(lè)學(xué)的良好局面。

變式教學(xué)中習(xí)題的變式方式、形式及內(nèi)容，要根據(jù)教材的內(nèi)容和學(xué)生的情況來(lái)安排，因材施教是課堂教學(xué)永遠(yuǎn)要堅(jiān)持的原則，恰當(dāng)合理的變式，可使學(xué)生一題多解和多題一解，有助于學(xué)生把知識(shí)學(xué)活，有助于學(xué)生舉一反三、觸類旁通，有助于學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)的“最佳動(dòng)機(jī)”和激發(fā)學(xué)生的靈感，它能升華學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

（作者單位：江蘇淮安市新馬高級(jí)中學(xué)）endprint